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Types d'hypothèses
Il existe deux types principaux d'hypothèses :
L'hypothèse nulle (H0) est l'hypothèse que nous supposons se produire, et elle suppose qu'il n'y a pas de différence entre certaines caractéristiques d'une population. Toute différence est purement due au hasard.
L'hypothèse alternative (H1) est l'hypothèse que nous pouvons essayer de prouver à l'aide des données qui nous ont été fournies.
Nous pouvons soit :
Accepter l 'hypothèse nulle OU
Rejeter l'hypothèse nulle et accepter l' hypothèse alternative.
Quelles sont les étapes d'un test d'hypothèse ?
Il y a quelques termes clés que nous devons comprendre avant d'examiner les étapes d'un test d'hypothèse :
Valeur critique - c'est la valeur où l'on passe de l'acceptation au rejet de l'hypothèse nulle.
Région critique - c'est la région où nous rejetons l'hypothèse nulle.
Niveau de signification - un niveau de signification est le niveau de précision que nous mesurons, et il est donné sous forme de pourcentage. Lorsque nous trouvons la probabilité de la valeur critique, elle doit être aussi proche que possible du niveau de signification.
Test unilatéral - la probabilité de l'hypothèse alternative est soit supérieure, soit inférieure à la probabilité de l'hypothèse nulle.
Test bilatéral - la probabilité de l'hypothèse alternative n'est tout simplement pas égale à la probabilité de l'hypothèse nulle.
Ainsi, lorsque nous entreprenons un test d'hypothèse, voici généralement les étapes que nous utilisons :
ÉTAPE 1 - Établir une hypothèse nulle et une hypothèse alternative, avec des probabilités pertinentes qui seront énoncées dans la question.
ÉTAPE 2 - Attribuer des probabilités à l'hypothèse nulle et à l'hypothèse alternative.
ÉTAPE 3 - Écrire notre distribution binomiale.
ÉTAPE 4 - Calcule les probabilités à l'aide de la distribution binomiale. (Conseil : pour calculer nos probabilités, nous n'avons pas besoin d'utiliser notre longue formule, mais dans la calculatrice Casio Classwiz, nous pouvons aller dans Menu -> Distribution -> CD binomiale et entrer n comme notre nombre dans l'échantillon, p comme notre probabilité, et X comme ce que nous essayons de calculer).
ÉTAPE 5 - Vérifie le niveau de signification (si le résultat est supérieur ou inférieur au niveau de signification).
ÉTAPE 6 - Accepter ou rejeter l'hypothèse nulle.
Prenons quelques exemples pour expliquer ce que nous faisons.
Exemple de test unilatéral
Comme indiqué ci-dessus, un test d'hypothèse unilatéral est un test où la probabilité de l'hypothèse alternative est soit supérieure, soit inférieure à l'hypothèse nulle.
Un chercheur cherche à savoir si les gens peuvent identifier la différence entre le coca light et le coca complet. Il soupçonne les gens de deviner. 20 personnes sont choisies au hasard, et 14 font une identification correcte. Il effectue un test d'hypothèse.
a) Explique brièvement pourquoi l'hypothèse nulle devrait être H0, avec la probabilité p = 0,5 suggérant qu'ils ont fait la bonne identification.
b) Complète le test au niveau de signification de 5 %.
SOLUTION :a) Si les gens ne font pas mieux et qu'ils devinent, alors il y a autant de chances qu'ils fassent une identification correcte ou incorrecte. Une chance égale que deux choses se produisent signifie p = 0,5. b) Pour effectuer un test d'hypothèse complet, suivons les étapes indiquées ci-dessus.| Étape | Exemple |
| ÉTAPE 1 - Établir une hypothèse nulle et une hypothèse alternative, avec les probabilités correspondantes, qui seront énoncées dans la question. | Hypothèse nulle (H0) : Les gens devinent, ils ont donc autant de chances de faire une identification correcte ou incorrecte. Hypothèse alternativeH1: les gens ne devinent pas et savent comment faire la différence. |
ÉTAPE 2 - Attribue des probabilités à l'hypothèse nulle et à l'hypothèse alternative. | \(\N- H_0 : p = 0.5 \N- H_1 : p > 0.5\Nend{align}\N)La raison de notre probabilité pourH1 est que pour prouver que les gens ne devinent pas, il faut qu'il y ait plus de personnes qui aient raison que de personnes qui se trompent. |
| ÉTAPE 3 - Écris notre distribution binomiale. | Il y a 20 personnes et la probabilité de l'hypothèse nulle est de 0,5. Par conséquent, si nous appelons notre événement X :\(X \sim B(20,0,5)\) |
| ÉTAPE 4 - Calcule les probabilités à l'aide de la distribution binomiale. | Ainsi, 14 personnes ont fait la bonne identification ; nous devons donc calculer \(P(X\geq 14) = 0,05765914916\)La raison pour laquelle nous utilisons le signe supérieur ou égal est que \(p > 0,5\). |
| ÉTAPE 5 - Vérifier le niveau de signification (supérieur ou inférieur au niveau de signification). | \(0.05765914916 > 0.05\), il n'est donc pas dans la région critique car il serait inférieur à 0.05 si c'était le cas. |
| ÉTAPE 6 - Accepter ou rejeter l'hypothèse nulle. | Comme il ne se trouve pas dans la région critique, nous concluons que nous acceptons l'hypothèse nulle. |
Exemple de test bilatéral
Dans un test bilatéral, la probabilité de notre hypothèse alternative n'est tout simplement pas égale à la probabilité de l'hypothèse nulle.
Un café propose des recharges d'expresso gratuites. La probabilité qu'un client choisi au hasard utilise ces recharges est fixée à 0,35. Un échantillon aléatoire de 20 clients est choisi, et 9 d'entre eux ont utilisé les recharges gratuites.
Effectue un test d'hypothèse à un niveau de signification de 5 % pour voir si la probabilité qu'un client choisi au hasard utilise les recharges est différente de 0,35.
SOLUTION : Pour effectuer un test d'hypothèse complet, suivons les étapes ci-dessus.| Étape | Exemple |
| ÉTAPE 1 - Établis une hypothèse nulle et une hypothèse alternative, avec les probabilités pertinentes, énoncées dans la question. | Hypothèse nulle H0: Seul ce pourcentage de personnes utilisera les recharges gratuites d'expresso. Hypothèse alternativeH1: Plus ou moins de personnes utiliseront les recharges d'expresso gratuites. |
| ÉTAPE 2 - Attribue des probabilités à notre hypothèse nulle et à notre hypothèse alternative. | \(\begin{align} H_0 : p = 0.35 \\NH_1 : p \ne 0.35 \Nend{align}\N)Comme il s'agit d'un test bilatéral, la probabilité de l'hypothèse alternative est juste différente de 0.35. |
| ÉTAPE 3 - Écris notre distribution binomiale. | Il y a 20 personnes et la probabilité de l'hypothèse nulle est de 0,35, donc si nous appelons notre événement X : \(X \sim B(20,0.35)\) |
| ÉTAPE 4 - Calcule les probabilités à l'aide de la distribution binomiale. | Cette fois-ci, comme \(p \ne 0.35\N), nous devons calculer à la fois \(P(X \leq 9)\N et \N(P(X \leq 9)\N), car dans un test bilatéral, il y a deux régions critiques.\N(\NBegin{align}) P(X \leq 9) = 0.8782194139 \NP(X \geq 9) = 0.2376223533 \Nend{align}\N) |
| ÉTAPE 5 - Vérifier le niveau de signification (supérieur ou inférieur au niveau de signification). | Comme il s'agit d'un test bilatéral, nous devons diviser le niveau de signification en 2. Nous comparons donc à 0,025 au lieu de 0,05 et \N(\Begin{align}0,8782194139 > 0,025\N0,2376223533 > 0,025 \Nend{align}\N). |
| ÉTAPE 6 - Accepte ou rejette l'hypothèse nulle. | Aucun des deux ne tombe dans notre région critique (bien que l'un soit beaucoup plus proche que l'autre), ce qui signifie que nous acceptons notre hypothèse nulle. |
La principale différence avec les tests bilatéraux est que nous comparons la valeur à la moitié du niveau de signification plutôt qu'au niveau de signification réel.
Valeurs critiques et régions critiques
Rappelle-toi que les valeurs critiques sont les valeurs à partir desquelles on passe de l'acceptation au rejet de l'hypothèse nulle. Une distribution binomiale est une distribution discrète ; par conséquent, notre valeur doit être un nombre entier.
Tu disposes d'un grand nombre de tableaux statistiques dans le livret de formules qui peuvent nous aider à trouver ces valeurs ; cependant, ces tableaux sont inexacts car ils nous donnent des valeurs exactes et non des valeurs pour la distribution discrète.
Par conséquent, la meilleure façon de trouver les valeurs critiques et les régions critiques est d'utiliser une calculatrice en procédant par essais et erreurs jusqu'à ce que nous trouvions une valeur acceptable :
ÉTAPE 1 - Insère quelques valeurs aléatoires jusqu'à ce que nous arrivions à un point où, pour deux valeurs consécutives, une probabilité est supérieure au niveau de signification, et une probabilité est inférieure.
ÉTAPE 2 - Celle dont la probabilité est inférieure au seuil de signification est la valeur critique.
ÉTAPE 3 - La région critique est la région supérieure ou inférieure à la valeur critique.
Voyons cela à travers quelques exemples.
Exemples de travail pour les valeurs critiques et les régions critiques
Un mécanicien vérifie combien de boulons défectueux il a. On lui dit que 30 % des boulons sont défectueux. Il dispose d'un échantillon de 25 boulons. Il pense que moins de 30 % sont défectueux. Calcule la valeur critique et la région critique.
SOLUTION :
Utilisons les étapes ci-dessus pour nous aider.
| Étape | Exemple |
| ÉTAPE 1 - Insère quelques valeurs aléatoires jusqu'à ce que nous arrivions à un point où, pour deux valeurs consécutives, une probabilité est supérieure au seuil de signification, et une probabilité est inférieure. | Nous établissons ainsi les probabilités de l'hypothèse nulle et de l'hypothèse alternative : \(\begin{align}H_0 : p = 0.3 \\\NH_1 : p < 0.3 \Nend{align}\N)Ce qui signifie que nous calculons des probabilités inférieures ou égales. Si nous essayons quelques valeurs : \(\begin{align}P(X \leq 5) = 0.1934884421 \\NP(X \leq 4) = 0.09047191855 \NP(X \leq 3) = 0.03324051659 \Nend{align}\N)Nous pouvons voir que \NP(X \leq 4)\Nest supérieur à notre seuil de signification de 0.05 et que \NP(X \leq 3)\Nest inférieur à notre seuil de signification de 0.05. |
| ÉTAPE 2 - Celle dont la probabilité est inférieure au seuil de signification est la valeur critique. | La valeur la plus faible est notre valeur critique, donc X = 3 est notre valeur critique. |
| ÉTAPE 3 - La région critique est supérieure ou inférieure à la valeur critique. | La région critique est la région inférieure à la valeur critique, donc \(X \leq 3\). |
Un enseignant pense que 40 % des élèves regardent la télévision pendant deux heures par jour. Un élève n'est pas d'accord et pense que les élèves regardent soit plus, soit moins de deux heures. Dans un échantillon de 30 élèves, calcule les régions critiques.
SOLUTION :
Comme il s'agit d'un test bilatéral, il y a deux régions critiques, l'une à l'extrémité inférieure et l'autre à l'extrémité supérieure. N'oublie pas non plus que la probabilité avec laquelle nous comparons est celle de la moitié du niveau de signification.
| Etape | Exemple |
| ÉTAPE 1 - Insère quelques valeurs aléatoires jusqu'à ce que nous arrivions à un point où, pour deux valeurs consécutives, une probabilité est supérieure au seuil de signification, et une probabilité est inférieure. | Commençons donc par établir les probabilités de l'hypothèse nulle et de l'hypothèse alternative : \(\begin{align} H_0 : p = 0.4 \\NH_1 : p \ne 0.4 \Nend{align}\N)Commençons par regarder l'extrémité inférieure où\N(\Nbegin{align}&P(X \Nleq a) : \N- &P(X \leq 5) = 0.005658796379 \N- &P(X \leq 6) = 0.01718302499 \N- &P(X \leq 7) = 0.0435241189 \N- \N- \N- end{align}\N). Et si nous regardons l'extrémité supérieure où \N(P(X \leq a)\N) : \N- (\N- Début{align}) P(X \geq 16) = 0.09705684391 \N P(X \geq 17) = 0.04811171242 \N P(X \geq 18) = 0.02123987608 \Nend{align}\N) |
| ÉTAPE 2 - Celle dont la probabilité est inférieure au seuil de signification est la valeur critique. | N'oublie pas que nous comparons avec notre niveau de signification de 0,025, et non de 0,05. À l'extrémité inférieure : \(\begin{align}0.005658796379 > 0.025 \\0.01718302499 < 0.025 \end{align}\)Notre valeur critique est donc X = 6.De même, à l'extrémité supérieure : \(\begin{align}0.04811171242 > 0.025 \\\N0.02123987608 < 0.025\Nend{align}\N)Donc notre valeur critique est X = 18. Par conséquent, nos valeurs critiques sont X = 6, X = 18. |
| ÉTAPE 3 - La région critique est la région supérieure ou inférieure à la valeur critique. | Nos régions critiques sont donc : \N(X \Nleq 6\N) et \N(X \Ngeq 18\N). |
Test d'hypothèse binomiale - Principaux enseignements
- Le test d'hypothèse est le processus qui consiste à utiliser la distribution binomiale pour nous aider à rejeter ou à accepter les hypothèses nulles.
- Une hypothèse nulle est ce que nous supposons être arrivé.
- Si les données réfutent une hypothèse nulle, nous devons accepter une hypothèse alternative.
- Nous utilisons la distribution binomiale sur la calculatrice pour nous aider à calculer rapidement les valeurs de probabilité.
- La valeur critique est la valeur à partir de laquelle nous commençons à rejeter l'hypothèse nulle.
- La région critique est la région qui se trouve soit en dessous, soit au-dessus de la valeur critique.
- Les tests bilatéraux contiennent deux régions critiques et deux valeurs critiques.
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