En probabilité, un événement est un résultat ou un ensemble de résultats d'une expérience. Une expérience est un processus qui peut être répété de nombreuses fois, produisant un ensemble de résultats spécifiques. L'ensemble de tous les résultats possibles est appelé l'espace d'échantillon ou univers. Par conséquent, un événement peut également être considéré comme un sous-ensemble de l'espace d'échantillon. Par exemple, obtenir face en lançant une pièce de monnaie est un événement, et obtenir un 4 en lançant un dé est aussi un événement.
Décrire un événement de probabilité
La probabilité d'un événement est comprise entre \(0\) et \(1\), et elle mesure la probabilité qu'un événement se produise. Si la probabilité d'un événement est de \(0\), il est considéré comme impossible. Si la probabilité d'un événement est de \(1\), il est certain qu'il se produira. Si la probabilité d'un événement est de \(0{,}5\), l'événement a autant de chances de se produire que de ne pas se produire. Tout événement dont la probabilité est comprise entre \(0\) et \(0{,}5\) est considéré comme peu probable, et tout événement dont la probabilité est comprise entre \(0{,}5\) et \(1\) est considéré comme probable.
Les probabilités peuvent être exprimées en fractions, en décimales ou en pourcentages. Par exemple, si un événement a une probabilité de \( \frac{1}{2} \), cela revient à dire 0,5 ou 50 %.
\(Probabilit\acute{e} \ d'un \ \acute{e}v\acute{e}nement = \frac{nombre \ de \ r\acute{e}sultats \ qui \ satisfont \ à \ une \ condition}{nombre \ total \ de \ r\acute{e}sultats \ possibles}\)
Si tu as un sac avec \(6\) boules rouges et \(4\) boules bleues, et que tu prends une boule dans le sac, quelle est la probabilité que cette boule soit bleue ?
P(la boule est bleue) = \( \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\)%
Probabilités événements indépendants
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si le fait que \(A\) se soit produit n'affecte pas la probabilité que \(B\) se produise, et vice versa. Par exemple, lorsqu'on lance deux fois une pièce de monnaie, le résultat du premier événement n'affecte pas la probabilité du second. La probabilité d'obtenir face la première fois est de \(0{,}5\), et la probabilité d'obtenir face la deuxième fois est également de \(0{,}5\), la probabilité ne change pas, quel que soit le nombre de fois que tu lances la pièce. Le résultat de l'événement précédent n'a aucun effet sur l'événement suivant.
Formule de probabilité des événements indépendants
Lorsque deux événements sont indépendants, tu peux utiliser la règle de multiplication suivante :
\(P(A\:et\:B) = P(A) \times P(B)\) en utilisant la notation des ensembles : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
Cette règle peut être lue comme la probabilité que \(A\) et \(B\) se produisent ensemble est égale à la probabilité de \(A\) multipliée par la probabilité de \(B\).
Étant donné que la probabilité que \(A\) et \(B\) se produisent ensemble est de \(0{,}4\) et \(P(A)=0{,}6\), et \(P(B)=0{,}5\). Démontre que \(A\) et \(B\) ne sont pas des événements indépendants.
\(P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3\)
\(0{,}3 \neq 0{,}4\)
Par conséquent, \(A\) et \(B\) ne sont pas des événements indépendants
Probabilités événements dépendants
Deux événements \(A\) et \(B\) sont dépendants si le fait que \(A\) se soit produit affecte la probabilité que \(B\) se produise et vice versa.
Si tu choisis deux cartes dans un jeu de cartes sans remettre la carte après avoir choisi, la probabilité d'obtenir un as lors du premier événement est \( \frac{4}{52} \).
Cependant, la probabilité d'obtenir un as pour la deuxième carte change en fonction de ce qui s'est passé lors du premier événement : Si la première carte était un as, la probabilité d'obtenir un autre as sera de \( \frac{3}{51} \), car un as a déjà été choisi et nous avons une carte de moins dans le jeu. Si la première carte n'était pas un as, alors la probabilité d'obtenir un as lors du deuxième événement est de \( \frac{4}{51}\).
Formule de probabilité des événements dépendants
La règle de multiplication pour les événements dépendants est la suivante :
\(P(A\:et\:B)=P(A) \times P(B \: après \:A)\) en utilisant la notation des ensembles :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \)
Cette règle peut être lue comme suit : la probabilité que \(A\) et \(B\) se produisent ensemble est égale à la probabilité \(A\) multipliée par la probabilité de \(B\) après que \(A\) se soit produit.
Pour revenir à l'exemple précédent, la probabilité d'obtenir deux as dans un jeu de cartes sans remplacer les cartes est la suivante :
\(A=\) obtenir un as lors du premier événement
\(B=\) obtenir un as lors du deuxième événement
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \)
\(P(A \cap B) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = 0{,}4\)%
Événements mutuellement exclusifs
Les événements mutuellement exclusifs n'ont aucune issue en commun. Par conséquent, ils ne peuvent pas se produire ensemble. Par exemple, obtenir pile ou face en lançant une pièce de monnaie sont des événements mutuellement exclusifs, car tu ne peux pas obtenir les deux en même temps.
En utilisant un diagramme de Venn, les événements mutuellement exclusifs peuvent être représentés comme suit :
Diagramme de Venn d'événements mutuellement exclusifs
Formule de probabilité des événements mutuellement exclusifs
Dans le cas d'événements mutuellement exclusifs, tu peux utiliser la règle d'addition suivante pour calculer les probabilités combinées :
\(P(A\:ou\:B)=P(A) + P(B)\)
Cette règle peut être lue comme suit : la probabilité que \(A\) ou \(B\) se produise est égale à la probabilité de \(A\) plus la probabilité de \(B\).
Dans ce cas, la probabilité que \(A\) et \(B\) se produisent ensemble est de \(0\).
\(P(A\:et\:B) = P(A \cap B) = 0\)
La probabilité d'obtenir pile ou face en lançant une pièce de monnaie est la suivante :
\(A\)= la pièce tombe sur pile
\(B\)= la pièce tombe sur face
\(P(A\:ou\:B)=P(A) + P(B)\)
\(P(A\:ou\:B)= 0{,}5 + 0{,}5 = 1\)
Événements composés
Les événements composés consistent à réaliser deux expériences ou plus ensemble. Lorsque tu travailles sur des événements composés, il est utile de visualiser tous les résultats possibles à l'aide d'un arbre de probabilités.
Si tu as un sac avec \(12\) boules : \(6\) rouges, \(4\) bleues et \(2\) jaunes, et que tu sors deux boules du sac en remplaçant la boule à chaque fois. Quelle est la probabilité de choisir une boule bleue et une boule jaune ?
Exemple d'événements composés
Voyons cela plus clairement avec un arbre de probabilités :
Exemple avec un arbre de probabilités
Le fait que la boule soit remise dans le sac à chaque fois signifie que les événements sont indépendants. Par conséquent, nous pouvons utiliser la règle de multiplication pour trouver la probabilité que les deux événements se produisent ensemble.
En regardant l'arbre, nous pouvons voir qu'il y a deux chemins possibles à suivre :
1. Obtenir une boule bleue d'abord et une boule jaune ensuite
2. Obtenir une boule jaune d'abord et une boule bleue ensuite
En utilisant la règle de multiplication \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \), les deux chemins te donnent la même probabilité, comme tu peux le voir dans l'arbre de probabilités, et tu dois maintenant les additionner pour calculer la probabilité que l'un des résultats se produise 1 ou 2 :
\(P(1\:ou\:2)= \frac{8}{144} + \frac{8}{144} = \frac{16}{144} = \frac{1}{9} = 0{,}111\)
Événements contraires
L'événement contraire de A est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
Par exemple, si l'événement \(A\) a une probabilité de \(2/3\) de se produire, alors l'événement contraire \(B\) aurait une probabilité de \(1/3\) de se produire.
La formule pour calculer la probabilité d'un événement contraire est la suivante : \(P(A') = 1 - P(A)\). Donc, dans l'exemple ci-dessus, la probabilité de l'événement \(B\) serait calculée comme suit : \(P(B) = 1 - P(A) = 1 - 2/3 = 1/3 \).
Probabilités d'un événement - Points clés
- Un événement en probabilité est le résultat ou l'ensemble de résultats résultant d'une expérience.
- La probabilité des événements est comprise entre \(0\) et \(1\), et elle mesure la probabilité qu'un événement se produise.
- Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si le fait que \(A\) se soit produit n'affecte pas la probabilité que \(B\) se produise, et vice versa.
- Deux événements \(A\) et \(B\) sont dépendants si le fait que \(A\) se soit produit affecte la probabilité que \(B\) se produise et vice versa.
- Les événements mutuellement exclusifs sont des événements qui ne peuvent pas se produire ensemble.
- Les événements composés consistent en la réalisation de deux expériences ou plus ensemble.
- L'événement contraire de A est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
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