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Signification des sommes de variables aléatoires indépendantes
Tu as probablement déjà vu comment trouver la fonction génératrice de probabilité d'une variable aléatoire. En fait, tu as même plus que probablement regardé ce qui se passe lorsque tu en additionnes deux sans même t'en rendre compte !
Prenons un petit exemple.
Disons que tu as deux sacs de balles étiquetés avec des nombres. L'un des sacs contient trois boules étiquetées avec le nombre \(0\), et \(2\) boules étiquetées avec le nombre \(1\). Tu peux représenter cela par la variable aléatoire \(X\) où \(x=0,1\).
Le deuxième sac contient quatre boules étiquetées avec le nombre \N(2\N), et \N(1\N) boule étiquetée avec le nombre \N(3\N). Tu peux représenter cela par une variable aléatoire \(Y\) où \(y=2,3\).
Les tableaux des distributions de probabilités sont alors les suivants :
Tableau 1 - Distribution de probabilité pour \(X\)
\(x\) | \(0\) | \(1\) |
\N(P(X=x)\N) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{3}{5}\) |
Tableau 2 - Distribution de probabilité pour \N(Y\N)
\(y\) | \(2\) | \(3\) |
\N(P(Y=y)\N) | \N- \N- \N(\Nfrac{4}{5}\N) | \(\frac{1}{5}\) |
Tu as alors les fonctions génératrices de probabilité
\[G_X(t)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}t\]
et
\[G_Y(t)=\frac{4}{5}t^2+\frac{1}{5}t^3.\]
Maintenant, tu peux facilement voir la probabilité de choisir une balle donnée dans l'un ou l'autre sac.
Et si tu voulais trouver la somme de leurs distributions de probabilité ? Comment ferais-tu pour trouver la fonction génératrice de probabilité pour \(Z=X+Y\) ? Une méthode consisterait à écrire la table de distribution des probabilités de \(Z\) :
Tableau 3 - Distribution de probabilité pour \(Z=X+Y\)
\(z\) | \N(P(Z=z)\N) |
\(2\) | \((P(X=0))(P(Y=2))=\dfrac{8}{25}\) |
\(3\) | \((P(X=0))(P(Y=3))+(P(X=1))(P(Y=2))=\dfrac{14}{25}\) |
\(4\) | \((P(X=1))(P(Y=3))=\dfrac{3}{25}\) |
Par conséquent, la fonction génératrice de probabilité de \(Z\) serait
\[G_Z(t)=\frac{8}{25}t^2+\frac{14}{25}t^3 +\frac{3}{25}t^4 .\]
Trouver la fonction génératrice de probabilité pour \(Z=X+Y\) n'était pas trop difficile dans l'exemple précédent parce que les fonctions génératrices de probabilité individuelles n'étaient pas si compliquées. Mais dans un cas où les fonctions génératrices de probabilité sont plus complexes, cela peut se compliquer très rapidement !
Dans deux cas particuliers, il existe un moyen beaucoup plus rapide de trouver la somme de deux fonctions génératrices de probabilité.
Le premier cas est celui où tu as deux variables aléatoires discrètes indépendantes \N(X) et \N(Y) et où l'on te demande de trouver \N(Z) où \N(Z=X+Y\N).
Dans le deuxième cas, on te demande de trouver \N(Z\N) où \N(Z\N) est une fonction linéaire de la variable aléatoire discrète \N(X\N) (c'est-à-dire \N(Z=aX+b\N)).
Examinons chaque cas.
Trouver la fonction génératrice de probabilité de \(Z=X+Y\)
Il existe un théorème très important qui couvre ce cas : le théorème de convolution.
Théorème de convolution : Supposons que deux variables aléatoires discrètes indépendantes \N(X) et \N(Y) aient des fonctions génératrices de probabilité \N(G_X(t)\Net \N(G_Y(t)\N). La fonction génératrice de probabilité de \(Z=X+Y\) est
\[G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t).\]
Voyons une application.
Dans l'exemple précédent, tu as trouvé deux fonctions génératrices de probabilité
\[G_X(t)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}t\]
et
\[G_Y(t)=\frac{4}{5}t^2+\frac{1}{5}t^3,\]
et a ensuite construit un tableau pour trouver cela pour \N(Z=X+Y\N),
\[G_Z(t)=\frac{8}{25}t^2+\frac{14}{25}t^3 +\frac{3}{25}t^4 .\]
Obtiens-tu la même réponse en utilisant le théorème de convolution ?
Solution :
En utilisant la formule \(G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t) \), tu as :
\[\begin{align} G_Z(t) &= \left(\frac{2}{5} +\frac{3}{5}t\right) \left(\frac{4}{5}t^2+\frac{1}{5}t^3\right)\\N&.= \frac{8}{25}t^2+\frac{2}{25}t^3+\frac{12}{25}t^3+\frac{3}{25}t^4 \\&=\frac{8}{25}t^2+\frac{14}{25}t^3 +\frac{3}{25}t^4.[\N-END{align}\N]
Tu peux donc voir que tu obtiens la même réponse en construisant le tableau qu'en utilisant le théorème de convolution.
Le principal avantage du théorème de convolution est qu'il te permet de trouver la fonction génératrice de probabilité sans construire de tableau, ce qui réduit les risques d'erreur.
Trouver la fonction génératrice de probabilité de \(Z=aX+b\)
Voyons rapidement comment tu peux construire la fonction génératrice de probabilité de \(Z=nX\) où \(n\) est un nombre naturel à partir de la fonction génératrice de probabilité de \(X\). En commençant par \N(n=2\N),
\N[ Z = 2X = X+X\N]
tu peux donc utiliser le théorème de convolution pour obtenir que
\N- G_Z(t)=G_X(t)G_X(t) = (G_X(t))^2.\N]
Ensuite, tu peux utiliser la preuve par induction pour montrer que pour tout nombre naturel \N(n\N), si \N(Z=nX\N) alors
\[G_Z(t)=\nunderbrace{G_X(t)G_X(t)\cdots G_X(t)}_{n \text{ fois}} = (G_X(t))^n.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Comme tu le sais, il n'y a pas que les nombres naturels, et tu dois aussi tenir compte de ce "\(+b\)". Il est donc utile d'examiner l'autre définition de la fonction génératrice de probabilité :
\[G_Z(t) = \text{E}(t^Z).\N-]
Tu peux ensuite utiliser les propriétés de la fonction de valeur attendue pour obtenir ce qui suit :
\[\N- Début{alignement} G_Z(t) &= \text{E}(t^Z) \\N- &= \text{E}(t^{aX+b}) \N- &= \text{E}(t^{aX}t^b) \N- &= t^b\text{E}(t^{aX}) \N- &= t^b\text{E}\Nà gauche((t^a)^X\Nà droite) \N- &= t^bG_X(t^a) . \N- [end{align}\N]
Bien que cette propriété n'ait pas de nom sophistiqué, elle mérite d'être énoncée séparément.
Si \(X\) est une variable aléatoire discrète et a une fonction génératrice de probabilité de \(G_X(t)\), la fonction génératrice de probabilité de \(Z\) où \(Z=aX+b\) est :
\[G_Z(t)=t^bG_X(t^a).\]
Prenons un exemple rapide.
Trouve la fonction génératrice de probabilité de \(Z=2X+3\) où \(X\) a la fonction génératrice de probabilité
\[G_X(t)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}t.\]
Solution :
Bien que tu puisses construire un tableau pour trouver \(G_Z(t)\), il est beaucoup plus facile d'utiliser la propriété discutée ci-dessus. Dans ce cas
\[G_Z(t)=t^3G_X(t^2),\]
et tu as donc
\N- [\N- Début{align} G_Z(t)&=t^3G_X(t^2)\\&=t^3\left(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}t^2\right)\\ &= \frac{2}{5}t^3+\frac{3}{5}t^5. \N- [end{align}\N]
Espérance de la somme de variables aléatoires indépendantes
Comme toutes les variables aléatoires, les sommes de variables aléatoires indépendantes ont également une espérance ou une moyenne. Tu peux utiliser le théorème de convolution et la définition alternative de la fonction génératrice de probabilité pour trouver l'espérance de la somme de variables aléatoires indépendantes, ainsi que les formules :
\(G'_X(1) = E(X)\) ;
\(\text{E}(aX+b) = a\text{E}(X) + b\) ; et
\(\text{E}(X+Y) = \text{E}(X) + \text{E}(Y)\).
Pour savoir d'où viennent ces formules, consulte l'article Moyenne et variance des distributions de probabilités discrètes.
Prenons un exemple.
Suppose que tu saches que les variables aléatoires indépendantes \N(X) et \N(Y) ont des fonctions génératrices de probabilité
\[G_X(t)=\frac{1}{27}(1+2t)^3\]
et
\[G_Y(t)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}t .\]
Trouve \(\text{E}(X)\), \(\text{E}(Y)\), et \(\text{E}(X+Y)\).
Solution :
Trouvons d'abord \(\text{E}(X)\N). En prenant la dérivée,
\[G'_X(t)=\frac{6}{27}+\frac{24}{27}t+\frac{24}{27}t^2,\]
donc
\N- [\N- Début{align} \text{E}(X) &=G'_X(1) \\N- &=\frac{6}{27}+\frac{24}{27}+\frac{24}{27} \N- &=2.\Nend{align}\N]
De même pour \(\text{E}(Y)\),
\[G'_Y(t)=\frac{2}{3}\]
donc
\[\text{E}(Y)=\frac{2}{3}.\]
Alors
\N- [\N- Début{alignement} \text{E}(X+Y) &=\text{E}(X)+\text{E}(Y)\\N &= 2 + \frac{2}{3} \N- &=\frac{8}{3}. \N- [Fin{align}\N]
Variance de la somme de variables aléatoires indépendantes
Tout comme tu as trouvé la moyenne ci-dessus, tu peux aussi trouver la variance des sommes de variables aléatoires indépendantes. Pour ce faire, tu auras besoin des formules suivantes :
- \(\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)\) ; et
- \(\text{Var}(Z)= G''_Z(1)+G'_Z(1)-(G'_Z(1))^2\).
Prenons un exemple.
Supposons que les variables aléatoires indépendantes discrètes \(X\) et \(Y\) aient des fonctions génératrices de probabilité
\[G_X(t)=0.5+0.5t^2\]
et
\[G_Y(t)=0.1+0.9t^4.\]
Trouve la variance de \(Z=X+Y\).
Solution :
Etant donné que \(G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t)\) d'après le théorème de convolution, tu as :
\N- [\N- Début{align} G_Z(t) &= (0.5+0.5t^2) (0.1+0.9t^4) \\\&=0.05 +0.45t^4 + 0.05t^2+0.45t^6 .\end{align} \]
En prenant la dérivée, tu obtiens
\N- G'_Z(t) = 1.8t^3 + 0.1t + 2.7t^5,\N]
donc
\N- [\N- Début{align} \text{E}(Z)&= G'_Z(1) \\N&= 1.8 + 0.1 + 2.7 \N&=4.6 .\Nend{align}\N]
Pour trouver la variance de \N(Z\N), tu auras besoin de la dérivée seconde évaluée à \N(t=1\N) :
\N[ G''_Z(t) = 5.4t^2+0.1+13.5t^4,\N]
donc
\N- [\N- G''_Z(1)&= 5.4+0.1+13.5\N&= 19 .\N- end{align}\N]
Cela signifie que la variance de \(Z\) est de
\[ \begin{align} \text{Var}(Z)&= G''_Z(1)+G'_Z(1)-(G'_Z(1))^2 \\&= 19+4.6-(4.6)^2=2.44 .\end{align}\N]
Exemples de sommes de variables aléatoires indépendantes
Tu as déjà vu quelques exemples de financement de la somme de variables aléatoires indépendantes, ainsi que leur moyenne et leur variance. Cependant, pour des types de distributions spécifiques, comme la distribution binomiale et la distribution uniforme, le fait de les examiner, en particulier, peut être éclairant. Continue donc pour les détails !
Somme de variables aléatoires binomiales indépendantes
Suppose que tu aies deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des distributions binomiales. En d'autres termes, \sim \text{Bin}(n_X, p_X)\N et \sim \text{Bin}(n_Y, p_Y)\N Y \sim \text{Bin}(n_Y, p_Y)\N. Tu sais déjà que
\[G_X(t) = (1-p_X+p_Xt)^{n_X}\]
et
\N- G_Y(t) = (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}.\N- G_Y(t) = (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}.
Pour plus d'informations, voir Fonctions génératrices de probabilité et distribution binomiale.
En utilisant le théorème de convolution, si \N(Z = X+Y\N) alors
\N- [\N- Début{align} G_Z(t) &= G_X(t) G_Y(t) \\\N- &= (1-p_X+p_Xt)^{n_X} (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}. \N-{align}\N- [\N]
Prenons un exemple.
Quelle est la fonction génératrice de probabilité pour la somme de \(X\sim \text{Bin}(5,0.5)\) et \(Y\sim \text{Bin}(15,0.2)\) ?
Solution :
Ici
\N-[G_X(t) = (1-0.5+0.5t)^5 = ( 0.5 + 0.5t)^5,\N]
et
\N-[G_Y(t) = (1-0.2+0.2t)^{15} = (0.8+0.2t)^{15} ,\N]
donc
\[\begin{align}G_{X+Y}(t)&=G_X(t)G_Y(t) \\&=( 0.5 + 0.5t)^5 (0.8+0.2t)^{15} .\Nend{align} \]
Somme de variables aléatoires uniformes indépendantes
Rappelle-toi qu'une variable aléatoire uniforme discrète prend des probabilités égales pour chaque résultat possible. Ainsi, si la distribution \(X\) comporte des événements se produisant avec une probabilité \(\dfrac{1}{n}\), alors
\[ G_X(t) = \frac{t(1-t^n)}{n(1-t)}.\]
Si \N(Y\N) est une seconde distribution aléatoire discrète et uniforme dont les événements se produisent avec une probabilité de \N(\Ndfrac{1}{m}\N), et \N(Z = X+Y\N), alors
\[ \begin{align} G_Z(t) &= G_X(t) G_Y(t) \\N- &= \left(\frac{t(1-t^n)}{n(1-t)} \right)\left(\frac{t(1-t^m)}{m(1-t)}\right) \N- &= \frac{t^2(1-t^n)(1-t)^m}{nm(1-t)^2} .\Nend{align}\N]
Prenons un exemple.
Supposons que tu aies deux dés à faces \N(4\N) :
- le dé \N(X\N) a pour faces \N(1\N), \N(2\N), \N(3\N), et \N(4\N) ; et
- le dé \N(Y\N) a des faces qui se lisent \N(1\N), \N(1\N), \N(2\N), et \N(2\N).
Trouve la fonction génératrice de probabilité de \(Z=X+Y\).
Solution :
Pour le dé \N(X\N), \N(n=4\N) donc
\[G_X(t)=\frac{t(1-t^4)}{4(1-t)},\]
et pour le dé (Y) tu as (m=2), donc
\[G_Y(t)=\frac{t(1-t^2)}{2(1-t)}.\]
Alors
\[ \begin{align} G_Z(t)&=G_X(t)G_Y(t) \\N- &= \N-gauche(\Nfrac{t(1-t^4)}{4(1-t)} \N-droite)\N-gauche(\Nfrac{t(1-t^2)}{2(1-t)} \N-droite) \N- &= \Nfrac{t^2(1-t^4)(1-t^2)}{(4)(2)(1-t)^2} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- &= \Nfrac{t^2}{8}(1+t)^2(1+t^2). \N- [end{align}\N]
Il n'est en fait pas nécessaire de mémoriser les différentes formules pour les divers types de distributions de probabilités discrètes tant que tu gardes à l'esprit le théorème de convolution !
Somme de variables aléatoires indépendantes - Principaux enseignements
- Supposons que les variables aléatoires indépendantes discrètes \N(X) et \N(Y) aient des fonctions génératrices de probabilité \N(G_X(t)\Net \N(G_Y(t)\N). La fonction génératrice de probabilité de \N(Z\N) (où \N(Z=X+Y\N)) est \N(G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t)\N).
- Si \(X\) est une variable aléatoire discrète et a une fonction génératrice de probabilité de \(G_X(t)\), la fonction génératrice de probabilité de \(Z\) où \(Z=aX+b\) est \(G_Z(t)=t^bG_X(t^a)\).
- Pour trouver la variance de \(Z=aX+b\) où \(X\) est une distribution de probabilité aléatoire discrète, rappelle-toi que :
- \(\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)\) ; et
- \(\text{Var}(Z)= G''_Z(1)+G'_Z(1)-(G'_Z(1))^2\).
- Pour trouver la moyenne de la somme de variables aléatoires indépendantes discrètes, rappelle-toi les formules :
\N(G'_X(1) = E(X)\N) ;
\(\text{E}(aX+b) = a\text{E}(X) + b\) ; et
\(\text{E}(X+Y) = \text{E}(X) + \text{E}(Y)\).
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