Suppose que tu aies fait un sondage sur les modes de déplacement utilisés par tes camarades de classe. Tu leur proposes trois options : voyager en voiture, voyager en bus et voyager à pied. Certains choisissent une option, d'autres en choisissent deux, d'autres choisissent les 3 et d'autres ne choisissent aucune des options données. Quelle est une bonne façon de représenter visuellement tes résultats à l'aide d'un diagramme, te permettant de calculer la probabilité que, par exemple, une personne utilise le bus comme moyen de transport ? Les diagrammes de Venn sont parfaits pour cela.
Dans ce résumé de cours, nous allons voir ce que sont les diagrammes de Venn et apprendre à les construire.
Diagramme de Venn : Cours
Un diagramme de Venn est un diagramme qui illustre les relations entre des ensembles de données. Ils permettent de regrouper les données en sous-ensembles qui dépendent des caractéristiques des données qui les composent.
Un ensemble est une collection d'objets mathématiques. Lorsqu'il s'agit de diagrammes de Venn, ils contiennent généralement des chiffres. Les ensembles sont désignés par des accolades { } et les valeurs sont séparées par une virgule. Un exemple d'ensemble serait {3, 7, 9, 16}.
À quoi ressemblent les diagrammes de Venn ? Tous les diagrammes de Venn se composent d'un rectangle qui contient toutes les données de l'ensemble. C'est ce qu'on appelle l'espace échantillon ou l'univers des résultats possibles. Le symbole qui représente l'univers des possibles est \( \Omega \), le caractère grec oméga, ou bien ε, le caractère grec epsilon. Tous les ensembles ajoutés au diagramme de Venn seront des sous-ensembles de l'univers des possibles.
Univers des possibles dans un diagramme de Venn
Pour illustrer les ensembles dans le diagramme de Venn, nous dessinons des cercles qui contiennent les données du sous-ensemble. Si certaines valeurs de deux ensembles peuvent être membres des deux ensembles, assure-toi que les cercles se croisent. Sinon, les cercles ne doivent pas se croiser.
Lorsque nous traitons des probabilités, si les deux cercles ne se croisent pas, cela signifie que les deux événements sont mutuellement exclusifs, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Ajoutons deux ensembles, l'ensemble A et l'ensemble B, qui peuvent se croiser.
Diagramme de Venn avec des ensembles qui se croisent
Les valeurs qui ne sont contenues dans aucun des ensembles sont à l'extérieur des cercles mais sont toujours à l'intérieur du rectangle (l'univers des possibles). Avec cette intersection, nous avons maintenant créé un autre sous-ensemble.
Intersection, union et ensemble complémentaire dans les diagrammes de Venn
Intersection
La zone à l'intérieur du chevauchement créé entre les deux cercles est appelée l'intersection. Les données qui entrent ici sont tout ce qui est membre des deux ensembles.
L'intersection de deux ensembles A et B sur un diagramme de Venn
Union
L'intégralité de l'espace délimité par les deux cercles est l'union (ou réunion) des deux ensembles. Tous les éléments des deux ensembles sont membres de l'union des deux ensembles.
L'union de deux ensembles A et B sur un diagramme de Venn
Complémentaire
Le complémentaire d'un ensemble contient tous les éléments de l'univers des possibles qui ne sont pas membres de l'ensemble.
Si nous voulons représenter l'ensemble complémentaire A, nous remplirions toutes les parties du diagramme de Venn sauf le cercle représentant l'ensemble A.
Ensemble complémentaire A sur un diagramme de Venn
Nous allons maintenant examiner les symboles qui représentent les sous-ensembles que nous venons de décrire.
Notation des ensembles avec les diagrammes de Venn
Voici les symboles utilisés pour effectuer des opérations sur des ensembles existants :
' ou C | Ces symboles représentent l'ensemble complémentaire, c'est-à-dire chaque valeur qui n'est pas membre de cet ensemble. |
| Ce symbole représente l'union de deux ensembles. Cela signifie toutes les valeurs qui sont dans l'un ou l'autre des ensembles. |
| Ce symbole représente l'intersection de deux ensembles. Cela signifie toutes les valeurs qui se trouvent dans les deux ensembles à la fois. |
Comment ces symboles s'appliquent-ils aux diagrammes de Venn ? Comme nous l'avons établi précédemment, les diagrammes de Venn représentent des ensembles, donc certaines zones du diagramme de Venn représentent certains sous-ensembles créés par ces opérateurs. Voyons un exemple de question similaire à celle que tu pourrais rencontrer :
Remplis la région qui représente
Exemple de diagramme de Venn pour deux ensembles
Solution :
Les opérations contenues dans les parenthèses doivent être effectuées en premier. Rappelle-toi que le symbole représente l'intersection entre l'ensemble A et l'ensemble B. Cela signifie les valeurs qui sont contenues à la fois dans l'ensemble A et l'ensemble B. En regardant le diagramme de Venn, de quelle région s'agit-il ? La partie entre les deux cercles A et B représente l'intersection entre A et B, car les valeurs placées dans cette région seraient membres des deux ensembles.
Cependant, à l'extérieur des parenthèses, nous voyons le symbole représentant le complément d'un ensemble. Cela signifie que l'on considère tout ce qui n'est pas dans l'ensemble. Sur un diagramme de Venn, cela signifie que nous remplir tout sauf l'ensemble. Donc, nous devrions remplir tout ce qui n'est pas l'intersection entre les deux cercles, ce qui nous donne ce diagramme :
Diagramme de Venn avec la région remplie
Faire un diagramme de Venn
Pour dessiner un diagramme de Venn, nous pouvons suivre une série d'étapes logiques. Nous allons d'abord montrer comment dessiner un diagramme pour deux sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage. Pour l'instant, nous les appellerons A et B.
Dessine deux cercles, qui ont une section qui se chevauche au milieu ;
Dessine un rectangle autour de l'extérieur de ces deux cercles, en laissant de la place entre les cercles et le rectangle ;
Note à l'extérieur du rectangle le symbole de l'univers des possibles ;
Étiquette un cercle A, et l'autre B, car ils représentent nos deux sous-ensembles.
Le résultat devrait ressembler à ceci :
Exemple de diagramme de Venn avec deux sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage
Pour trois sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage, disons A, B et C, nous suivons des étapes similaires mais avec trois cercles qui se chevauchent, comme indiqué ci-dessous.
Exemple de diagramme de Venn avec trois sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage
Diagramme de Venn : Probabilité
Les diagrammes de Venn sont très utiles pour déterminer des probabilités. En effet, chaque cercle représente un événement et nous pouvons utiliser les informations présentées par le diagramme pour trouver la probabilité de toutes les issues.
Pour trouver la probabilité d'un événement à l'aide d'un diagramme de Venn :
trouve le nombre total de toutes les issues ;
additionne le nombre d'issues contenues dans la région représentant l'événement souhaité ;
divise le nombre trouvé à l'étape 2 par le nombre trouvé à l'étape 1.
Comment savoir quelle région représente l'événement souhaité ? Regardons un diagramme de Venn contenant les chiffres de 1 à 6 et deux ensembles : l'ensemble A, qui contient les nombres pairs, et l'ensemble B, qui contient les nombres premiers.
Diagramme de Venn des nombres pairs et premiers
Si un nombre a été choisi au hasard, quelle est la probabilité que ce nombre soit pair et premier ? L'ensemble A contient des nombres pairs et l'ensemble B contient des nombres premiers, donc l'intersection des deux cercles est la région qui représente cela. Par conséquent, la probabilité qu'un nombre soit pair et premier est le nombre de nombres contenus dans cette région divisé par le nombre total de valeurs dans le diagramme de Venn.
Il y a 1 valeur dans l'intersection, et 6 nombres dans le diagramme de Venn, donc la probabilité que le nombre soit pair et premier est de
Diagramme de Venn : Exemples
Voyons quelques exemples plus avancés impliquant les diagrammes de Venn.
Un groupe de 70 personnes a été interrogé pour savoir quels genres de films ils préféraient parmi les films romantiques, d'horreur, et d'action.
- 7 personnes ont aimé les 3 genres ;
- 22 ont aimé les films d'horreur et d'action ;
- 16 ont aimé les films d'horreur et les films romantiques ;
- 14 ont aimé les films d'action et les films romantiques ;
- 37 ont aimé les films d'horreur ;
- 41 ont aimé les films d'action ;
- 32 ont aimé les films romantiques.
Combien de personnes n'ont aimé aucun de ces genres ?
Solution :
Nous allons commencer par dessiner un diagramme de Venn et ajouter 3 cercles, représentant les personnes qui aiment respectivement les trois genres.
Diagramme de Venn avec trois ensembles qui se croisent
7 personnes aiment les 3 genres. Cela signifie que le chiffre 7 devrait se trouver à l'intérieur de l'intersection entre les 3 cercles.
Diagramme de Venn montrant que le 7 est un nombre à l'intersection dans les trois ensembles
22 personnes ont aimé les films d'horreur et d'action. La région qui représente cela est l'intersection entière entre les cercles H et A. Cependant, le nombre 7 a déjà été ajouté à l'intersection entre les trois cercles. Cela signifie que nous devons soustraire 7 de 22 pour obtenir le nombre qui devrait se trouver à l'intérieur de l'intersection entre H et A.
En répétant ce processus pour les deux autres intersections, nous obtenons :
Diagramme de Venn des nombres qui se croisent dans deux ensembles
37 personnes ont aimé les films d'horreur. La région représentant les personnes qui aiment les films d'horreur est le cercle entier H. Nous avons déjà les nombres 9, 15 et 7 à l'intérieur de ce cercle, nous devons donc soustraire ces nombres de 37 pour obtenir le nombre restant, les personnes qui n'aiment que les films d'horreur.
En répétant ce processus pour les deux autres cercles, nous obtenons :
Diagramme de Venn avec toutes les valeurs de chaque ensemble
Il ne reste plus que les personnes qui n'ont aimé aucun des genres donnés. Pour cela, il faut faire la somme des chiffres contenus dans les cercles pour obtenir le nombre de personnes qui aiment au moins un genre, et le soustraire du nombre total de personnes interrogées.
5 personnes n'aiment aucun des genres donnés.
Remplis la région représentant
Diagramme de Venn de deux ensembles
Solution :
Tout d'abord, reconnais les symboles des opérations sur les ensembles et comprends ce que chaque partie représente. signifie l'union de A et B, c'est-à-dire toutes les valeurs contenues dans A ou B. signifie le complémentaire de l'intersection de A et B, c'est-à-dire tout sauf A et B. Cependant, ces deux parenthèses ont le symbole d'intersection entre elles, alors qu'est-ce que cela signifie ?
Une façon d'interpréter les opérations d'ensemble est de remplacer le symbole par le mot 'ou' et le symbole par le mot 'et'. Cela nous donne (A ou B) et (A et B)'. Donc, les valeurs de ce sous-ensemble sont contenues dans A ou B ET elles ne peuvent pas être A et B, comme il s'agit du complémentaire. Par conséquent, nous devons remplir les cercles A et B mais pas l'intersection entre eux, ce qui nous donne :
Diagramme de Venn avec région remplie
Diagramme de Venn - Points clés
Un diagramme de Venn est un diagramme qui illustre les relations entre des ensembles de données. Ils permettent de regrouper les données en sous-ensembles qui dépendent des caractéristiques des données qui les composent.
Un ensemble est une collection d'objets mathématiques. Lorsqu'il s'agit de diagrammes de Venn, ils contiennent généralement des chiffres. Les ensembles sont désignés par des accolades { } et les valeurs sont séparées par une virgule.
Tous les diagrammes de Venn se composent d'un rectangle qui contient toutes les données de l'ensemble. C'est ce qu'on appelle l'univers des possibles.
Les symboles ' ou C représentent le complémentaire d'un ensemble, c'est-à-dire chaque valeur qui n'est pas membre de cet ensemble.
Le symbole représente l'union de deux ensembles, c'est-à-dire chaque valeur contenue dans l'un des ensembles.
Le symbole représente l'intersection de deux ensembles, c'est-à-dire chaque valeur contenue dans les deux ensembles.
- Pour trouver la probabilité d'un événement à l'aide d'un diagramme de Venn :
- trouve le nombre total de toutes les issues ;
- additionne le nombre d'issues contenues dans la région représentant l'événement souhaité ;
- divise le nombre trouvé à l'étape 2 par le nombre trouvé à l'étape 1.
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