Les arbres de probabilités sont un moyen de calculer la probabilité de plusieurs événements qui se produisent simultanément ou consécutivement. Ces événements peuvent être indépendants ou dépendants, et sur l'arbre, nous énumérons toutes les issues possibles de chaque événement. Sur un arbre de probabilité nous pourrions avoir qu'il pleuve un lundi ou qu'il ne pleuve pas un lundi. Une autre possibilité serait de lancer une pièce de monnaie et d'obtenir soit pile soit face.
Arbre de probabilité : Exemple
L'arbre de probabilité tire son nom des branches, qui montrent les possibilités de chaque événement. Un exemple d'arbre est présenté ci-dessous. Cela montre les possibilités lorsque nous tirons deux fois pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée. Nous désignons les piles par H et les faces par T.
Exemple d'arbre de probabilités montrant les possibilités lorsque l'on tire pile ou face deux fois
Construire un arbre de probabilité
Pour construire un arbre de probabilité, nous pouvons suivre une méthode fixe :
Étape 1 : Détermine le nombre d'issues possibles de l'expérience. Nous allons ensuite dessiner ce nombre de lignes à un degré constant de séparation.
Étape 2 : Étiquette chaque issue au bout de la ligne. Il est généralement utile d'abréger chaque possibilité pour gagner de la place, par exemple H = pile.
Étape 3 : Étiquette chaque branche avec une probabilité, en t'assurant que la probabilité est sous forme décimale ou fractionnaire.
Étape 4 : Répète les étapes 1 à 3 pour autant d'expériences qu'il y en a, en commençant à chaque fois par la fin de chaque branche.
Prenons l'exemple d'un tournoi de football, où les deux seules possibilités sont de gagner ou de perdre. Lors du premier match, une équipe a 60 % de chances de gagner. S'ils gagnent le premier match, les chances de gagner le deuxième s'étendent à 80%, alors que s'ils perdent, elles diminuent à 40% de chances de gagner.
Montre ces informations dans un arbre de probabilité.
Tout d'abord, nous désignerons une victoire par W et une défaite par L. La première expérience est le premier match.
Étape 1 : Il y a deux issues possibles, nous devons donc tracer deux lignes.
Étape 2 : Nous allons mettre un W à la fin d'une ligne et un L à la fin de l'autre. Cela ressemble à l'image ci-dessous.
Représentation d'un événement en arbre de probabilité
Étape 3 : S'il y a 60% de chances de gagner, cela signifie qu'il y a 40% de chances de perdre, car la somme des deux options doit atteindre 100%. En termes de décimales, cela signifie que nous avons 0,6 chance de gagner et 0,4 chance de perdre. Nous pouvons maintenant ajouter cela à l'arbre.
Représentation de l'événement avec les probabilités sur les branches
Étape 4 : Nous devons maintenant répéter ce processus pour les branches suivantes. Comme il y a de nouveau deux issues dans la deuxième expérience, nous dessinons deux branches à partir de chaque branche, puis nous les étiquetons W et L pour représenter le fait de gagner et de perdre.
La probabilité de gagner après avoir déjà gagné est de 0,8, donc la probabilité de perdre après une victoire est de 0,2. La probabilité de gagner après une défaite est de 0,4, donc la probabilité de perdre le deuxième match d'affilée est de 0,6. Nous pouvons maintenant remplir ces probabilités sur notre arbre.
Chaîne d'événements sur l'arbre de probabilité
Arbre de probabilité conditionnelle
Un arbre de probabilité conditionnelle est une représentation graphique des relations entre différents événements, et des probabilités qui leur sont associées. Il peut être utilisé pour calculer la probabilité que certains événements se produisent, étant donné que d'autres événements se sont déjà produits.
Pour créer un arbre de probabilité conditionnelle, commence par tracer une ligne de l'événement initial (la « racine » de l'arbre) à chaque événement ultérieur possible. Étiquette chaque branche avec la probabilité correspondante. Ensuite, continue à tracer des lignes et à étiqueter les probabilités pour chaque événement ultérieur jusqu'à ce que toutes les issues possibles aient été représentées.
Par exemple, supposons que nous voulons calculer la probabilité d'obtenir pile à pile ou face étant donné que le résultat du pile ou face précédent était pile. Nous pouvons créer un arbre de probabilité conditionnelle pour nous aider à faire ce calcul.
La racine de l'arbre serait le tirage à pile ou face initial, et les deux événements ultérieurs possibles seraient pile ou face au deuxième tirage. Nous étiquetterions la branche menant à pile avec une probabilité de \( \frac{1}{2} \) (puisqu'il y a 50% de chances d'obtenir pile ou face lors d'un tirage au sort donné) et la branche menant à « face » avec une probabilité de \( \frac{1}{2} \) .
Pour calculer la probabilité conditionnelle souhaitée, il suffit de multiplier les probabilités le long du chemin allant de l'événement initial au résultat souhaité. Dans ce cas, \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \) \(= \frac{1}{4} \).
Ainsi, la probabilité d'obtenir pile lors du deuxième tirage à pile ou face, étant donné que le premier tirage était pile, est de \( \frac{1}{4} \).
Cette même technique peut être utilisée pour calculer la probabilité conditionnelle de n'importe quel événement, étant donné n'importe quel autre ensemble d'événements. Il suffit de créer un arbre de probabilité conditionnelle et de multiplier les probabilités le long du chemin allant des événements initiaux au résultat souhaité.
Arbre de probabilité : Calcul
Pour trouver la probabilité qu'un certain ensemble de résultats se produise, nous multiplions le long des branches qui représentent les résultats, et si nécessaire, nous ajoutons les probabilités de ces longues branches.
En suivant l'exemple ci-dessus, trouve la probabilité qu'une équipe gagne un match et en perde un autre, dans n'importe quel ordre.
La première chose que nous allons faire est de multiplier le long de chaque branche, pour obtenir la probabilité que chaque résultat se produise. Les résultats de cette opération sont indiqués ci-dessous.
Exemple d'arbre de probabilité
Si nous voulons une victoire et une défaite, alors l'équipe peut perdre le premier match et gagner le deuxième, ou gagner le premier et perdre le deuxième. Cela signifie que nous devons additionner P(W, L) et P(L, W), ce qui nous donne 0,12 + 0,16 = 0,28.
Problèmes impliquant des arbres de probabilités
Exemple 1 :
J'ai dix balles dans un sac. Cinq sont vertes, trois sont jaunes et deux sont bleues. Je prends une balle dans le sac et ne la remplace pas. Je prends ensuite une autre balle.
Dessine un arbre pondéré pour représenter ce scénario.
Trouve la probabilité de prendre deux balles de couleurs différentes.
Quelle est la probabilité de choisir deux balles dont aucune n'est jaune ?
1. Trouvons d'abord la probabilité de chaque boule dans le premier tirage. Pour la verte, nous avons \( \frac{5}{10} \), pour la jaune, nous avons \( \frac{3}{10} \), et pour la bleue, nous avons \( \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \). Nous pouvons afficher ces informations sur un arbre, où nous utilisons B pour représenter la bleue, Y pour la jaune et G pour la verte.
Arbre de probabilité pour la première question
Lorsque nous avons retiré une boule verte, il nous reste neuf boules au total, dont quatre vertes, trois jaunes et deux bleues, donc la probabilité de choisir la verte est de \( \frac{4}{9} \), de choisir la jaune a une probabilité de \( \frac{3}{9} \) et la bleue a une probabilité de \( \frac{2}{9} \).
Lorsque nous avons retiré une boule jaune, il nous reste neuf boules au total, dont cinq vertes, deux jaunes et deux bleues, donc la probabilité de choisir la verte est de \( \frac{5}{9} \), la jaune a une probabilité de \( \frac{2}{9} \) et la bleue a une probabilité de \( \frac{2}{9} \) .
Lorsque nous avons retiré une boule bleue, il nous reste neuf boules au total, dont cinq vertes, trois jaunes et une bleue, donc la probabilité de choisir la verte est \( \frac{5}{9} \) , le choix de la jaune a une probabilité de \( \frac{3}{9} \) et la bleue a une probabilité de \( \frac{1}{9} \). Ceci est illustré dans l'arbre ci-dessous.
Arbre de probabilité pour la première question
Nous allons maintenant multiplier les chiffres sur les branches pour obtenir les probabilités de chaque événement.
Arbre de probabilité pour la première question
2. Pour deux balles de couleurs différentes, nous devons additionner les probabilités aux bouts des différentes branches. Cela nous donne :
3. Pour deux balles, ni l'une ni l'autre de couleur jaune, nous additionnons à nouveau les probabilités aux bouts des branches. Nous obtenons :
Exemple 2 :
Tu trouveras ci-dessous un arbre pondéré. Détermine les probabilités manquantes sur les branches, puis utilise l'arbre pour trouver la probabilité de deux R et un B et la probabilité d'obtenir la même lettre trois fois.
Arbre de probabilité pour la deuxième question
Dans chaque paire de branches correspondantes, la somme des probabilités doit être égale à un. Lorsqu'il y a 0,7 dans une branche, la branche correspondante doit être marquée de 0,3. Il en va de même pour 0,4 avec 0,6, 0,2 avec 0,8 et 0,1 avec 0,9. En remplissant ces cases, nous obtenons le résultat ci-dessous. Une fois que nous avons fait cela, nous pouvons multiplier le long de chaque branche pour trouver la probabilité de cette branche.
Arbre de probabilité pour la deuxième question
Pour obtenir deux R et un B, nous pouvons faire RRB, RBR ou BRR, nous devons donc additionner ces probabilités.
P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) = 0.224 + 0.294 + 0.036 = 0.554
Pour obtenir la même lettre trois fois, nous pouvons avoir soit BBB, soit RRR. En ajoutant les probabilités, on obtient 0,056 + 0,021 = 0,077.
Arbre de probabilité - Points clés
- Un diagramme en arbre est un moyen de trouver les probabilités d'événements successifs.
- Pour trouver la probabilité que deux événements se produisent, multiplie le long des branches de l'arbre de probabilité de cet événement.
- La probabilité de chaque branche est indiquée à la fin.
- Il est primordial d'étiqueter clairement les branches.
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Questions fréquemment posées en Arbre de probabilité
Comment faire un arbre de probabilité?
Pour faire un arbre de probabilité, tu devras commencer par une liste de tous les événements possibles. Ensuite, tu devras déterminer la probabilité que chaque événement se produise. Après cela, tu devras dessiner un arbre avec les événements énumérés sur les branches. Enfin, tu devras calculer les probabilités que chaque événement se produise en multipliant les probabilités le long des branches.
Comment lire un arbre pondéré?
Pour lire un arbre pondéré, tu devras commencer par le sommet de l'arbre et descendre. Le sommet de l'arbre représentera l'événement de départ, et les branches représenteront les résultats possibles. Les probabilités de chaque résultat seront indiquées à côté de la branche.
Comment calculer une probabilité avec un arbre pondéré?
Tu devras multiplier les probabilités le long des branches.
Comment compléter un arbre pondéré?
Pour compléter un arbre pondéré, tu devras calculer les probabilités que tous les événements qui peuvent se produire.
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