Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\) qui permet de prolonger les grandeurs trigonométriques, définies à partir d'un triangle rectangle, à des fonctions trigonométriques. Nous présentons d'abord une autre unité de mesure pour les angles, le radian, et comment convertir les degrés en radians. Ensuite, nous détaillons le cercle trigonométrique (ou cercle trigo, si nous voulons raccourcir). Nous verrons en particulier comment le sinus, le cosinus et la tangente sont définis à partir du cercle trigonométrique. Nous terminons avec un tableau qui résume des valeurs remarquables du cercle trigonométrique.
Radians
Le radian est une autre unité qui permet de quantifier la mesure d'un angle. Plus nous avançons en mathématiques, plus nous avons l'habitude d'utiliser cette unité au lieu des degrés.
La mesure d'un angle vaut \(1 \ \text{radian}\) si l'arc du cercle correspondant est égal à son rayon.
Fig. 1 - La définition d'un radian
Alors, pourquoi utiliser des radians ? D'abord, cela permet d'obtenir et de simplifier l'écriture de certaines formules. De plus, les radians sont intimement liés avec \( \pi \), un des nombres préférés des mathématiciennes et des mathématiciens.
Degrés en radians
Voyons comment convertir des degrés en radians. Si nous considérons un cercle de rayon \(1\), alors nous savons que sa circonférence est égale à \(2 \pi\). Lorsque nous travaillons en radians, la mesure de l'angle est égale à la longueur de l'arc correspondante. Comme 360 ° correspond à un arc de longueur \(2 \pi\), alors \(2 \pi = 360 °\). Ainsi, les degrés et les radians sont reliés par la formule suivante : \[\pi \ \text{radians} = 180 °\] Voici des exemples de comment convertir des degrés en radians et vice-versa.
1. Si \(\theta = \frac{4\pi}{3}\), détermine \(\theta\) en degrés.
2. Qu'est-ce que \( 60 °\) en radians ?
1. \(\theta = \frac{4\pi}{3}\)
\(\theta \)
\(= \frac{4\pi}{3}\)
\(= \frac{4 \times 180 °}{3}\)
\(= 4 \times 60 ° = 240 °\)
2. Comme \(\pi \ \text{radians} = 180 ° \), alors \( 1 ° = \frac{\pi}{180} \). Ainsi, \(60 ° = \frac{60 \times \pi}{180} = \frac{pi}{3}\).
Cercle trigo
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon \(1\) dont le centre est l'origine. Nous utilisons ce cercle pour généraliser les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente pour des angles orientés et les angles obtus. Pour construire cette théorie, nous avons besoin de quelques concepts en plus.
Fig. 2 - Le cercle trigonométrique
En trigonométrie et en géométrie analytique, le sens direct de rotation est le sens opposé des aiguilles d'une montre. Un angle est positif s'il est mesuré dans le sens direct à partir de l'axe des abscisses, alors qu'un angle est négatif s'il est mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre.
Dans l'image ci-dessous, nous pouvons voir un angle positif et un angle négatif de la même mesure absolue.
Fig. 3 - La différence entre un angle positif et un angle négatif
Il est également possible de considérer des angles dont la mesure dépasse \(360 °\) ou \(2 \pi \) radians. En effet, un angle peut correspondre à plusieurs mesures.
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