Carrés

Définition d'un carré

Lis la rubrique Quadrilatères pour rafraîchir les bases.

Exemples de carrés

Comme nous l'avons mentionné au début de cet article, nous pouvons trouver des formes carrées dans de nombreuses choses qui nous entourent. Voici quelques exemples.

Propriétés d'un carré

Un carré est un cas particulier de parallélogramme, il a donc les mêmes propriétés qu'un parallélogramme, mais il a aussi d'autres propriétés uniques qui font de lui la forme qu'il est. Lis plus d'informations sur les parallélogrammes, si tu as besoin d'un récapitulatif.

Nous pouvons définir les propriétés d'un carré comme suit :

• Comme un parallélogramme, un carré a tous ses côtés opposés parallèles les uns aux autres. Dans l'exemple ci-dessous, $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$ et $\overline{DA}\parallel \overline{BC}$.

Propriétés d'un carré (côtés opposés parallèles) - StudySmarter Originals

• Tous les côtés d'un carré sont congruents, ce qui signifie qu'ils mesurent la même chose. Dans l'exemple ci-dessous, tous les côtés du carré mesurent 2 unités, ils sont donc tous congruents $(\overline{AB}\cong \overline{BC}\cong \overline{CD}\cong \overline{DA})$.

Propriétés d'un carré (côtés congruents) - StudySmarter Originals

• Les quatre angles d'un carré sont tous égaux à 90° (angles droits). Dans l'image ci-dessous, $\angle A,\angle B,\angle Cand\angle D$ mesure tous 90°.

Propriétés d'un carré (angles droits) - StudySmarter Originals

• Les diagonales d'un carré sont de longueur égale et se coupent à un angle de 90°. En d'autres termes, les diagonales sont perpendiculaires l'une à l'autre et se coupent en leur milieu. On peut remarquer sur la figure ci-dessous que les deux diagonales $\overline{AC}$ et $\overline{BD}$ se croisent en un point M, et sont perpendiculaires l'une à l'autre $\overline{AC}\perp \overline{BD}$. Puisque $\overline{AC}\cong \overline{BD}$M est le milieu des deux diagonales, donc $\overline{AM}\cong \overline{MC}\cong \overline{BM}\cong \overline{MD}$.

Propriétés d'un carré (diagonales) - StudySmarter Originals

La longueur de la diagonale d'un carré, par rapport à la longueur de son côté, peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore.

Calculons la longueur de la diagonale $\overline{AC}$que nous appellerons d, étant donné que la longueur du côté du carré est égale à s, comme le montre l'image ci-dessous.

Longueur de la diagonale d'un carré - StudySmarter Originals

En utilisant le théorème de Pythagore, nous obtenons ce qui suit :

$$\begin{gathered} d^2=s^2+s^2 \\ {d}^2=2s^2 \\ \sqrt{d^2}=\sqrt{2s^2} \\ \cancel{\sqrt{d\cancel{{}^2}}}=\sqrt{2}·\cancel{\sqrt{s^{\cancel{2}}}} \\ d=\sqrt{2}·s \\ \boxed{\mathbf{d}\mathbf{=}\mathbf{s}\sqrt{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Dans un carré, la longueur d'une diagonale est égale à la longueur du côté multipliée par la racine carrée de 2. Par conséquent, la longueur des deux diagonales : $\overline{AC}$ et $\overline{BD}$ est égale à $s\sqrt{2}$.

s2

• Une diagonale d'un carré le divise en deux triangles isocèles congruents. Cette propriété peut être illustrée dans l'image ci-dessous :

Propriétés d'un carré (triangles isocèles congruents) - StudySmarter Originals

Dans le carré illustré dans l'image ci-dessus, nous pouvons remarquer que la diagonale $\overline{AC}$ a divisé notre carré en deux triangles : le vert $△ABC$et le triangle bleu $△ADC$. Ces deux triangles sont isocèles, puisque chaque triangle a deux côtés égaux.

Propriétés communes aux carrés, rectangles, parallélogrammes et losanges

Dans le diagramme ci-dessous, tu peux voir qu'un carré est un cas particulier d'un rectangle et d'un losange.

Diagramme représentant les relations entre les quadrilatères - StudySmarter Originals

Autrement dit, tous les carrés sont des rectangles et des losanges. C'est vrai puisqu'un carré possède toutes les propriétés d'un rectangle et d'un losange, ainsi que quelques propriétés supplémentaires. Le tableau ci-dessous résume les propriétés des quadrilatères:

Nous pouvons tirer les conclusions suivantes du diagramme et du tableau ci-dessus:

1. Un carré possède toutes les propriétés d'un rectangle et d'un losange ;

2. Un carré est un cas particulier de rectangle, mais aussi un cas particulier de losange ;

3. Un carré, un rectangle et un losange ont toutes les propriétés d'un parallélogramme ;

4. Un carré, un rectangle et un losange sont tous des cas particuliers de parallélogrammes ;

5. Un carré, un rectangle, un losange et un parallélogramme sont tous des cas particuliers de quadrilatères.

Formules relatives aux carrés

Les formules relatives aux carrés que tu dois retenir sont celles qui permettent de calculer leur périmètre et leur aire. Voyons quelques exemples de calcul dans les sections suivantes.

Périmètre d'un carré

Un objet bidimensionnel est une forme qui peut être placée sur une surface plane. Le périmètre de toute forme bidimensionnelle est la longueur de sa limite ou de ses côtés.

Le carré est une forme bidimensionnelle avec quatre côtés égaux et quatre angles de 90°. Par conséquent, nous pouvons définir son périmètre comme suit.

En d'autres termes, si un carré a 4 côtés de longueur a, son périmètre (P) peut être calculé comme suit :

$$\begin{gathered} P=a+a+a+a \\ P=4·a \end{gathered}$$

Explorons cela plus en détail à l'aide de quelques exemples.

Surface d'un carré

En général, la surface est définie comme la région contenue à l'intérieur des limites d'un objet plat ou d'une figure en 2D. En d'autres termes, la surface est l'espace occupé par l'objet. Plus précisément, la surface d'un carré peut être définie comme suit :

Cette mesure est donnée en unités carrées, telles que ^cm2,^m2, etc.

La formule pour calculer l'aire d'un carré (A) est la suivante :

$A=a^2$,

où a est la longueur du côté du carré.