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Loi binomiale

La loi binomiale peut modéliser de nombreuses situations réelles, mais sais-tu comment l'utiliser ? Dans ce résumé de cours, nous allons détailler à quoi sert la loi binomiale et définir ce qu'est une distribution binomiale à l'aide d'un schéma de Bernoulli. Nous te montrerons également comment calculer l'espérance et la variance de cette loi de probabilité.

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La loi binomiale peut modéliser de nombreuses situations réelles, mais sais-tu comment l'utiliser ? Dans ce résumé de cours, nous allons détailler à quoi sert la loi binomiale et définir ce qu'est une distribution binomiale à l'aide d'un schéma de Bernoulli. Nous te montrerons également comment calculer l'espérance et la variance de cette loi de probabilité.

À quoi sert la loi binomiale ?

La loi binomiale sert à calculer la probabilité d'avoir un certain nombre de succès parmi \(n\) essais.

Imagine que tu lances un dé \(100\) fois. Tu peux utiliser la loi binomiale pour calculer que tu obtiens \(6\) au moins \(20\) fois

Il y a des applications bien concrètes de la loi binomiale qui aident dans la prise d'une décision. Notamment, nous pouvons utiliser un intervalle de fluctuation ou un intervalle de confiance. Pour plus d'informations, n'hésite pas à consulter notre résumé de cours sur l'échantillonnage.

Imagine que tu es ingenieur, travaillant pour une entreprise qui fabrique des ampoules. D'après les données récoltées, il est supposé que 2 % des ampoules sont défectives. Tu peux utiliser la loi binomiale pour déterminer un intervalle de fluctuation qui t'aidera à déterminer si les lots d'ampoules produites sont conformes aux attentes de l'entreprise.

Pour définir la loi binomiale, nous utiliserons le cadre d'un schéma de Bernoulli.

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est un concept mathématique fortement lié à la loi binomiale. Toutefois, il ne faut pas confondre un schéma de Bernoulli avec une épreuve de Bernoulli.

Une épreuve de Bernoulli est une expérience dans laquelle il n'y a que deux résultats : réussite ou échec.

Un jeu de pile ou face est un exemple d'épreuve de Bernoulli. Obtenir pile est une « réussite » et obtenir face est un « échec » — ou inversement.

S'il y a une probabilité donnée de réussite, la situation peut être modélisée par une loi de Bernoulli. N'hésite pas à consulter notre résumé de cours sur la loi de Bernoulli pour plus d'informations.

La répétition de plusieurs épreuves de Bernoulli indépendantes est appelée un schéma de Bernoulli.

Jouer à pile ou face plusieurs fois de suite est un exemple d'un schéma de Bernoulli. Le résultat de chacun de ces jeux est indépendant des autres.

Tandis qu'une épreuve de Bernoulli est modélisée par une loi de Bernoulli, un schéma de Bernoulli est modélisé par une loi binomiale, aussi appelée distribution binomiale.

Distribution binomiale

Une loi binomiale, également appelée distribution binomiale, se caractérise grâce à deux paramètres : la probabilité de réussite, \(p\), et le nombre d'expériences, \(n\).

La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale, ou distribution binomiale, si la probabilité d'avoir \(k\) succès après \(n\) essais est égale à : \[ \mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \]

Le symbole \(\binom{n}{k}\) te paraît étrange ? Il s'agit d'un coefficient binomial et il se calcule de la façon suivante : \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{ k!( n-k)!} \] où \(n!\) se prononce « n factorielle » et \(n! = 1 \times 2 \times 3 ... \times n \). Voyons comment tout cela fonction avec un exemple.

Une équipe de foot jouera dix matchs cette année. L'année dernière, elle a gagné trois quarts de ses matchs. Saurais-tu calculer la probabilité que l'équipe gagne 60 % de ses matchs cette année ?

Il faut d'abord identifier les valeurs des paramètres de la distribution binomiale.

Ici, \(p=0{,}75\), \(n=10\) et \(k=6\).

\( \mathbb{P}(X = 6) = \binom{10}{6} (0{,}75)^{6} \times (0{,}25)^{4} \)

\( \mathbb{P}(X = 6) = 0{,}146 \)

Pas besoin de calculer à la main, utilise ta calculatrice ! Pour calculer les coefficients binomiaux, il y a un bouton où « nCr » est marqué habituellement.

Il est important de connaître les expressions pour l'espérance et pour la variance des lois de probabilité habituelles. Ces valeurs nous facilitent d'autres calculs, notamment pour l'échantillonnage dans le cas de la loi binomiale.

Quelle est l'espérance de la loi binomiale ?

L'espérance de la loi binomiale est donnée par l'expression \(np\), où \(n\) est le nombre d'expériences et \(p\) est la probabilité de réussite. L'espérance d'une variable aléatoire est un peu comme sa valeur moyenne.

Avant d'appliquer cette formule pour calculer l'espérance d'une variable aléatoire, il faut s'assurer que la variable en question peut être modélisée par une loi binomiale.

Voici un exemple de comment calculer la variance d'une variable qui suit une loi binomiale.

Savais-tu qu'en moyenne 3 % de personnes qui visitent un site web vont acheter quelque chose de ce site ? Imagine que 1000 personnes visitent un certain site web, saurais-tu estimer combien de personnes vont acheter quelque chose de ce site ?

Comme il s'agit d'une situation modélisable par une distribution binomiale où \(n = 1000\) et \(p = 0{,}03\), nous pouvons espérer que \(1000 \times 0{,}03 = 30\) personnes vont acheter quelque chose ce jour-là.

L'information que nous obtenons avec l'espérance est complétée par la variance.

Quelle est la variance de la loi binomiale ?

La variance de la loi binomiale est donnée par l'expression \(np(1-p)\). Ici, (n\) est le nombre d'expériences et \(p\) est la probabilité de réussite.

Si la variance d'une variable aléatoire est petite, alors les valeurs de la variable sont souvent proches de l'espérance. Dans le cas contraire, les valeurs sont un peu partout, étant parfois proches de l'espérance et d'autres fois très éloignées.

Voici un exemple de comment déterminer la variance d'une loi binomiale.

Imagine que tu travailles dans une entreprise qui fabrique des ampoules. D'après les données, nous savons que 2 % des ampoules vont avoir un défaut. Comparer les variances d'un échantillon de tailles \(100\) et \(1000\).

Ici, \(n=100\) ou \(1000\) et \(p=0{,}02\).

Dans le premier cas, la variance est donc \(np(1-p) = 100 \times 0{,}02 \times 0{,}98 = 1{,}96\)

Dans le second cas, nous obtenons une variance de \(1000 \times 0{,}02 \times 0{,}98 = 19{,}6\)

En conclusion, lorsque la taille de l'échantillon augmente, la variance augmente également.

Loi binomiale : formules

Dans cette section, nous résumons quelques formules utiles pour la loi binomiale.

FormuleDescription
\[ \mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \]Si la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale, alors la probabilité que \(X\) soit égale à \(k\) est donnée par cette formule.
\[\mathbb{E}[X]= np\]Cette formule donne l'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).
\[\text{Var}[X] = np(1-p)\]Cette formule donne la variance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).

Loi binomiale - Points clés

  • La loi binomiale, aussi appelée distribution binomiale, modélise des situations où il y a un concept de « réussite » avec plusieurs expériences effectuées.
  • Une épreuve de Bernoulli n'a que deux résultats : réussite ou échec. Un schéma de Bernoulli consiste à répéter plusieurs épreuves de Bernoulli indépendantes.
  • Si \(X\) suit une loi binomiale, la probabilité d'avoir \(k\) succès après \(n\) expériences est égale à : \[ \mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \]
  • L'espérance de la loi binomiale est \(np\).
  • La variance d'une loi binomiale est \(np(1-p)\).

Questions fréquemment posées en Loi binomiale

Une variable aléatoire suit une loi binomiale s'il y a une probabilité constante de réussite parmi un certain nombre d'expériences indépendantes et identiques. 

La loi de Bernoulli est valable pour une expérience, alors que la loi binomiale s'utilise pour plusieurs expériences identiques et indépendantes.

Pour une loi binomiale, nous ne devons pas calculer n et p. Il faut plutôt interpréter le contexte donné pour déterminer le nombre d'expériences, n, et la probabilité ou le taux de réussite. 

En vertu du théorème centrale limite, nous pouvons utiliser la loi normale quand la taille de l'échantillon est supérieur à 30. La loi binomiale s'utilise pour plusieurs expériences identiques et indépendantes.

Pour calculer l'espérance de la loi binomiale, nous utilisons l'expression np. 

Pour calculer la variance de la loi binomiale, nous utilisons l'expression np(1-p). 

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