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Radians
Le radian est une autre unité qui permet de quantifier la mesure d'un angle. Plus nous avançons en mathématiques, plus nous avons l'habitude d'utiliser cette unité au lieu des degrés.
La mesure d'un angle vaut \(1 \ \text{radian}\) si l'arc du cercle correspondant est égal à son rayon.
Fig. 1 - La définition d'un radian
Alors, pourquoi utiliser des radians ? D'abord, cela permet d'obtenir et de simplifier l'écriture de certaines formules. De plus, les radians sont intimement liés avec \( \pi \), un des nombres préférés des mathématiciennes et des mathématiciens.
Degrés en radians
Voyons comment convertir des degrés en radians. Si nous considérons un cercle de rayon \(1\), alors nous savons que sa circonférence est égale à \(2 \pi\). Lorsque nous travaillons en radians, la mesure de l'angle est égale à la longueur de l'arc correspondante. Comme 360 ° correspond à un arc de longueur \(2 \pi\), alors \(2 \pi = 360 °\). Ainsi, les degrés et les radians sont reliés par la formule suivante : \[\pi \ \text{radians} = 180 °\] Voici des exemples de comment convertir des degrés en radians et vice-versa.
1. Si \(\theta = \frac{4\pi}{3}\), détermine \(\theta\) en degrés.
2. Qu'est-ce que \( 60 °\) en radians ?
1. \(\theta = \frac{4\pi}{3}\)
\(\theta \)
\(= \frac{4\pi}{3}\)
\(= \frac{4 \times 180 °}{3}\)
\(= 4 \times 60 ° = 240 °\)
2. Comme \(\pi \ \text{radians} = 180 ° \), alors \( 1 ° = \frac{\pi}{180} \). Ainsi, \(60 ° = \frac{60 \times \pi}{180} = \frac{pi}{3}\).
Cercle trigo
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\) dont le centre est l'origine. Nous utilisons ce cercle pour généraliser les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente pour des angles orientés et les angles obtus. Pour construire cette théorie, nous avons besoin de quelques concepts en plus.
Fig. 2 - Le cercle trigonométrique
En trigonométrie et en géométrie analytique, le sens direct de rotation est le sens opposé des aiguilles d'une montre. Un angle est positif s'il est mesuré dans le sens direct à partir de l'axe des abscisses, alors qu'un angle est négatif s'il est mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre.
Dans l'image ci-dessous, nous pouvons voir un angle positif et un angle négatif de la même mesure absolue.
Fig. 3 - La différence entre un angle positif et un angle négatif
Il est également possible de considérer des angles dont la mesure dépasse \(360 °\) ou \(2 \pi \) radians. En effet, un angle peut correspondre à plusieurs mesures.
Imaginons un angle de mesure \( \frac{\pi}{3}\) ou \(60 °\). Si nous faisons un tour complet du cercle trigonométrique dans le sens direct, nous allons revenir au même point, et donc au même angle. Cela correspondrait alors à un angle de mesure \( \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \) ou \(60 ° + 360 ° = 420 °\). Si nous faisons un autre tour complet, cet angle correspond également à une mesure de \( \frac{7\pi}{3} + 2\pi = \frac{13\pi}{3} \) ou \(420 ° + 360 ° = 780 °\).
Il est possible de faire la même chose, en allant dans le sens inverse. Si nous commençons à \(60 °\) et nous faisons un tour complet, la mesure de l'angle serait donc \(60 ° - 360 ° = -300 °\). Peu importe le sens de rotation, \(60 °\) est appelé la mesure principale. Plus précisément, il s'agit de la mesure de l'angle entre \( [-\pi,\pi[\).
Voyons maintenant comment sont définis le sinus, le cosinus et la tangente à partir du cercle trigo.
Fig. 4 - Le cosinus et le sinus d'un angle sur le cercle trigonométrique
Sinus
Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle correspond à son ordonnée.
L'ordonnée du point C est \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Le sinus de \(120 °\) est donc \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Fig. 5 - Le sinus d'un angle sur le cercle trigonométrique
Cosinus
Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un angle correspond à son abscisse.
L'abscisse du point C est \(\frac{-1}{2}\). Le sinus de \(120 °\) est donc \(\frac{-1}{2}\).
Fig. 6 - Le cosinus d'un angle sur le cercle trigonométrique
Tangente
En géométrie, la tangente en un point à une courbe est la droite qui touche la courbe en ce point. Considérons l'angle entre un rayon du cercle trigonométrique et la partie positive de l'axe des abscisses. Nous pouvons construire une tangente au point où ce rayon touche le cercle. La tangente d'un angle dans un cercle trigonométrique correspond alors à la longueur d'un segment de cette tangente, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
Fig. 7 - Le lien entre la tangente, le cosinus et le sinus sur le cercle trigonométrique
Cercle trigonométrique : tableau
Il y a certaines valeurs spéciales du cosinus et du sinus. En effet, apprendre par cœur ces valeurs nous permet de simplifier des expressions trigonométriques plus aisément. Le tableau ci-dessous regroupe les valeurs remarquables du cercle trigonométrique.
Valeurs du cercle trigonométrique
| \(\theta\) en radians | \(0\) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | \( \pi \) |
| \(\theta\) en degrés | \(0\) | \(30\) | \(45\) | \(60\) | \(90\) | \(180\) |
| \( \sin \theta \) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
| \( \cos \theta \) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
Le sinus et le cosinus d'angles complémentaires sont égaux. Cela peut t'aider à retenir certaines valeurs remarquables dans ce tableau. Par exemple, si tu sais que \( \sin(30°) = 0{,}5\), alors tu peux en déduire que \( \cos(60°) = 0{,}5\).
Cercle trigonométrique - Points clés
- La mesure d'un angle vaut \(1 \ \text{radian}\) si l'arc du cercle correspondant est égal à son rayon.
- Pour convertir des degrés en radians et vice-versa, nous appliquons la formule : \(\pi \ \text{radians} = 180 °\)
- Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\) dont le centre est l'origine.
- Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle correspond à son ordonnée, alors que le cosinus d'un angle correspond à son abscisse.
- Il y a certaines valeurs remarquables du sinus et du cosinus qu'il faut garder à l'esprit.
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Questions fréquemment posées en Cercle trigonométrique
Comment lire un cercle trigonométrique ?
Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle correspond à son ordonnée, alors que le cosinus d'un angle correspond à son abscisse.
Comment retenir facilement le cercle trigonométrique ?
Tu peux utiliser le fait que le sinus et le cosinus d'angles complémentaires sont égaux. Par exemple, si tu sais que sin(30°) = 0,5, alors tu peux en déduire que cos(60°) = 0,5.
Quelles sont les formules de trigonométrie ?
Il y a plusieurs formules de trigonométrie, mais les plus importantes sont les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente à partir du triangle rectangle, à savoir :
- sinus = coté opposé/hypoténuse ;
- cosinus = coté adjacent/hypoténuse ;
- tangente = coté opposé/côté adjacent.
Comment calculer le cosinus et le sinus dans un cercle trigonométrique ?
Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle correspond à son ordonnée, alors que le cosinus d'un angle correspond à son abscisse. Si besoin, tu peux appliquer le théorème de Pythagore en gardant à l'esprit que le rayon du cercle trigonométrique vaut 1.
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