Tu sais déjà peut-être comment fonctionne le produit scalaire de deux vecteurs. Or, le produit vectoriel de deux vecteurs est un concept un peu différent. Dans ce résumé de cours, nous expliquerons d'abord ce qu'est le produit vectoriel de deux vecteurs. Ensuite, nous donnerons la formule du produit vectoriel et un exemple de comment faire le calcul du produit vectoriel. Nous détaillerons ensuite le lien entre le produit vectoriel et le sinus, avant de terminer sur des concepts avancés : le double produit vectoriel et le produit mixte.
Produit vectoriel de deux vecteurs
Le produit vectoriel de deux vecteurs est une façon précise de les multiplier. Il s'appelle le produit « vectoriel » car son résultat est un vecteur, à l'opposé du produit « scalaire » dont le résultat est un scalaire. Le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) se note \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) ou \(\vec{u} \times \vec{v}\).
Il y a de nombreuses applications du produit vectoriel, notamment en physique où il est utilisé pour calculer certaines grandeurs. Il est particulièrement utile en dans le domaine de l'électromagnétisme.
Formule du produit vectoriel
Si nous avons deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}\), la formule du produit vectoriel est donnée par \[\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix} \] Pour te rappeler de cette formule tu peux également considérer le produit vectoriel comme étant le déterminant de la matrice suivante : \[\begin{pmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} \] où \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) sont les vecteurs de la base.
Calcul du produit vectoriel
Pour effectuer le calcul du produit vectoriel, il faut identifier les composantes des vecteurs à multiplier et à appliquer la formule. Comme cette formule peut paraître complexe à premier abord, il est nécessaire de pratiquer en faisant beaucoup d'exercices.
Garde à l'esprit que le produit vectoriel ne s'applique qu'aux vecteurs de dimension 3.
Peux-tu calculer le produit vectoriel de \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) ?
\(\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \times (-2) - 3 \times 1 \\ 3 \times 2 - (-1) \times (-2) \\ (-1) \times 1 - 4 \times 2 \end{pmatrix} \)
\(\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} -11 \\ 4 \\ -9 \end{pmatrix} \)
Si tu te sens à l'aise avec les déterminants des matrices, tu peux également utiliser l'autre formule donnée, mais cela revient au même calcul. Ce n'est qu'une formulation qui t'aidera à te souvenir de la formule.
Produit vectoriel et le sinus
Il existe une formule qui relie le produit vectoriel et le sinus. Considérons les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de norme \(\lVert \vec{u} \rVert\) et \(\lVert \vec{v} \rVert\). De plus, notons \(\theta\) l'angle entre ces vecteurs et \(\hat{n}\) le vecteur unitaire perpendiculaire au plan où se trouvent \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Le produit vectoriel et le sinus sont reliés par cette relation : \( \vec{u} \wedge \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \sin (\theta) \hat{n}\).
Peux-tu calculer le sinus de l'angle entre les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) en utilisant le produit vectoriel ?
D'après l'exemple précédent, le produit vectoriel de ces vecteurs est \( \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \\ -9 \end{pmatrix} \).
Les normes de ces vecteurs sont :
\(\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{{-1}^2 + 4^2 + 3^2} = 5.1\)
\(\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{2^2 + 1^2 + {(-2)}^2} = 3\)
Cette formule peut servir à calculer l'angle entre les vecteurs, mais aussi pour déterminer la direction du produit vectoriel. Pour des applications en physique, il est souvent intéressant de connaître la direction de la grandeur vectorielle.
Double produit vectoriel
Le double produit vectoriel permet de calculer un produit vectoriel effectué deux fois. La formule du double produit vectoriel est \(\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}\). Cette formule servira plutôt à dériver d'autres formules concernant le produit vectoriel.
Produit mixte
Le produit mixte de trois vecteurs implique le produit scalaire et le produit vectoriel à la fois. Il est donné par la formule \([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \ \vec{w}\). Si le produit mixte est nul, alors les vecteurs sont coplanaires, et vice-versa.
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