Symétrie

Signification de la symétrie

Il est très probable que tu aies déjà rencontré le concept de symétrie en dehors des mathématiques. Par exemple, lorsque tu penses à la symétrie, tu penses peut-être à une image miroir. En effet, un miroir est un excellent exemple de symétrie dans le monde réel. Les miroirs présentent un type de symétrie appelé symétrie réfléchissante, dans lequel une moitié de l'objet est un miroir ou un reflet de l'autre. La symétrie par réflexion n'est cependant qu'un type de symétrie. La définition de la symétrie en mathématiques est plus précise que l'usage courant de la symétrie dans la vie de tous les jours. Une définition formelle est la suivante :

Types de symétrie

Dans cette section, nous allons aborder quatre types de symétrie différents :

• La symétrie de translation
• La symétrie de rotation
• Symétrie de réflexion
• Symétrie de glissement

Symétrie de translation

On parle de symétrie de translation lorsqu'un objet a subi un déplacement ou une translation (c'est-à-dire qu'il a changé d'emplacement), mais qu'il n'a subi aucune autre transformation. En d'autres termes, la symétrie de translation implique uniquement que l'objet change de position, par exemple vers le haut ou le bas ainsi que vers la gauche ou la droite. Dans la symétrie de translation, l'objet conserve la même taille et la même forme et ne subit aucune rotation.

Symétrie de rotation

La symétrie de rotation s'applique si une forme peut être partiellement tournée autour de son centre et rester identique. En d'autres termes, pour qu'un objet soit symétrique par rapport à la rotation, il doit avoir au moins deux positions dans le tour complet de la rotation (360 degrés) où il semble identique.

Pour décrire la symétrie de rotation, on peut se référer à l'ordre de symétrie de rotation, qui décrit le nombre de fois où l'objet est identique à sa position d'origine à l'intérieur du tour complet de 360 degrés. Par exemple, un triangle équilatéral a une symétrie de rotation d'ordre 3 parce qu'il peut être partiellement tourné 3 fois et apparaître toujours identique. Pour connaître l'ordre de symétrie de rotation d'une forme, tu peux utiliser l'équation suivante :

$orderofrotationalsymmetry=\frac{360°}{AngleofRotation}$

Symétrie ponctuelle

On parle de symétrie ponctuelle lorsqu'il existe un point de réflexion commun à tous les points d'une forme. Ce point commun est appelé point de symétrie. Note que la réflexion pour chaque point se fait dans la direction opposée, de sorte que l'aspect est le même depuis le haut que depuis le bas. La lettre H est un exemple de point de symétrie.

Symétrie réfléchie

La symétrie réfléchissante est un type de symétrie dans lequel une moitié de l'objet reflète l'autre moitié. La symétrie réfléchissante est connue sous plusieurs noms différents, notamment la symétrie linéaire et la symétrie miroir. Ces trois termes ont la même signification : une moitié de l'objet est identique à l'autre.

Pour vérifier si un objet présente une symétrie réfléchissante, imagine que tu le plies en deux le long de la ligne de symétrie (une ligne imaginaire qui divise les deux moitiés réfléchissantes). Si les deux moitiés correspondent, alors la forme présente une symétrie réfléchissante le long de la ligne sur laquelle elle a été pliée.

Ligne de symétrie

La ligne de symétrie est une ligne qui peut être tracée sur un objet et dont les deux côtés se reflètent l'un l'autre, coupant l'objet en deux. Par exemple, si tu places une ligne de symétrie au milieu d'un carré, les deux côtés seront identiques.

Différentes formes peuvent avoir des quantités variables de lignes de symétrie :

• Un carré a 4 lignes de symétrie
• Un triangle équilatéral a 3 lignes de symétrie.
• Un trapèze n'a aucune ligne de symétrie.

Axe de symétrie

La symétrie n'est pas réservée aux formes et aux motifs : elle peut également être observée dans les graphiques. Lorsque les graphiques présentent une symétrie, il peut s'agir d'une propriété utile car elle nous permet de prédire et de mieux comprendre les parties symétriques. En général, les graphiques sont symétriques par rapport à un axe de symétrie.

Comme la ligne de symétrie, l'axe de symétrie est une ligne droite sur laquelle un objet est réfléchi afin d'obtenir deux parties égales et en miroir. Si un graphique était symétrique pour les valeurs négatives et positives de x, il aurait un axe de symétrie le long de l'axe des y. Comme il s'agit d'une ligne droite, nous pouvons décrire l'axe de symétrie à l'aide de l'équation d'une ligne : $y=mx+b$. Prenons un exemple qui illustre l'axe de symétrie.

Réflexion sur le glissement

La réflexion par glissement est une combinaison de deux transformations différentes, une translation et une réflexion, mais pas nécessairement dans cet ordre. La translation est toujours parallèle à la ligne de réflexion dans un reflet glissant. Si l'image réfléchie s'éloigne ou se rapproche de la ligne de réflexion, il ne s'agit pas d'un cas de réflexion glissante.

Les reflets glissants peuvent créer une symétrie. Lorsque deux reflets glissants se produisent, l'image originale revient à la même position, créant ainsi un reflet et une ligne de symétrie entre les deux images.

Un exemple concret de symétrie par glissement est celui des empreintes de pas dans le sable. Lorsque nous comparons l'empreinte de gauche à l'empreinte de droite dans l'image ci-dessous, nous voyons que l'empreinte de gauche peut être réfléchie sur une ligne de réflexion et translatée vers le haut le long de cette ligne pour obtenir l'empreinte du pied droit.

Un exemple de symétrie de glissement, unsplash.com