Intervalles de confiance pour la pente d'un modèle de régression

Signification de l'intervalle de confiance pour la pente d'une droite de régression

Tu sais maintenant que lorsqu'il existe une relation linéaire entre une variable \(x\N) et une variable \N(y\N) - le coefficient de corrélation linéaire \N(r\N) n'est pas nul - tu peux la modéliser à l'aide d'une régression linéaire. Cette régression consiste en :

\[\hat{y}=\beta_0+\beta_1x\]

où :

• \(\beta_0\) est l'ordonnée à l'origine ;

• \(\beta_1\) est la pente de la régression ;

• \(x\) est la variable indépendante ; et

• \(\hat{y}\) la valeur prédite de la variable dépendante.

Pour un meilleur rappel de ce sujet, consulte notre article Régression des moindres carrés. Rappelle-toi que le coefficient de corrélation \(r\) indique le degré de corrélation entre les deux variables. Si \(r\) est proche de zéro, il y a peu ou pas de corrélation entre les variables, tandis que les valeurs de \(r\) proches de \(-1\) ou \(1\) indiquent qu'il y a une forte corrélation entre les deux variables.

D'autre part, la pente \(\beta_1\) représente la variation de \(\hat{y}\) en fonction des variations des valeurs \(x\), c'est-à-dire que pour chaque unité d'augmentation de \(x\), \(\hat{y}\) augmente de \(\beta_1\) unités.

En calculant un intervalle de confiance avec un niveau de confiance élevé, disons \(c\%\), pour la pente \(\beta_1\), tu obtiens deux valeurs qui définissent les limites d'une plage de valeurs dans laquelle tu peux trouver la pente. Tu peux affirmer avec certitude que la valeur de la pente sera comprise entre ces deux valeurs.

En outre, tu peux dire que la méthode utilisée pour construire l'intervalle réussit à capturer la pente réelle du modèle de régression linéaire dans environ \(c\N%\N) des cas.

Conditions de l'intervalle de confiance pour la pente d'une ligne de régression

Les conditions pour construire un intervalle de confiance pour la pente d'une régression linéaire sont les mêmes que pour construire une régression linéaire. Ces conditions sont :

1. Condition de variable quantitative : La corrélation ne s'applique que si les deux variables sont quantitatives.

2. Condition de linéarité : Regarde le diagramme de dispersion et assure-toi que tes données ont une relation approximativement linéaire. La corrélation ne mesure que la force d'une association linéaire. On peut aussi le faire en regardant le coefficient de corrélation des données.

3. Indépendance des variables : Les données doivent être collectées au hasard, et si l'on procède à un échantillonnage sans remplacement, la taille de l'échantillon est inférieure ou égale à \(10\%\) de la population totale.

4. Normalité : la variable indépendante est normalement distribuée.

Formule de l'intervalle de confiance pour la pente de la ligne de régression

Comme tout intervalle de confiance que tu as étudié jusqu'à présent, un intervalle de confiance pour la pente \(\beta_1\) de la droite de régression des moindres carrés a la structure suivante :

statistique de l'échantillon - marge d'erreur \(\le \beta_1\le\) statistique de l'échantillon + marge d'erreur,

où marge d'erreur = valeur critique \(\times\) erreur standard.

Il ne te reste plus qu'à comprendre à quoi correspond chacun de ces trois éléments pour la pente \(\beta_1\) :

• La statistique de l'échantillon sera \(\hat{\beta}_1\), l'estimateur ponctuel de la pente \(\beta_1\) ;

• Pour la marge d'erreur :

  • cette fois, la valeur critique sera celle d'une distribution \N(t\N)avec \N(n-2\N) degrés de liberté, c'est-à-dire \N(t\N)avec \N(df=n-2\N) ;

  • l'erreur standard pour la pente, écrite \(SE_{\beta_1} \), sera :\[SE_{\beta_1}=\frac{s}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}}]où \(s\) est l'écart type de l'échantillon calculé comme suit :\[s={\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}{n-2}}\N].

Ainsi, la formule d'un intervalle de confiance pour la pente \(\beta_1\) est :

\[\hat{\beta}_1- t\cdot SE_{\beta_1}\le \beta_1\le \hat{\beta}_1+ t\cdot SE_{\beta_1}\]

ou une version encore plus courte :

\[\hat{\beta}_1\pm t\cdot SE_{\beta_1}\].

Cet intervalle de confiance s'applique à n'importe quel niveau de confiance, mais les niveaux de confiance que tu verras le plus souvent sont \(90\%\N), \N(95\N%\N) et \N(99\N%\N). Ce sont les valeurs que tu dois prendre en compte pour calculer la valeur critique \N(t\N).

Calculs pour l'intervalle de confiance pour la pente de la ligne de régression

D'après ce que tu as lu jusqu'à présent, la formule d'un intervalle de confiance pour la pente suggère une série d'étapes à suivre lorsque tu veux le trouver.

Étape 1: Trouve la statistique de l'échantillon \(\hat{\beta}_1\).

Tu obtiens la valeur de l'estimateur ponctuel \(\hat{\beta}_1\) en construisant la droite de régression pour l'ensemble de données avec lequel tu travailles.

Étape 2: Sélection d'un niveau de confiance \(c\%\).

Le niveau de confiance décrit l'incertitude d'une méthode d'échantillonnage. On te demandera le plus souvent un niveau de confiance de \(90\%\), \(95\%\), ou \(99\%\).

Le but de connaître le niveau de confiance est de pouvoir trouver la valeur critique \(t\N), en consultant un tableau \N(t\N), avec deux éléments d'information :

1. les degrés de liberté, donnés par : \[ \text{sample size } -2 = n-2\]où \(n\) est la taille de l'échantillon ; et

2. le niveau de confiance ajusté pour le tableau que tu utilises.

Étape 3: Trouver la marge d'erreur \(t\cdot SE_{\beta_1}\).

Comme tu le sais déjà, la marge d'erreur est le produit de la valeur critique \(t\) avec la valeur de l'erreur standard. La formule de l'erreur standard est la suivante :

\[SE_{\beta_1}=\frac{s}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}}\]

où \(s\) est l'écart type de l'échantillon.

Étape 4: Trouve l'intervalle de confiance.

Ici, il te suffit de remplacer les valeurs que tu as obtenues à l'étape précédente dans la formule :

\[\hat{\beta}_1\pm t\cdot SE_{\beta_1}\\].

Voyons un exemple où tu peux appliquer les étapes à la main.

Exemple d'intervalle de confiance pour la pente d'une droite de régression

Voyons un exemple d'exécution des calculs nécessaires pour trouver l'intervalle de confiance de la pente d'une droite de régression.