Produit scalaire

À quoi sert le produit scalaire ?

Le produit scalaire sert à manipuler des vecteurs. En particulier, le produit scalaire est utile pour :

• calculer l'angle entre deux vecteurs ;

• déterminer certaines grandeurs physiques, comme le travail d'une force ;

• résoudre certaines inéquations.

Le produit scalaire est également important pour définir certains concepts des mathématiques avancées. Ces concepts nous permettent de résoudre des équations à dérivées partielles et de manipuler les grandeurs en mécanique quantique.

Produit scalaire : formule

Il y a deux formules élémentaires pour le produit scalaire qui sont couramment utilisées. Considérons les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\). Une première formule pour le produit scalaire est \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\).

L'autre formule pour le produit scalaire est donnée en termes des normes des vecteurs et l'angle entre ceux-ci. Soient \(\lVert \vec{u} \rVert\) et \(\lVert \vec{v} \rVert\) les normes des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Soit \(\theta\) l'angle entre ces derniers. Le produit scalaire est donné par la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \cos \theta \).

Voyons alors un exemple de comment calculer un produit scalaire.

Comment calculer un produit scalaire ?

Pour calculer un produit scalaire, il faut appliquer la bonne formule en fonction des données que nous avons. Autrement dit, si nous avons les composantes des vecteurs, nous utiliserons la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\). Si nous connaissons plutôt les normes et l'angle entre eux, nous utiliserons \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \cos \theta \).

Produit scalaire dans l'espace

Pour calculer un produit scalaire dans l'espace, nous utiliserons la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + v_x v_y + u_z v_z\). Garde à l'esprit que la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \cos \theta \) reste valable pour les vecteurs dans l'espace.

Le produit scalaire dans l'exemple précédent est égal à \(0\). Il s'agit d'un produit scalaire nul et possède une signification importante.

Produit scalaire nul

Un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont perpendiculaires, c'est-à-dire, que l'angle entre eux est \(90\)°. Cela suppose qu'aucun des vecteurs n'est le vecteur nul. Un produit scalaire nul est la caractéristique définitoire des vecteurs orthogonaux.

Vecteurs orthogonaux

Angle entre deux vecteurs

L'angle entre deux vecteurs peut être déterminé avec leur produit scalaire. Pour calculer l'angle entre deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), il faut :

• calculer le produit scalaire des deux vecteurs avec leurs coordonnées ;

• déterminer les normes des vecteurs avec la formule \(\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\) ;

• appliquer la formule \(\theta = \arccos \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert} \right)\).

Exercices avec le produit scalaire

Les exercices suivants te permettront de maîtriser la notion du produit scalaire et d'apprendre à utiliser les diverses formules présentées ici.

1. Calcule le produit scalaire des vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\).

2. Calcule le produit scalaire de vecteurs ayant des longueurs respectives de \(3\) et \(4\), avec un angle de \(60\) degrés entre eux.

3. Démontre, pour un vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}\), que \(\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\).

4. Les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}\) et \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) sont-ils perpendiculaires ?

5. Détermine \(x\) tel que les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ x \end{pmatrix}\) soient perpendiculaires.

6. Quelle est la mesure de l'angle entre les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) ?