Somme de variables aléatoires indépendantes

Supposons que deux personnes assemblent des gadgets dans une usine et qu'elles travaillent indépendamment l'une de l'autre. Tu connais le temps moyen qu'il faut à chaque personne pour assembler un gadget. Peux-tu trouver le temps moyen qu'il leur faudrait pour travailler ensemble à l'assemblage d'un gadget si tout ce que tu sais, c'est leur temps moyen d'assemblage respectif ? Dans certains cas, tu peux le faire ! La question clé est de savoir si tes variables aléatoires sont indépendantes ou non. Lis donc la suite pour en savoir plus sur la somme de variables aléatoiresa> indépendantes !

C'est parti

Des millions de fiches spécialement conçues pour étudier facilement

Inscris-toi gratuitement

Review generated flashcards

Inscris-toi gratuitement
Tu as atteint la limite quotidienne de l'IA

Commence à apprendre ou crée tes propres flashcards d'IA

Équipe éditoriale StudySmarter

Équipe enseignants Somme de variables aléatoires indépendantes

  • Temps de lecture: 14 minutes
  • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication
Tables des matières
Tables des matières

Sauter à un chapitre clé

    Signification des sommes de variables aléatoires indépendantes

    Tu as probablement déjà vu comment trouver la fonction génératrice de probabilité d'une variable aléatoire. En fait, tu as même plus que probablement regardé ce qui se passe lorsque tu en additionnes deux sans même t'en rendre compte !

    Prenons un petit exemple.

    Disons que tu as deux sacs de balles étiquetés avec des nombres. L'un des sacs contient trois boules étiquetées avec le nombre \(0\), et \(2\) boules étiquetées avec le nombre \(1\). Tu peux représenter cela par la variable aléatoire \(X\) où \(x=0,1\).

    Le deuxième sac contient quatre boules étiquetées avec le nombre \N(2\N), et \N(1\N) boule étiquetée avec le nombre \N(3\N). Tu peux représenter cela par une variable aléatoire \(Y\) où \(y=2,3\).

    Les tableaux des distributions de probabilités sont alors les suivants :

    Tableau 1 - Distribution de probabilité pour \(X\)

    \(x\)\(0\)\(1\)
    \N(P(X=x)\N)\(\frac{2}{5}\)\(\frac{3}{5}\)

    Tableau 2 - Distribution de probabilité pour \N(Y\N)

    \(y\)\(2\)\(3\)
    \N(P(Y=y)\N)\N- \N- \N(\Nfrac{4}{5}\N)\(\frac{1}{5}\)

    Tu as alors les fonctions génératrices de probabilité

    \[G_X(t)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}t\]

    et

    \[G_Y(t)=\frac{4}{5}t^2+\frac{1}{5}t^3.\]

    Maintenant, tu peux facilement voir la probabilité de choisir une balle donnée dans l'un ou l'autre sac.

    Et si tu voulais trouver la somme de leurs distributions de probabilité ? Comment ferais-tu pour trouver la fonction génératrice de probabilité pour \(Z=X+Y\) ? Une méthode consisterait à écrire la table de distribution des probabilités de \(Z\) :

    Tableau 3 - Distribution de probabilité pour \(Z=X+Y\)

    \(z\)\N(P(Z=z)\N)
    \(2\)\((P(X=0))(P(Y=2))=\dfrac{8}{25}\)
    \(3\)\((P(X=0))(P(Y=3))+(P(X=1))(P(Y=2))=\dfrac{14}{25}\)
    \(4\)\((P(X=1))(P(Y=3))=\dfrac{3}{25}\)

    Par conséquent, la fonction génératrice de probabilité de \(Z\) serait

    \[G_Z(t)=\frac{8}{25}t^2+\frac{14}{25}t^3 +\frac{3}{25}t^4 .\]

    Trouver la fonction génératrice de probabilité pour \(Z=X+Y\) n'était pas trop difficile dans l'exemple précédent parce que les fonctions génératrices de probabilité individuelles n'étaient pas si compliquées. Mais dans un cas où les fonctions génératrices de probabilité sont plus complexes, cela peut se compliquer très rapidement !

    Dans deux cas particuliers, il existe un moyen beaucoup plus rapide de trouver la somme de deux fonctions génératrices de probabilité.

    • Le premier cas est celui où tu as deux variables aléatoires discrètes indépendantes \N(X) et \N(Y) et où l'on te demande de trouver \N(Z) où \N(Z=X+Y\N).

    • Dans le deuxième cas, on te demande de trouver \N(Z\N) où \N(Z\N) est une fonction linéaire de la variable aléatoire discrète \N(X\N) (c'est-à-dire \N(Z=aX+b\N)).

    Examinons chaque cas.

    Trouver la fonction génératrice de probabilité de \(Z=X+Y\)

    Il existe un théorème très important qui couvre ce cas : le théorème de convolution.

    Théorème de convolution : Supposons que deux variables aléatoires discrètes indépendantes \N(X) et \N(Y) aient des fonctions génératrices de probabilité \N(G_X(t)\Net \N(G_Y(t)\N). La fonction génératrice de probabilité de \(Z=X+Y\) est

    \[G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t).\]

    Voyons une application.

    Dans l'exemple précédent, tu as trouvé deux fonctions génératrices de probabilité

    \[G_X(t)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}t\]

    et

    \[G_Y(t)=\frac{4}{5}t^2+\frac{1}{5}t^3,\]

    et a ensuite construit un tableau pour trouver cela pour \N(Z=X+Y\N),

    \[G_Z(t)=\frac{8}{25}t^2+\frac{14}{25}t^3 +\frac{3}{25}t^4 .\]

    Obtiens-tu la même réponse en utilisant le théorème de convolution ?

    Solution :

    En utilisant la formule \(G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t) \), tu as :

    \[\begin{align} G_Z(t) &= \left(\frac{2}{5} +\frac{3}{5}t\right) \left(\frac{4}{5}t^2+\frac{1}{5}t^3\right)\\N&.= \frac{8}{25}t^2+\frac{2}{25}t^3+\frac{12}{25}t^3+\frac{3}{25}t^4 \\&=\frac{8}{25}t^2+\frac{14}{25}t^3 +\frac{3}{25}t^4.[\N-END{align}\N]

    Tu peux donc voir que tu obtiens la même réponse en construisant le tableau qu'en utilisant le théorème de convolution.

    Le principal avantage du théorème de convolution est qu'il te permet de trouver la fonction génératrice de probabilité sans construire de tableau, ce qui réduit les risques d'erreur.

    Trouver la fonction génératrice de probabilité de \(Z=aX+b\)

    Voyons rapidement comment tu peux construire la fonction génératrice de probabilité de \(Z=nX\) où \(n\) est un nombre naturel à partir de la fonction génératrice de probabilité de \(X\). En commençant par \N(n=2\N),

    \N[ Z = 2X = X+X\N]

    tu peux donc utiliser le théorème de convolution pour obtenir que

    \N- G_Z(t)=G_X(t)G_X(t) = (G_X(t))^2.\N]

    Ensuite, tu peux utiliser la preuve par induction pour montrer que pour tout nombre naturel \N(n\N), si \N(Z=nX\N) alors

    \[G_Z(t)=\nunderbrace{G_X(t)G_X(t)\cdots G_X(t)}_{n \text{ fois}} = (G_X(t))^n.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

    Comme tu le sais, il n'y a pas que les nombres naturels, et tu dois aussi tenir compte de ce "\(+b\)". Il est donc utile d'examiner l'autre définition de la fonction génératrice de probabilité :

    \[G_Z(t) = \text{E}(t^Z).\N-]

    Tu peux ensuite utiliser les propriétés de la fonction de valeur attendue pour obtenir ce qui suit :

    \[\N- Début{alignement} G_Z(t) &= \text{E}(t^Z) \\N- &= \text{E}(t^{aX+b}) \N- &= \text{E}(t^{aX}t^b) \N- &= t^b\text{E}(t^{aX}) \N- &= t^b\text{E}\Nà gauche((t^a)^X\Nà droite) \N- &= t^bG_X(t^a) . \N- [end{align}\N]

    Bien que cette propriété n'ait pas de nom sophistiqué, elle mérite d'être énoncée séparément.

    Si \(X\) est une variable aléatoire discrète et a une fonction génératrice de probabilité de \(G_X(t)\), la fonction génératrice de probabilité de \(Z\) où \(Z=aX+b\) est :

    \[G_Z(t)=t^bG_X(t^a).\]

    Prenons un exemple rapide.

    Trouve la fonction génératrice de probabilité de \(Z=2X+3\) où \(X\) a la fonction génératrice de probabilité

    \[G_X(t)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}t.\]

    Solution :

    Bien que tu puisses construire un tableau pour trouver \(G_Z(t)\), il est beaucoup plus facile d'utiliser la propriété discutée ci-dessus. Dans ce cas

    \[G_Z(t)=t^3G_X(t^2),\]

    et tu as donc

    \N- [\N- Début{align} G_Z(t)&=t^3G_X(t^2)\\&=t^3\left(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}t^2\right)\\ &= \frac{2}{5}t^3+\frac{3}{5}t^5. \N- [end{align}\N]

    Espérance de la somme de variables aléatoires indépendantes

    Comme toutes les variables aléatoires, les sommes de variables aléatoires indépendantes ont également une espérance ou une moyenne. Tu peux utiliser le théorème de convolution et la définition alternative de la fonction génératrice de probabilité pour trouver l'espérance de la somme de variables aléatoires indépendantes, ainsi que les formules :

    • \(G'_X(1) = E(X)\) ;

    • \(\text{E}(aX+b) = a\text{E}(X) + b\) ; et

    • \(\text{E}(X+Y) = \text{E}(X) + \text{E}(Y)\).

    Pour savoir d'où viennent ces formules, consulte l'article Moyenne et variance des distributions de probabilités discrètes.

    Prenons un exemple.

    Suppose que tu saches que les variables aléatoires indépendantes \N(X) et \N(Y) ont des fonctions génératrices de probabilité

    \[G_X(t)=\frac{1}{27}(1+2t)^3\]

    et

    \[G_Y(t)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}t .\]

    Trouve \(\text{E}(X)\), \(\text{E}(Y)\), et \(\text{E}(X+Y)\).

    Solution :

    Trouvons d'abord \(\text{E}(X)\N). En prenant la dérivée,

    \[G'_X(t)=\frac{6}{27}+\frac{24}{27}t+\frac{24}{27}t^2,\]

    donc

    \N- [\N- Début{align} \text{E}(X) &=G'_X(1) \\N- &=\frac{6}{27}+\frac{24}{27}+\frac{24}{27} \N- &=2.\Nend{align}\N]

    De même pour \(\text{E}(Y)\),

    \[G'_Y(t)=\frac{2}{3}\]

    donc

    \[\text{E}(Y)=\frac{2}{3}.\]

    Alors

    \N- [\N- Début{alignement} \text{E}(X+Y) &=\text{E}(X)+\text{E}(Y)\\N &= 2 + \frac{2}{3} \N- &=\frac{8}{3}. \N- [Fin{align}\N]

    Variance de la somme de variables aléatoires indépendantes

    Tout comme tu as trouvé la moyenne ci-dessus, tu peux aussi trouver la variance des sommes de variables aléatoires indépendantes. Pour ce faire, tu auras besoin des formules suivantes :

    • \(\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)\) ; et
    • \(\text{Var}(Z)= G''_Z(1)+G'_Z(1)-(G'_Z(1))^2\).

    Prenons un exemple.

    Supposons que les variables aléatoires indépendantes discrètes \(X\) et \(Y\) aient des fonctions génératrices de probabilité

    \[G_X(t)=0.5+0.5t^2\]

    et

    \[G_Y(t)=0.1+0.9t^4.\]

    Trouve la variance de \(Z=X+Y\).

    Solution :

    Etant donné que \(G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t)\) d'après le théorème de convolution, tu as :

    \N- [\N- Début{align} G_Z(t) &= (0.5+0.5t^2) (0.1+0.9t^4) \\\&=0.05 +0.45t^4 + 0.05t^2+0.45t^6 .\end{align} \]

    En prenant la dérivée, tu obtiens

    \N- G'_Z(t) = 1.8t^3 + 0.1t + 2.7t^5,\N]

    donc

    \N- [\N- Début{align} \text{E}(Z)&= G'_Z(1) \\N&= 1.8 + 0.1 + 2.7 \N&=4.6 .\Nend{align}\N]

    Pour trouver la variance de \N(Z\N), tu auras besoin de la dérivée seconde évaluée à \N(t=1\N) :

    \N[ G''_Z(t) = 5.4t^2+0.1+13.5t^4,\N]

    donc

    \N- [\N- G''_Z(1)&= 5.4+0.1+13.5\N&= 19 .\N- end{align}\N]

    Cela signifie que la variance de \(Z\) est de

    \[ \begin{align} \text{Var}(Z)&= G''_Z(1)+G'_Z(1)-(G'_Z(1))^2 \\&= 19+4.6-(4.6)^2=2.44 .\end{align}\N]

    Exemples de sommes de variables aléatoires indépendantes

    Tu as déjà vu quelques exemples de financement de la somme de variables aléatoires indépendantes, ainsi que leur moyenne et leur variance. Cependant, pour des types de distributions spécifiques, comme la distribution binomiale et la distribution uniforme, le fait de les examiner, en particulier, peut être éclairant. Continue donc pour les détails !

    Somme de variables aléatoires binomiales indépendantes

    Suppose que tu aies deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des distributions binomiales. En d'autres termes, \sim \text{Bin}(n_X, p_X)\N et \sim \text{Bin}(n_Y, p_Y)\N Y \sim \text{Bin}(n_Y, p_Y)\N. Tu sais déjà que

    \[G_X(t) = (1-p_X+p_Xt)^{n_X}\]

    et

    \N- G_Y(t) = (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}.\N- G_Y(t) = (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}.

    Pour plus d'informations, voir Fonctions génératrices de probabilité et distribution binomiale.

    En utilisant le théorème de convolution, si \N(Z = X+Y\N) alors

    \N- [\N- Début{align} G_Z(t) &= G_X(t) G_Y(t) \\\N- &= (1-p_X+p_Xt)^{n_X} (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}. \N-{align}\N- [\N]

    Prenons un exemple.

    Quelle est la fonction génératrice de probabilité pour la somme de \(X\sim \text{Bin}(5,0.5)\) et \(Y\sim \text{Bin}(15,0.2)\) ?

    Solution :

    Ici

    \N-[G_X(t) = (1-0.5+0.5t)^5 = ( 0.5 + 0.5t)^5,\N]

    et

    \N-[G_Y(t) = (1-0.2+0.2t)^{15} = (0.8+0.2t)^{15} ,\N]

    donc

    \[\begin{align}G_{X+Y}(t)&=G_X(t)G_Y(t) \\&=( 0.5 + 0.5t)^5 (0.8+0.2t)^{15} .\Nend{align} \]

    Somme de variables aléatoires uniformes indépendantes

    Rappelle-toi qu'une variable aléatoire uniforme discrète prend des probabilités égales pour chaque résultat possible. Ainsi, si la distribution \(X\) comporte des événements se produisant avec une probabilité \(\dfrac{1}{n}\), alors

    \[ G_X(t) = \frac{t(1-t^n)}{n(1-t)}.\]

    Si \N(Y\N) est une seconde distribution aléatoire discrète et uniforme dont les événements se produisent avec une probabilité de \N(\Ndfrac{1}{m}\N), et \N(Z = X+Y\N), alors

    \[ \begin{align} G_Z(t) &= G_X(t) G_Y(t) \\N- &= \left(\frac{t(1-t^n)}{n(1-t)} \right)\left(\frac{t(1-t^m)}{m(1-t)}\right) \N- &= \frac{t^2(1-t^n)(1-t)^m}{nm(1-t)^2} .\Nend{align}\N]

    Prenons un exemple.

    Supposons que tu aies deux dés à faces \N(4\N) :

    • le dé \N(X\N) a pour faces \N(1\N), \N(2\N), \N(3\N), et \N(4\N) ; et
    • le dé \N(Y\N) a des faces qui se lisent \N(1\N), \N(1\N), \N(2\N), et \N(2\N).

    Trouve la fonction génératrice de probabilité de \(Z=X+Y\).

    Solution :

    Pour le dé \N(X\N), \N(n=4\N) donc

    \[G_X(t)=\frac{t(1-t^4)}{4(1-t)},\]

    et pour le dé (Y) tu as (m=2), donc

    \[G_Y(t)=\frac{t(1-t^2)}{2(1-t)}.\]

    Alors

    \[ \begin{align} G_Z(t)&=G_X(t)G_Y(t) \\N- &= \N-gauche(\Nfrac{t(1-t^4)}{4(1-t)} \N-droite)\N-gauche(\Nfrac{t(1-t^2)}{2(1-t)} \N-droite) \N- &= \Nfrac{t^2(1-t^4)(1-t^2)}{(4)(2)(1-t)^2} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- &= \Nfrac{t^2}{8}(1+t)^2(1+t^2). \N- [end{align}\N]

    Il n'est en fait pas nécessaire de mémoriser les différentes formules pour les divers types de distributions de probabilités discrètes tant que tu gardes à l'esprit le théorème de convolution !

    Somme de variables aléatoires indépendantes - Principaux enseignements

    • Supposons que les variables aléatoires indépendantes discrètes \N(X) et \N(Y) aient des fonctions génératrices de probabilité \N(G_X(t)\Net \N(G_Y(t)\N). La fonction génératrice de probabilité de \N(Z\N) (où \N(Z=X+Y\N)) est \N(G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t)\N).
    • Si \(X\) est une variable aléatoire discrète et a une fonction génératrice de probabilité de \(G_X(t)\), la fonction génératrice de probabilité de \(Z\) où \(Z=aX+b\) est \(G_Z(t)=t^bG_X(t^a)\).
    • Pour trouver la variance de \(Z=aX+b\) où \(X\) est une distribution de probabilité aléatoire discrète, rappelle-toi que :
      • \(\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)\) ; et
      • \(\text{Var}(Z)= G''_Z(1)+G'_Z(1)-(G'_Z(1))^2\).
    • Pour trouver la moyenne de la somme de variables aléatoires indépendantes discrètes, rappelle-toi les formules :
      • \N(G'_X(1) = E(X)\N) ;

      • \(\text{E}(aX+b) = a\text{E}(X) + b\) ; et

      • \(\text{E}(X+Y) = \text{E}(X) + \text{E}(Y)\).

    Questions fréquemment posées en Somme de variables aléatoires indépendantes
    Qu'est-ce qu'une somme de variables aléatoires indépendantes ?
    Une somme de variables aléatoires indépendantes est le résultat de l'addition de plusieurs variables aléatoires où chaque variable ne dépend d'aucune autre.
    Pourquoi les sommes de variables aléatoires indépendantes sont-elles importantes ?
    Les sommes de variables aléatoires indépendantes sont importantes car elles permettent de modéliser et d'analyser les phénomènes aléatoires complexes.
    Quelle est la loi de la somme de variables aléatoires indépendantes ?
    La loi de la somme de variables aléatoires indépendantes dépend des distributions des variables initiales et peut souvent être déterminée par des méthodes telles que la convolution.
    Quel est l'intérêt du théorème central limite dans ce contexte ?
    Le théorème central limite indique que sous certaines conditions, la somme de variables aléatoires indépendantes suit approximativement une distribution normale, facilitant ainsi les calculs statistiques.
    Sauvegarder l'explication

    Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

    Laquelle des formules suivantes utilises-tu pour trouver la variance d'une distribution de probabilité à partir de la fonction génératrice de probabilité ?

    Si \(X\) est une variable aléatoire discrète et a une fonction génératrice de probabilité de \(G_X(t)\), la fonction génératrice de probabilité de \(Z\) où \(Z=aX+b\) est ____.

    Pour utiliser le théorème de convolution, qu'est-ce qui doit être vrai à propos de \(X\) et \(Y\) ?

    Suivant

    Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

    Lance-toi dans tes études
    1
    À propos de StudySmarter

    StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

    En savoir plus
    Équipe éditoriale StudySmarter

    Équipe enseignants Mathématiques

    • Temps de lecture: 14 minutes
    • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
    Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

    Sauvegarder l'explication

    Inscris-toi gratuitement

    Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !

    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    La première appli d'apprentissage qui a réunit vraiment tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.

    • Fiches & Quiz
    • Assistant virtuel basé sur l’IA
    • Planificateur d'étude
    • Examens blancs
    • Prise de notes intelligente
    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !