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Taux d'évolution

Si le prix d'un croissant augmente de 10 centimes, ce n'est pas pareil qu'une augmentation de 10 euros. Lorsqu'une quantité change, nous pouvons étudier cette modification grâce au taux d'évolution. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord donner la formule pour le taux d'évolution. Par la suite, nous montrerons comment effectuer le calcul d'un taux d'évolution, ainsi qu'un taux de variation. Nous poursuivrons avec la définition et la méthode pour calculer le coefficient multiplicateur d'un taux d'évolution. Pour terminer, nous expliciterons deux idées connexes : le taux d'évolution réciproque et le taux d'évolution global

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Si le prix d'un croissant augmente de 10 centimes, ce n'est pas pareil qu'une augmentation de 10 euros. Lorsqu'une quantité change, nous pouvons étudier cette modification grâce au taux d'évolution. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord donner la formule pour le taux d'évolution. Par la suite, nous montrerons comment effectuer le calcul d'un taux d'évolution, ainsi qu'un taux de variation. Nous poursuivrons avec la définition et la méthode pour calculer le coefficient multiplicateur d'un taux d'évolution. Pour terminer, nous expliciterons deux idées connexes : le taux d'évolution réciproque et le taux d'évolution global.

Taux d'évolution : formule

La formule pour le taux d'évolution est \[\frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\] Le taux d'évolution est également appelé la variation relative. Nous pouvons aussi parler de la variation absolue, qui est la quantité \(\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}\). Voyons maintenant comment faire le calcul d'un taux d'évolution.

Calcul d'un taux d'évolution

Pour effectuer le calcul d'un taux d'évolution, il faut appliquer la formule. Pour cela, il convient d'identifier la valeur initiale et la valeur finale de la quantité étudiée.

En 2021, le chiffre d'affaires d'une entreprise était de \(300 \ 000\) euros. En 2022, le chiffre d'affaires a augmenté à \(850 \ 000\) euros. Peux-tu calculer le taux d'évolution du chiffre d'affaires de cette entreprise ?

Ici, la valeur initiale est \(300 \ 000\), alors que la valeur finale est \(850 \ 000\).

En appliquant la formule, nous obtenons un taux d'évolution de \(\frac{850 \ 000 - 300 \ 000}{300 \ 000} = 1{,}83\).

Garde à l'esprit qu'un taux d'évolution peut être négatif. Dans ce cas, il indique que la quantité étudiée a diminué.

Au début d'une expérience, la masse d'un réactif était de \(10 \) mg. À la fin de la réaction, il restait \(2{,}5\) mg de réactif. Peux-tu déterminer le taux d'évolution de la masse de ce réactif ?

Ici, la valeur initiale est \(10\), alors que la valeur finale est \(2{,}5\).

En appliquant la formule, nous obtenons un taux d'évolution de \(\frac{2{,}5 - 10}{10} = -0{,}75\).

Calculer le taux de variation d'une quantité

Pour calculer le taux de variation d'une quantité donnée, il suffit de multiplier le taux d'évolution par \(100\). En effet, le taux de variation est le taux d'évolution exprimé en pourcentage.

Garde à l'esprit que « taux de variation » et « taux d'évolution » sont souvent utilisés de façon interchangeable.

À l'ouverture de la période de chasse, une forêt comptait environ \(20 \ 000\) cerfs. Une fois la période de chasse terminée, il ne restait plus que \(13 \ 000\) cerfs. Peux-tu calculer le taux de variation du nombre de cerfs dans cette région ?

Ici, la valeur initiale est \(20 \ 000\), alors que la valeur finale est \(13 \ 000\).

En appliquant la formule, nous obtenons un taux de variation de \(\frac{20 \ 000 - 13 \ 000}{20 \ 000} \times 100 = -35 %\).

Coefficient multiplicateur d'un taux d'évolution

Le coefficient multiplicateur d'un taux d'évolution est la valeur \(c\) qui vérifie \(\text{valeur finale} = c \times \text{valeur initiale}\). Autrement dit, il s'agit du coefficient qui permet de calculer la valeur finale à partir de la valeur initiale. Voyons maintenant comment calculer un coefficient multiplicateur.

Comment calculer un coefficient multiplicateur ?

Pour calculer un coefficient multiplicateur, il faut ajouter \(1\) au taux d'évolution.

Si une variable a un taux d'évolution de \(0{,}2\), alors le coefficient multiplicateur correspondant est \(1{,}2\).

Similairement, si une variable admet un taux d'évolution de \(-0{,}7\), alors le coefficient multiplicateur correspondant est \(0{,}3\).

Justifions cette méthode de calcul. Soit \(t\) le taux d'évolution.

Comme \(t = \frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\), nous avons \(t = \frac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}} - 1\).

Par conséquent, \(1 + t = \frac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}\).

Ainsi, \(\text{valeur finale} = (1+t) \times \text{valeur initiale}\). Grâce à la définition du coefficient multiplicateur, nous pouvons en déduire que \(c = 1 +t\).

Le taux d'évolution réciproque

Le taux d'évolution réciproque est le taux qui permet de calculer la valeur initiale d'une quantité à partir de sa valeur finale.

Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque est l'inverse du coefficient multiplicateur de l'évolution du même changement.

Les prix de tous les produits dans une boulangerie ont augmenté par 15 %. Le prix d'un croissant est maintenant 1,38 €. Sais-tu comment déterminer quel était son ancien prix ?

Pour déterminer le prix initial, nous pouvons utiliser le taux d'évolution réciproque.

Ici, le coefficient multiplicateur de l'évolution est de \(1{,}15\).

Ainsi, le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque est \(\frac{1}{1{,}5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\).

Enfin, le prix initial du croissant était \(1{,}38 \times \frac{2}{3} = 1{,}2\) .

Comment calculer le taux d'évolution global ?

Pour calculer le taux d'évolution global de plusieurs évolutions successives, il convient d'abord de faire le produit des coefficients multiplicateurs des différentes évolutions. Cela nous donne le coefficient multiplicateur du taux d'évolution global.

Pendant les soldes, il y a plusieurs démarques sur le prix d'une chemise. Après la première démarque, il y a eu une réduction de 30 % du prix initial. Après la deuxième démarque, la réduction était de 15 % du prix après la première démarque. Peux-tu calculer le taux d'évolution global dans ce contexte ?

Il est nécessaire de faire le produit des coefficients multiplicateurs correspondants aux deux démarques.

Le coefficient multiplicateur de la première démarque est \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\).

Quant à la deuxième démarque, le coefficient multiplicateur est \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\).

Le coefficient multiplicateur du taux d'évolution global est donc \(0{,}7 \times 0{,}85 = 0{,}595\).

Ainsi, le taux d'évolution global correspondant à ce coefficient multiplicateur est \(0{,}595 - 1 = -0{,}405\).

Taux d'évolution - Points clés

  • Le taux d'évolution, également appelé variation relative, est donné par la formule \(\frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\).

  • Pour faire le calcul d'un taux d'évolution, il faut identifier la valeur initiale et la valeur finale de la quantité étudiée et ensuite appliquer la formule.

  • Pour calculer le coefficient multiplicateur d'un taux d'évolution, tu dois ajouter \(1\) au taux d'évolution.

  • Le coefficient multiplicateur du taux d'évolution réciproque est l'inverse du coefficient multiplicateur de l'évolution du même changement.

  • Le coefficient multiplicateur du taux d'évolution global de plusieurs évolutions successives est le produit des coefficients multiplicateurs des différentes évolutions.

Questions fréquemment posées en Taux d'évolution

Pour calculer le taux d'évolution d'une quantité, il faut utiliser la formule (valeur finale - valeur initiale)/valeur initale. 

Pour calculer le taux d'évolution en pourcentage, il faut d'abord calculer le taux d'évolution avec la formule (valeur finale - valeur initiale)/valeur initale, et ensuite multiplier par 100.

Pour calculer le taux d'évolution d'une quantité, il faut utiliser la formule (valeur finale - valeur initiale)/valeur initiale. Par exemple, si le chiffre d'affaires a diminué de 4 millions d'euros à 1,25 million d'euros, alors le taux d'évolution est (1,25 - 4)/4 = -2,75/4 = -0,6875. Ce taux est négatif car il y a eu une diminution.

Pour trouver le taux d'évolution, nous utiliserons la formule (valeur finale - valeur initiale)/valeur initiale ou valeur finale = coefficient multiplicateur * valeur initiale.

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Pour calculer un coefficient multiplicateur, il faut ajouter ___ au taux d'évolution.

Un taux d'évolution doit être entre \(0\) et \(1\).

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