Erreurs de type I

La variable aléatoire \(X\) est distribuée de façon binomiale. Supposons qu'un échantillon de 10 soit prélevé et qu'un statisticien veuille tester l'hypothèse nulle \(H_0 : \ ; p=0,45\) contre l'hypothèse alternative \(H_1:\ ; pneq0,45\).

a) Trouve la région critique pour ce test.

b) Indique la probabilité d'une erreur de type I pour ce test.

Solution :

a) Puisqu'il s'agit d'un test à deux extrémités, à un niveau de signification de \(5\%\), les valeurs critiques, \(c_1\) et \(c_2\) sont telles que

\N- [\N- Début{align} \mathbb{P}(X\leq c_1) &\leq0.025 \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- et } \mathbb{P}(X\geq c_2) &\leq 0.025. \N- [end{align}\N]

\(\mathbb{P}(X\geq c_2) = 1-\mathbb{P}(X\leq c_2-1)\leq0.025\) ou \( \mathbb{P}(X\leq c_2-1) \geq0.975\)

Supposons que \(H_0\) soit vrai. Alors, sous l'hypothèse nulle \N(X\sim B(10,0.45)\N), à partir des tableaux statistiques :

\[ \begin{align} &\mathbb{P}(X \leq 1)=0.0233<0.025 \\ & \mathbb{P}(X \leq 2)=0.0996>0.025.\end{align}\]

La valeur critique est donc \(c_1=1\). Pour la deuxième valeur critique,

\[ \begin{align} &\mathbb{P}(X \leq 7)=0.9726<0.975 \\ & \mathbb{P}(X \leq 8)=0.996>0.975. \N- [Fin{align}\N-]

Par conséquent, \(c_2-1=8\) donc la valeur critique est \(c_2=9\).

La région critique pour ce test sous un niveau de signification de \(5\%\) est donc la suivante

\N-[\N-{ X\Nleq 1\Nright\N}\Ncup \N-{ X\Ngeq 9\Nright\N}.\N]

b) Une erreur de type I se produit lorsque tu rejettes \N(H_0\N) mais que \N(H_0\N) est vraie, c'est-à-dire qu'il s'agit de la probabilité que tu te trouves dans la région critique étant donné que l'hypothèse nulle est vraie.

Sous l'hypothèse nulle, \(p=0,45\), donc,

\N- [\N- Début{align} \mathbb{P}(\text{Type I error})&=\mathbb{P}(X\leq1 \mid p=0.45)+\mathbb{P}(X\geq9 \mid p=0.45) \mathbb{P}(X\geq9 \mid p=0.45) &=0.0233+1-0.996 \mathbb{P}(X\leq1 \mid p=0.45)+\mathbb{P}(X\geq9 \mid p=0.45). \N- [end{align}\N-]

On lance une pièce de monnaie jusqu'à ce qu'on obtienne une queue.

a) En utilisant une distribution appropriée, trouve la région critique pour un test d'hypothèse qui vérifie si la pièce est biaisée en faveur de face au niveau de signification \(5\%\).

b) Indique la probabilité d'une erreur de type I pour ce test.

Solution :

a) Soit \(X\) le nombre de lancers de pièces avant d'obtenir une queue.

On peut alors répondre à cette question en utilisant la distribution géométrique comme suit puisque le nombre d'échecs (face) \(k - 1\) avant le premier succès/queue avec une probabilité de queue donnée par \(p\).

Par conséquent, \(X\sim \rm{Geo}(p)\) où \(p\) est la probabilité d'obtenir une queue. L'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative sont donc

\\N-[ \N-{align} &H_0 : \N- ; p=\Nfrac{1}{2}] \N-[ \N-{align}]. \\N-texte{et } &H_1 : \N- ; p<\frac{1}{2}. \N-END{align}\N]

Ici, l'hypothèse alternative est celle que tu veux établir, c'est-à-dire que la pièce est biaisée en faveur de face, et l'hypothèse nulle est la négation de cette hypothèse, c'est-à-dire que la pièce n'est pas biaisée.

Sous l'hypothèse nulle, \(X\sim \rm{Geo}) \left(\frac{1}{2}\right)\).

Comme il s'agit d'un test unilatéral au niveau de signification \(5\%), tu veux trouver la valeur critique \(c\) telle que \(\mathbb{P}(X\geq c) \leq 0.05 \N). Cela signifie que tu veux

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{c-1} \leq 0.05. \]

Par conséquent

\[ (c-1)\ln\left(\frac{1}{2}\right) \leq \ln(0.05), \]

ce qui signifie que \(c >5.3219\).

Par conséquent, la région critique pour ce test est \N(X \geq 5,3219=6\N).

Ici, tu as utilisé le fait que, pour une distribution géométrique \(X\sim \rm{Geo}(p)\),

\N[\Nmathbb{P}(X \Ngeq x)=(1-p)^{x-1}.\N]

b) Puisque \(X\) est une variable aléatoire discrète, \(\mathbb{P}(\text{Type I error})\leq \alpha\), et la probabilité d'une erreur de type I est le niveau de signification réel. Ainsi, la probabilité d'une erreur de type I est le niveau de signification réel.

\[\begin{align} \mathbb{P}(\text{Erreur de type I})&= \mathbb{P}( \text{rejeter } H_0 \text{ quand } H_0 \text{ est vrai}) \\N &=\mathbb{P}(X\geq 6 \mid p=0.5) \\N- &= \N-gauche(\Nfrac{1}{2}\Ndroite)^{6-1} \N- &=0.03125. \N- [end{align}\N]

La variable aléatoire \N(X\N) est normalement distribuée de telle sorte que \N(X\Nsim N(\Nmu ,4)\N). Supposons qu'un échantillon aléatoire de \(16\) observations soit prélevé et que \(\bar{X}\) soit la statistique de test. Un statisticien veut tester \(H_0:\mu=30\) contre \(H_1:\mu<30\) en utilisant un niveau de signification de \(5\%\).

a) Trouve la région critique.

b) Indique la probabilité d'une erreur de type I.

Solution :

a) Sous l'hypothèse nulle, tu as \N(\bar{X}\sim N(30,\frac{4}{16})\N).

Définis

\[Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\mu}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1).\]

Au niveau de signification \(5\%\) pour un test unilatéral, d'après les tableaux statistiques, la région critique pour \(Z\) est \(Z<-1,6449\).

Par conséquent, tu rejettes H_0 si

\[\begin{align} \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\mu}{\sqrt{n}}}&=\frac{\bar{X}-30}{\frac{2}{\sqrt{16}}} \N- &\N- -1,6449.\Nend{align}\N]

Par conséquent, après quelques réarrangements, la région critique pour \(\bar{X}\) est donnée par \(\bar{X} \leq 29.1776\).

b) Puisque \(X\) est une variable aléatoire continue, il n'y a pas de différence entre le niveau de signification cible et le niveau de signification réel. Par conséquent, \(\mathbb{P}(\text{Type I error})= \alpha\), c'est-à-dire que la probabilité d'une erreur de type I \(\alpha\) est la même que le niveau de signification du test, donc

\N[\Nmathbb{P}(\Ntexte{Erreur de type I})=0.05.\N]