Parallélogrammes

Définition d'un parallélogramme

Nous savons qu'un quadrilatère a 4 côtés. Dans un parallélogramme, ces 4 côtés sont constitués de 2 paires de côtés parallèles opposés.

Le schéma suivant illustre un parallélogramme.

Fig. 1 : Illustration d'un parallélogramme.

Dans la figure ci-dessus :

• AB // CD
• AC // BD

Propriétés des parallélogrammes

En plus de ce qui précède, nous pouvons identifier diverses propriétés des parallélogrammes.

Nous utiliserons le parallélogramme ABDC suivant, dont les diagonales sont _d1=BC et _d2=AD, pour illustrer ces propriétés.

Fig. 2 : Parallélogramme avec les diagonales d1 et d2.

• Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux.

  Cela signifie que dans le parallélogramme ci-dessus, AB=CD et AC=BD.

• Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux.

  Cela signifie que dansle parallélogramme ci-dessus, ∠CAB=∠CDB et ∠ACD=∠ABD .

• Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont complémentaires.

  Dans n'importe quel parallélogramme, tu peux identifier 4 paires d'angles consécutifs. Ceux-ci sont toujours complémentaires (ce qui signifie que la somme des angles est égale à 180 degrés). Dans le parallélogramme ci-dessus :

  ∠CAB + ∠ABD = 180,

  ∠ABD + ∠BDC = 180,

  ∠BDC + ∠DCA = 180,

  ∠DCA + ∠CAB = 180.

• Si n'importe quel angle d'un parallélogramme est un angle droit, cela signifie que les 4 angles internes sont tous des angles droits.

  C'est une conséquence directe de la propriété ci-dessus. Si un angle quelconque dans un parallélogramme est un angle droit, alors l'angle adjacent est 180-90=90 (selon la propriété ci-dessus). À son tour, l'angle adjacent suivant sera un angle droit et ainsi de suite. Par conséquent, dans n'importe quel parallélogramme, si tu identifies n'importe quel angle comme étant un angle droit, tu peux directement conclure que les 4 angles sont des angles droits.

• Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en deux.

  Dans le parallélogramme ci-dessus, le point O est le milieu des diagonales _d1 et _d2.

• Chaque diagonale d'un parallélogramme sépare le parallélogramme en deux triangles congruents.

  Dans le parallélogramme ci-dessus, la diagonale _d1 diviserait le parallélogramme en deux triangles congruents, ΔABC et ΔBCD. De même, la diagonale _d2 diviserait le parallélogramme en deux triangles congruents, ΔABD et ΔACD.

Aire des parallélogrammes

Fig. 3 : Parallélogramme avec une base b et une hauteur h.

L'aire d'un parallélogramme est donnée par la formule :

Surface = b × h

où b = base, h = hauteur

Maintenant, la valeur, b, est la longueur du côté AB, qui est considéré comme la base ici. Par convention, l'un des côtés les plus longs du parallélogramme est considéré comme la base. La valeur h est la hauteur du parallélogramme. On l'appelle aussi parfois l'altitude. La hauteur est la longueur de la ligne reliant la base à son côté opposé. La hauteur est perpendiculaire à la base.

Parallélogramme : Exemples de problèmes

Dans cette section, nous explorons des exemples de problèmes mathématiques que tu peux rencontrer à propos des parallélogrammes et de leurs propriétés.

Différents types de formes de parallélogrammes

Dans cette section, nous allons identifier 3 types particuliers de parallélogrammes, chacun ayant ses propres caractéristiques et propriétés :

1. Losange

2. Rectangle

3. Carré

Losange

Un losange est un quadrilatère dont les 4 côtés sont de longueur égale(équilatéral). Il s'avère que les paires de côtés opposés d'un losange sont toujours parallèles. Cela fait de chaque losange un parallélogramme. Inversement, on peut dire qu'un parallélogramme équilatéral est un losange. Les diagonales d'un losange se coupent toujours à angle droit.

Comme un losange est un type particulier de parallélogramme, il présente également toutes les propriétés d'un parallélogramme.

Rectangle

Un rectangle est un parallélogramme dont tous les angles internes sont des angles droits. Comme tous les angles d'un rectangle sont égaux, il est équiangulaire.

Comme le rectangle est un type particulier de parallélogramme, il présente également toutes les propriétés d'un parallélogramme.

Carré

Un carré est un quadrilatère dont les 4 côtés sont égaux et dont tous les angles sont des angles droits. Cela fait du carré un type de parallélogramme, un type de losange et un type de rectangle ! Ainsi, un carré présente toutes les propriétés des parallélogrammes, des losanges et des rectangles.