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Figure 1. La distribution du khi-deux est utile pour trouver une relation entre deux choses, comme les prix des vêtements dans différents magasins.
Dans cet article, tu vas découvrir un nouveau type de distribution qui permet de répondre à des questions comme celles-ci - la distribution du khi-deux. Tu étudieras la formule de la distribution du khi-deux, les propriétés d'une distribution du khi-deux, les tableaux de distribution du khi-deux et tu travailleras sur plusieurs exemples de distribution du khi-deux. Tu seras également initié aux principales applications de la distribution du khi-deux, notamment :
le test du chi-deux pour la qualité de l'ajustement - qui te dit si les données correspondent à une certaine distribution, comme dans l'exemple des numéros de loterie.
le test du chi-deux pour l'homogénéité - qui te dit si deux populations ont la même distribution, comme dans l'exemple des vêtements.
le test du chi-deux pour l'indépendance - qui teste la variabilité, comme dans l'exemple de la machine à café.
Chacun de ces tests fait l'objet d'un article distinct.
Définition de la distribution du khi-deux
Que se passe-t-il lorsque tu mets au carré une variable aléatoire normalement distribuée ? Tu connais la distribution de probabilité de la variable aléatoire elle-même, mais qu'est-ce que cela te dit sur la distribution de la variable aléatoire élevée au carré ? Cette question a conduit à la découverte de la distribution du khi-deux, qui s'avère utile dans une grande variété de contextes.
Une distribution du khi-deux ( (\chi^{2}) \N) est une distribution de probabilité continue de la somme des carrés de variables aléatoires normales indépendantes et standard qui est largement utilisée dans les tests d'hypothèse.
La distribution du chi-deux est à la base de trois tests du chi-deux :
le test du khi-deux pour la qualité de l'ajustement - qui te permet de comparer les distributions de probabilités observées aux distributions attendues,
le test du chi-deux pour l'indépendance et le test du chi-deux pour l'homogénéité ;
le test du chi-deux pour l'indépendance te permet de tester l'indépendance des variables catégorielles, et
le test du chi-deux pour l'homogénéité te permet de tester si deux variables catégorielles suivent la même distribution de probabilité.
le test de variance unique - qui te permet d'estimer la distribution d'échantillonnage de la variance.
La forme de base d'une distribution du khi-deux est déterminée par ses degrés de liberté, désignés par \(k\).
Les degrés de liberté, \(k\), sont le nombre de valeurs qui peuvent varier.
Prenons un exemple.
Disons que tu as \(4\) nombres qui s'additionnent à \(1\) :
\N[ X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} = 1 \N].
Combien de valeurs de \(X\) sont libres de varier ?
Solution:
La réponse est \N(3\N) car si tu connais \N(3\N) des nombres, alors tu peux résoudre le \N(4^{th}\N nombre :
\N[ X_{4} = 1 - (X_{1} + X_{2} + X_{3}) \N].
Cet exemple a donc \(3\) degrés de liberté.
Dans la pratique, le nombre de degrés de liberté, \(k\), est souvent inférieur d'un degré au nombre d'observations.
Le graphique suivant illustre des exemples de distributions du khi-deux avec différentes valeurs de \(k\).
Figure 2. Comparaison de distributions du khi-deux avec différents degrés de liberté.
Étant donné que très peu d'observations du monde réel suivent une distribution du khi-deux, l'objectif principal d'une distribution du khi-deux est la vérification d'hypothèses.
Relation entre la distribution du khi-deux et la distribution normale standard
La raison pour laquelle la distribution du khi-deux est utile pour les tests d'hypothèses est qu'elle est étroitement liée à la distribution normale standard : une distribution normale dont la moyenne est \(0\) et la variance est \(1\). Examinons cette relation.
Supposons que tu prennes un échantillon aléatoire d'une distribution normale standard, \N(Z\N). Si tu mets au carré toutes les valeurs de ton échantillon, tu as maintenant la distribution du khi-deux avec un degré de liberté, ou \N( k = 1 \N). Donc, mathématiquement, tu représentes ceci comme :
\[ \chi_{1}^{2} = Z^{2} \]
Maintenant, disons que tu veux prendre des échantillons aléatoires à partir de \(2\N) distributions normales standard indépendantes, \N( Z_{1} \N) et \N( Z_{2} \N). Si tu mets chaque échantillon au carré et que tu les additionnes chaque fois que tu échantillonnes une paire de valeurs, tu obtiens la distribution du chi-deux avec deux degrés de liberté, ou \( k = 2 \N). Tu la représentes mathématiquement comme suit :
\[ \chi_{2}^{2} = (Z_{1})^{2} + (Z_{2})^{2} \].
En continuant avec ce modèle, en général, si tu prends des échantillons aléatoires à partir de \(k\N) distributions normales standard indépendantes, puis que tu mets ces valeurs au carré et que tu les additionnes, tu obtiens une distribution du khi-deux avec \(k\N) degrés de liberté. Encore une fois, ceci est représenté mathématiquement comme :
\[ \i_{k}^{2} = (Z_{1})^{2} + (Z_{2})^{2} + \ildots + (Z_{k})^{2} \i].
En résumé, une utilisation courante de la distribution du khi-deux consiste à trouver la somme des carrés de variables aléatoires normalement distribuées. Ainsi, si \( Z_{i} \) représente une variable aléatoire normalement distribuée, alors :
\[ \sum_{i=1}^{k} Z_{i}^{2} \sim \chi^{2}_{k} \]
Formule de distribution du khi-deux
Les tests du khi-deux sont des tests d'hypothèse dont les statistiques de test suivent une distribution du khi-deux sous l'hypothèse nulle. Le premier test du khi-deux, et le plus utilisé, à avoir été découvert est le test du khi-deux de Pearson.
La formule de distribution du chi -carré de Pearson (alias statistique ou statistique de test) est la suivante
\[ \chi^{2} = \sum \frac{(O-E)^{2}}{E} \]
où ,
\N( \Nchi^{2} \N) est la statistique du test du khi-deux
\N( \Nsum \N) est l'opérateur de sommation
\N- O \Nest la fréquence observée
\N( E \N) est la fréquence attendue
Si tu prélèves de nombreux échantillons d'une population et que tu calcules la statistique du test du khi-deux de Pearson pour chaque échantillon, la statistique du test suivra une distribution du khi-deux, à condition que l'hypothèse nulle soit vraie.
Moyenne d'une distribution du khi-deux
La moyenne d'une distribution du khi-deux correspond aux degrés de liberté :\N[ \Nmu \Nà gauche[ \Nchi^{2} \Nà droite] = k. \]
Variance d'une distribution du khi-deux
La variance d'une distribution du khi-deux est le double des degrés de liberté :\[ \sigma^{2} \left[ \chi^{2} \right] = 2k. \]
Mode d'une distribution du khi-deux
Le mode d'une distribution du khi-deux correspond aux degrés de liberté moins deux (lorsque \( k \geq 2 \)) :\[ \text{mode} \left[ \chi^{2} \right] = k - 2, \text{ if } k \geq 2 \]
Écart-type d'une distribution du khi-deux
L'écart-type d'une distribution du khi-deux est la racine carrée de deux fois les degrés de liberté :
\[ \sigma \left[ \chi^{2} \right] = \sqrt{2k} \]
Propriétés de la distribution du khi-deux
La distribution du khi-deux possède plusieurs propriétés qui la rendent facile à utiliser et bien adaptée aux tests d'hypothèse :
Une distribution du khi-deux est une distribution continue .
Une distribution du khi-deux est définie par un seul paramètre: les degrés de liberté, \(k\).
La somme de variables aléatoires indépendantes du khi-deux est également une variable aléatoire du khi-deux, les degrés de liberté de la somme étant la somme des degrés de liberté :\[ \chi^{2}_{k_{1}} + \chi^{2}_{k_{2} + \sim \chi^{2}_{k_{1} + k_{2}} \].
Portée d'une distribution du khi-deux
Une distribution du khi-deux n 'est jamais négative. C'est ce que l'on voit le plus facilement dans la formule du rapport des variances. Puisque le haut et le bas de la fraction sont tous deux positifs, le ratio ne peut jamais être négatif. En d'autres termes :
\[ \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} \geq 0 \]
Cela signifie que l'étendue est :\[ \text{range} \left[ \chi^{2} \right] = 0 \to \infty \]
Symétrie d'une distribution du khi-deux
La contrainte selon laquelle une variable aléatoire distribuée en khi-deux ne peut jamais être négative signifie qu'une distribution en khi-deux ne peut pas être symétrique. Il s 'agit d'une distribution non symétrique. Cependant, une distribution du khi-deux devient de plus en plus symétrique à mesure que \(k\) augmente.
Forme d'une distribution du khi-deux
La forme d'une distribution du khi-deux dépend des degrés de liberté, \(k\). Lorsque la valeur de \(k\) augmente, la distribution du khi-deux ressemble davantage à la courbe en cloche d'une distribution normale. En effet, alors qu'une distribution du khi-deux ne peut jamais être négative, elle va jusqu'à l'infini dans le sens positif. En termes statistiques, on dit qu'une distribution du khi-deux est asymétrique vers la droite parce que la queue droite est plus longue que la queue gauche.
L'asymétrie d'une distribution du khi-deux est égale à :
\[ \text{Skewness}] \left[ \chi^{2} \right] = \sqrt{\frac{8}{k}} \]
Cela signifie que la moyenne d'une distribution du khi-deux est supérieure à la médiane et au mode. Lorsque \(k\) devient de plus en plus grand, le nombre sous la racine carrée se rapproche de plus en plus de zéro, de sorte que l'asymétrie de la distribution se rapproche de zéro lorsque \(k\) s'approche de l'infini.
Lorsqu'une distribution du khi-deux a un ou deux degrés de liberté
Lorsqu'une distribution du khi-deux n'a qu'un ou deux degrés de liberté ( \( k = 1 \) ou \( k = 2 \) ), elle a la forme d'un "J" à l'envers.
Figure 3. Graphiques d'une distribution du khi-deux à un et deux degrés de liberté.
La forme de ces distributions du khi-deux signifie qu'il y a une forte probabilité que \( \chi^{2} \) soit proche de zéro.
Lorsqu'une distribution du khi-deux a trois degrés de liberté ou plus
Lorsqu'une distribution du khi-deux a trois degrés de liberté ou plus ( \( k \geq 3 \) ), elle prend la forme d'une bosse avec un pic au milieu qui ressemble davantage à une distribution normale. Cela signifie qu'il y a une faible probabilité que \( \chi^{2} \) soit très proche ou très éloigné de zéro.
Lorsque \(k\) est à peine plus grand que \(2\), la distribution du khi-deux a une queue droite beaucoup plus longue que la queue gauche, c'est-à-dire qu'elle est fortement asymétrique à droite.
Figure 4. Graphiques d'une distribution du khi-deux à trois et cinq degrés de liberté.
Rappelle-toi que la moyenne d'une distribution du khi-deux correspond aux degrés de liberté, puis remarque que le pic se trouve toujours à gauche de la moyenne. Remarque également que la queue gauche se termine à zéro, mais que la queue droite se prolonge indéfiniment. Le pic de la distribution ne peut jamais vraiment être au milieu ; il doit toujours être à gauche du centre (parce que la moitié de l'infini est aussi infinie).
Au fur et à mesure que les degrés de liberté, \(k\), augmentent, l'asymétrie de la distribution devient de plus en plus petite. Lorsque les degrés de liberté s'approchent de l'infini, la distribution se rapproche d'une distribution normale.
Figure 5. Une distribution du khi-deux qui a \(90\) degrés de liberté. À ce stade, tu peux utiliser une distribution normale comme une bonne approximation de la distribution du khi-deux.
En fait, lorsque \( k \geq 90 \), tu peux considérer une distribution normale comme une bonne approximation de la distribution du khi-deux.
Tableaux de distribution du chi-deux
De nos jours, de nombreuses calculatrices et n'importe quel logiciel statistique peuvent calculer une distribution du khi-deux. Mais avant que ces logiciels ne soient omniprésents, les gens avaient besoin d'un moyen facile de calculer approximativement cette valeur. C'est pourquoi ils ont créé le tableau du chi-deux. La table de distribution du chi-deux est un outil de référence que tu peux utiliser pour trouver les valeurs critiques du chi-deux.
Une valeur critique du khi-deux est un seuil de signification statistique pour les tests d'hypothèse. Elle définit également les intervalles de confiance pour certains paramètres.
Voici un exemple de table de distribution du khi-deux pour \(1-5\) degrés de liberté.
| Points de pourcentage de la distribution du khi-deux | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Degrés de liberté(k) | Probabilité d'une plus grande valeur de X2; niveau de signification (α) | ||||||||
| 0.99 | 0.95 | 0.90 | 0.75 | 0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | |
| 1 | 0.000 | 0.004 | 0.016 | 0.102 | 0.455 | 1.32 | 2.71 | 3.84 | 6.63 |
| 2 | 0.020 | 0.103 | 0.211 | 0.575 | 1.386 | 2.77 | 4.61 | 5.99 | 9.21 |
| 3 | 0.115 | 0.352 | 0.584 | 1.212 | 2.366 | 4.11 | 6.25 | 7.81 | 11.34 |
| 4 | 0.297 | 0.711 | 1.064 | 1.923 | 3.357 | 5.39 | 7.78 | 9.49 | 13.28 |
| 5 | 0.554 | 1.145 | 1.610 | 2.675 | 4.351 | 6.63 | 9.24 | 11.07 | 15.09 |
Tableau 1 : données du tableau, exemple de distribution du khi-deux.
La colonne la plus à gauche indique les degrés de liberté, \(k\). La ligne supérieure indique le complément de la probabilité d'une valeur plus grande de \( \chi^{2} \) qui t'intéresse ; c'est-à-dire que si tu veux une probabilité de \(0,9\), tu regardes dans la colonne intitulée \(0,1\). Le nombre dans chaque cellule est la valeur critique à laquelle la distribution du khi-deux a cette probabilité de rester à droite.
Voyons un exemple.
Disons que tu as une distribution du khi-deux avec \(6\) degrés de liberté, et que tu veux connaître la valeur à laquelle ta distribution du khi-deux atteint une probabilité de \(5\%\). Comment peux-tu utiliser un tableau de distribution du khi-deux pour y parvenir ?
Solution:
- On te donne le fait que tu as 6 degrés de liberté, alors choisis la ligne qui correspond à cela ; la ligne 6.
- Tu veux connaître la valeur à laquelle ta distribution du khi-deux atteint une probabilité de \(5\%\), alors tu choisis la colonne qui est le complément de \(5\% = 0,05\). Il s'agit de la colonne \(0,95\).
- En spécifiant la ligne et la colonne, identifie la valeur critique dans la cellule. La valeur critique est \N(1,635\N).
- Cela signifie que ta distribution du khi-deux atteint la probabilité \(5\%\) lorsqu'elle devient supérieure ou égale à \(1,635\).
- Mathématiquement, tu écris :\N[ P(\chi_{6}^{2} \Ngeq 1,635) = 0,95 \N].
- Cela signifie que ta distribution du khi-deux atteint la probabilité \(5\%\) lorsqu'elle devient supérieure ou égale à \(1,635\).
Ces tableaux sont très importants pour les tests d'hypothèse. Si la statistique de ton test est supérieure au nombre indiqué dans la cellule appropriée, cela signifie que tu as trouvé des preuves permettant de rejeter l'hypothèse nulle. Voir l'article sur les tests du khi-deux pour plus d'informations.
Applications de la distribution du khi-deux
Quelles sont les applications courantes de la distribution du khi-deux ? La distribution du khi-deux apparaît dans de nombreux tests et théories statistiques. Voici quelques-unes des plus courantes.
Inférences sur la variance de la population
L'une des principales motivations de la distribution du khi-deux est de tirer des conclusions sur l'écart type de la population \( (\sigma) \) ou la variance \( (\sigma^{2}) \) à partir d'un échantillon relativement petit. En utilisant une distribution du chi carré, tu peux tester l'hypothèse selon laquelle la variance d'une population est égale à une valeur spécifique en utilisant le test d'une variance unique. Tu peux aussi calculer des intervalles de confiance pour la variance de la population.
Un grand syndicat s'efforce de faire en sorte que tous les employés qui sont au même niveau d'ancienneté reçoivent des salaires similaires. Son objectif : un écart type du salaire horaire inférieur à \($3\).
- Pour vérifier s'il a atteint son objectif, le syndicat prélève au hasard un échantillon de 30 employés ayant le même niveau d'ancienneté. Il constate que l'écart-type de son échantillon est de 2,95 $, ce qui est légèrement inférieur à son objectif de 3 $.
Est-ce une preuve suffisante pour conclure que le véritable écart-type de tous les employés ayant le même niveau d'ancienneté est inférieur à \(3 $) ?
Solution:
Pour le savoir, le syndicat doit utiliser le test d'une variance unique pour déterminer si l'écart-type est significativement différent de \N(3$), en utilisant :
une hypothèse nulle de \N( H_{0} : \Nsigma^{2} \Ngeq 3^{2} \N) et
une hypothèse alternative de \N( H_{a} : \sigma^{2} < 3^{2} \N).
Ensuite, en comparant une statistique de test du khi-deux à la distribution du khi-deux appropriée, le syndicat peut décider s'il convient de rejeter l'hypothèse nulle.
Test du chi-carré de Pearson
Les tests chi-carré de Pearson font partie des applications les plus courantes des distributions chi-carré. Tu utilises ces tests pour déterminer si tes données sont significativement différentes de ce à quoi tu t'attends. Les deux types de tests chi-carré de Pearson sont :
le test d'adéquation du chi-carré et
le test d'indépendance du chi-deux.
Disons qu'une entreprise de t-shirts veut savoir si toutes les couleurs de ses t-shirts sont aussi populaires les unes que les autres. Pour le savoir, elle enregistre le nombre de ventes par couleur de t-shirt pendant une semaine. Ces données sont représentées dans le tableau ci-dessous :
| Ventes par couleur de t-shirt | |
|---|---|
| Couleur | Fréquence |
| Noir | 80 |
| Bleu | 90 |
| Gris | 70 |
| Rouge | 60 |
| Blanc | 100 |
Tableau 2. Données sur les ventes par couleur de t-shirt.
Puisque l'entreprise a vendu 400 t-shirts, 80 ventes par couleur signifieraient que les couleurs sont également populaires. D'après les chiffres du tableau, tu sais que l'entreprise n'a pas vendu \(80\) de chaque couleur de t-shirt. Cependant, il ne s'agit que d'un échantillon d'une semaine, tu dois donc t'attendre à ce que les chiffres ne soient pas égaux en raison du hasard.
Mais cet échantillon te donne-t-il suffisamment confiance pour conclure que la fréquence des ventes de t-shirts diffère vraiment entre les couleurs ?
Solution:
C'est ici qu'intervient un test d'adéquation du chi carré. Il pourrait tester si les fréquences observées sont significativement différentes des fréquences égales.
Si tu dis à l'entreprise de comparer la statistique du test du chi-carré de Pearson à la distribution du chi-carré appropriée, l'entreprise peut alors déterminer la probabilité que ces valeurs de vente de t-shirts soient dues au hasard.
Définition de la distribution F
Les distributions du chi-deux font également partie intégrante de la définition de la distribution \(F\), une distribution utilisée dans l'analyse de la variance (ANOVA).
- Disons que tu prélèves des échantillons aléatoires à partir d'une distribution du khi-deux.
- Ensuite, tu divises l'échantillon par les degrés de liberté de la distribution du khi-deux.
- Répète les étapes \N( 1-2 \N) avec une autre distribution chi-carré.
- Si tu prends les rapports des valeurs de ces deux distributions, tu obtiendras une distribution \(F\).
Exemples de distribution du khi-deux
Voyons maintenant quelques exemples !
Évalue au carré et additionne \(15\) variables aléatoires normales standard. Quelle est la distribution de cette somme ?
Solution:
Une variable aléatoire normale standard élevée au carré suit une distribution du chi carré avec \(1\) degré de liberté. La somme des variables aléatoires chi-carré suit également une distribution chi-carré, les degrés de liberté de la somme étant la somme des degrés de liberté individuels. Suivons ce processus.
- Soit \(Z\) une variable aléatoire normale standard :\[ Z_{i}^{2} \sim \chi_{1}^{2} \]
- Alors :\[ Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} = \chi_{1}^{2} + \chi_{1}^{2} \sim \chi_{2}^{2} .\]
- Donc si tu as la somme de \N(15 Z_{i}^{2}), tu as :\N[ \sum_{i = 1}^{15} Z_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{15} \chi_{1}^{2} \sim \chi_{15}^{2}. \]
- La somme de \(15\) variables aléatoires normales standard au carré suit une distribution du khi-deux avec \(15\) degrés de liberté.
En se basant sur l'exemple précédent :
Quelles sont les
- moyenne,
- la variance,
- l'écart type et
- asymétrie
de la distribution de l'exemple précédent ?
Solution:
- La moyenne d'une distribution du khi-deux est égale aux degrés de liberté :[ \mu \left[ \chi_{15}^{2} \right] = k = 15 \]
- La variance d'une distribution du khi-deux est égale à deux fois les degrés de liberté : \[ \N- \N- \N- \Nsigma^{2}]. \left[ \chi_{15}^{2} \right] = 2(15) = 30 \]
- The standard deviation is the square root of the variance:\[ \begin{align}\sigma \left[\chi_{15}^{2} \right] &= \sqrt{ \sigma^{2} \left[ \chi_{15}^{2} \right]} \\N-&= \sqrt{30} \Napprox 5.477.\Nend{align} \]
- L'asymétrie a également une formule :\[ \text{Skewness} \left[ \chi_{15}^{2} \right] = \sqrt{\frac{8}{15}} \N- environ 0,73 \N]
Voici un exemple utilisant un tableau de khi-deux.
À l'aide d'une table de chi-carré, trouve les valeurs critiques de \(90\%), \(95\%) et \(99\%) pour une distribution de chi-carré avec \(8\%) degrés de liberté.
Solution:
Tout ce que tu as à faire pour cette question, c'est de lire le tableau.
- Il y a 8 degrés de liberté ; trouve la ligne correspondant à 8 degrés de liberté.
- Pour trouver les valeurs critiques, trouve les colonnes pour \N(0,1\N), \N(0,05\N) et \N(0,01\N).
- \N- \N(0,1) correspond à la valeur critique de \N(90\N%).
- \(0.05\) correspond à la valeur critique pour \(95\%\).
- \N- (0,01) correspond à la valeur critique de \N(99).
- Lis ensuite les nombres dans les cellules.
- Les valeurs critiques sont les suivantes :
- \(13.36\),
- \N(15.51\N), et
- \(20.09\).
- Les résultats sont mis en évidence dans le tableau ci-dessous :
- Les valeurs critiques sont les suivantes :
Tableau 3. Exemple de distribution du khi-deux.
| Points de pourcentage de la distribution du khi-deux | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Degrés de liberté(k) | Probabilité d'une valeur plus grande de X2; niveau de signification (α) | ||||||||
| 0.99 | 0.95 | 0.90 | 0.75 | 0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | |
| 6 | 0.872 | 1.635 | 2.204 | 3.455 | 5.348 | 7.84 | 10.64 | 12.59 | 16.81 |
| 7 | 1.239 | 2.167 | 2.833 | 4.255 | 6.346 | 9.04 | 12.02 | 14.07 | 18.48 |
| 8 | 1.647 | 2.733 | 3.490 | 5.071 | 7.344 | 10.22 | 13.36 | 15.51 | 20.09 |
| 9 | 2.088 | 3.325 | 4.168 | 5.899 | 8.343 | 11.39 | 14.68 | 16.92 | 21.67 |
Distribution du Khi-deux - Points clés à retenir
- La distribution du khi-deux ((\chi^{2}) \N) est une distribution de probabilité continue de la somme des carrés de variables aléatoires normales indépendantes qui est largement utilisée dans les tests d'hypothèse.
- La distribution du chi-deux est à la base de trois tests d'hypothèse du chi-deux :
le test du chi-deux pour la qualité de l'ajustement,
le test du chi-deux pour l'indépendance et le test du chi-deux pour l'homogénéité, et le test de variance unique.
le test de variance unique.
- La formule de distribution du chi-deux de Pearson (alias statistique, ou statistique de test) est :
\[ \chi^{2} = \sum \frac{(O-E)^{2}}{E} \]
- Une utilisation courante de la distribution du khi-deux consiste à trouver la somme des carrés de variables aléatoires normalement distribuées. Ainsi, si \( Z_{i} \) représente une variable aléatoire normalement distribuée, alors :
\[ \sum_{i=1}^{k} z_{i}^{2} \sim \chi^{2}_{k} \].
- Les propriétés d'une distribution du khi-deux sont :
- Moyenne: \N[ \Nmu \Ngauche[ \Nchi^{2} \Ndroite] = k \N]
- Variance: \[ \sigma^{2} \left[ \chi^{2} \right] = 2k \]
- Mode: \[ \texte{mode} \left[ \chi^{2} \right] = k - 2, \text{ if } k \geq 2 \]
- Écart-type: \[ \sigma \left[ \chi^{2} \right] = \sqrt{2k} \]
- Plage: \[ \text{range} \left[ \chi^{2} \right] = 0 \to \infty \]
- Symétrie: une distribution non symétrique qui devient de plus en plus symétrique à mesure que \(k\) augmente.
- Forme: dépend uniquement des degrés de liberté, \(k\), le nombre de valeurs qui sont libres de varier.
- La somme de variables aléatoires distribuées selon la méthode du khi-deux suit également une distribution du khi-deux, la moyenne de la somme étant la somme des moyennes et la variance de la somme étant la somme des variances :\[ \chi_{k_{1}^{2} + \chi_{k_{2}^{2} = \chi_{k_{1}+k_{2}}^{2} \].
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