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Théorème de Pythagore

Sais-tu comment déterminer la hauteur d'une montagne ? Pour calculer la hauteur d'une montagne ou d'un bâtiment à construire, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Les applications de ce théorème sont nombreuses et nous le considérons souvent comme l'un des plus importants théorèmes en mathématiques. 

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Sais-tu comment déterminer la hauteur d'une montagne ? Pour calculer la hauteur d'une montagne ou d'un bâtiment à construire, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Les applications de ce théorème sont nombreuses et nous le considérons souvent comme l'un des plus importants théorèmes en mathématiques.

Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord expliquer à quoi sert le théorème de Pythagore, avant de donner sa formule. Par la suite, nous détaillerons la réciproque du théorème de Pythagore, ainsi que sa contraposée. Enfin, nous donnerons quelques exercices pour t'entraîner dans l'application de ce théorème.

À quoi sert le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore sert principalement à résoudre des problèmes qui contiennent un triangle rectangle. Entre autres, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour :

  • déterminer des longueurs inconnues ;

  • calculer des distances minimales entre deux objets ;

  • calculer les forces agissant sur une structure ;

  • dériver d'autres théorèmes.

Le théorème de Pythagore a des applications dans de nombreux domaines, tels que l'ingénierie et l'informatique. Garde à l'esprit que pour des applications « dans la vraie vie », le théorème de Pythagore s'utilise souvent avec d'autres théorèmes plus avancés.

Le théorème de Pythagore peut être généralisé aux triangles non-rectangles à l'aide de la loi des cosinus, aussi appelé le théorème d'Al-Kashi. Similairement, il existe une version du théorème de Pythagore pour les vecteurs.

Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Faisons-en un point.

Qu'est qu'un triangle rectangle ?

Un triangle rectangle est un triangle qui contient un angle droit, c'est-à-dire, un angle de 90 degrés (90 °).

Théorème de Pythagore Triangle rectangle StudySmarterFig. 1 - Un triangle rectangle contient un angle de 90 °

Nous avons des noms spécifiques pour les différents côtés d'un triangle rectangle. En particulier, pour comprendre le théorème de Pythagore, il faut savoir ce qu'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Qu'est-ce que l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?

L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté en face de l'angle droit.

Théorème de Pythagore Hypoténuse triangle rectangle StudySmarterFig. 2 - L'hypoténuse d'un triangle rectangle

L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le personnage central dans le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore : formule

Le théorème de Pythagore est résumé dans la formule \(a^2 + b^2 = c^2\), où a, b et c représentent les longueurs dans le triangle rectangle suivant.

Théorème de Pythagore Formule StudySmarterFig. 3 - Dans ce triangle, les longueurs identifiées nous permettent de comprendre la formule du théorème de Pythagore

Même si cette formule nous permet d'utiliser le théorème de Pythagore, ce théorème est souvent énoncé de la façon suivante : le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Il s'agit bien du même théorème, mais défini autrement.

Théorème de Pythagore Carrés StudySmarterFig. 4 - Le théorème de Pythagore précise que l'aire du carré de longueur a est la somme des aires des carrés de longueurs b et c

Voyons maintenant un exemple de comment utiliser le théorème de Pythagore.

Peux-tu déterminer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle si les deux autres côtés sont 5 cm et 12 cm ?

Nous devons appliquer le théorème de Pythagore. Soit h la longueur de l'hypoténuse.

\(h^2 = 5^2 + 12^2\)

\(h^2 = 25 + 144\)

\(h^2 = 169\)

\(h = 13\)

Grâce au théorème de Pythagore, nous avons pu en déduire que la longueur de l'hypoténuse est 13 cm.

Nous pouvons également utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté qui n'est pas l'hypoténuse.

Considère un triangle rectangle dont l'hypoténuse est de longueur 10 cm. Si la longueur d'un des autres côtés est 6 cm, peux-tu calculer la longueur du dernier côté ?

Soit \(a\) la longueur du dernier côté. Appliquons maintenant le théorème de Pythagore.

\(10^2 = a^2 + 6^2\)

\(100 = a^2 + 36\)

\(a^2 = 100 - 36\)

\(a^2 = 64\)

\(a = 8\)

La réciproque du théorème de Pythagore est également utile.

La réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque du théorème de Pythagore nous dit que si les longueurs d'un triangle \(a\), \(b\) et \(c\), vérifient l'égalité \(a^2 + b^2 = c^2\), alors le triangle est un triangle rectangle. Dans ce cas, \(c\) est l'hypoténuse de ce triangle. La réciproque du théorème de Pythagore est utilisée pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Considère un triangle dont les longueurs sont \(3\), \(4\) et \(5\). Es-tu capable de démontrer qu'il s'agit d'un triangle rectangle ?

Pour démontrer que ce triangle est un triangle rectangle, nous devons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.

D'une part, nous avons \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\).

D'autre part, il est vrai que \(5^2 = 25\).

Ainsi, \(3^2 + 4^2 = 5^2\) et par la réciproque du théorème de Pythagore, il s'agit bien d'un triangle rectangle.

Garde à l'esprit que l'hypoténuse est le côté le plus long dans un triangle rectangle. Donc, si nous devons démontrer qu'un triangle est un triangle rectangle, nous devons faire la somme des carrés des deux plus petites longueurs et vérifier si cette somme est égale au carré du côté le plus long.

La contraposée du théorème de Pythagore

Nous pouvons utiliser la contraposée du théorème de Pythagore pour vérifier qu'un triangle n'est pas rectangle. La contraposée du théorème de Pythagore précise que si les longueurs d'un triangle, \(a\), \(b\) et \(c\), ne satisfont pas l'égalité \(a^2 + b^2 = c^2\), alors ce triangle n'est pas un triangle rectangle.

Considère un triangle dont les longueurs sont \(2\), \(3\) et \(4\). Est-ce qu'il s'agit d'un triangle rectangle ?

Pour déterminer s'il s'agit d'un triangle rectangle, nous devons voir si l'égalité \(a^2 + b^2 = c^2\) est vérifiée ou pas.

D'une part, nous avons \(4^2 = 16\).

D'autre part, nous avons \(3^2 + 2^2 = 13\)

Comme \(2^2 + 3^2 \neq 4^2\), nous pouvons conclure ce triangle n'est pas rectangle par la contraposée du théorème de Pythagore.

Si tu as lu depuis le début de ce résumé de cours jusqu'ici, tu connais maintenant le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée. Bravo ! Par contre, pour maîtriser ces propriétés, il faut s'entraîner avec plusieurs exercices.

Exercices pour appliquer le théorème de Pythagore

Nous présentons ici quelques exercices où il faut appliquer le théorème de Pythagore. Certains problèmes requièrent l'utilisation d'autres théorèmes ou concepts mathématiques. Tu peux retrouver les réponses et des explications dans les flashcards en bas de cette page ou sur notre application.

1. Trouve la longueur du côté XY.

Théorème de Pythagore Exercice StudySmarterFig. 5 - Utilise le théorème de Pythagore pour trouver la longueur inconnue

2. Est-ce que le triangle ci-dessous est un triangle rectangle ?

Théorème de Pythagore Exercice StudySmarterFig. 6 - Utilise la réciproque ou la contraposée du théorème de Pythagore

3. Détermine la longueur \(h\) dans l'image ci-dessus.

Théorème de Pythagore Exercice StudySmarterFig. 7 - Pense à appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle

4. Considère un triangle ayant des côtés de longueurs 6, 8 et 10. Ce triangle est-il rectangle ?

5. Soit \(k\) un nombre réel. Considère un triangle rectangle dont les côtés sont de longueur \(a\), \(b\) et \(c\), avec \(c\) la longueur de l'hypoténuse. Est-ce que le triangle avec côtés \(ka\), \(kb\) et \(kc\) est aussi rectangle ?

Théorème de Pythagore - Points clés

  • Le théorème de Pythagore sert à résoudre des problèmes qui contiennent un angle droit ou un triangle rectangle.
  • Le théorème de Pythagore précise que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : \(a^2 + b^2 = c^2\).
  • Nous pouvons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore démontrer qu'un triangle est rectangle.
  • Similairement, nous pouvons utiliser sa contraposée pour vérifier qu'un triangle n'est pas rectangle.

Questions fréquemment posées en Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore stipule que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 

L'énoncé du théorème de Pythagore est comme suit : le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 

La réciproque du théorème de Pythagore se résume par la phrase suivante : si les longueurs a, b, et c d’un triangle vérifient l'égalité a2 + b2 = c2, alors le triangle est un triangle rectangle. 

Pour calculer la longueur d'un côté avec le théorème de Pythagore, il faut d'abord remplacer toutes les longueurs connues dans la formule a2 + b2 = c2. Il faut ensuite manipuler l'expression obtenue pour isoler la longueur inconnue.

Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles. 

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Le théorème de Pythagore peut être généralisé aux triangles non-rectangles.

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