Théorème des lignes parallèles

Théorèmes des angles et des lignes parallèles

Nous pouvons faire des affirmations concernant les lignes parallèles en nous basant sur les angles qu'elles forment. En d'autres termes, nous pouvons prouver que des lignes sont parallèles en nous basant sur les angles, et inversement, nous pouvons également prouver la congruence des angles en nous basant sur l'existence de lignes parallèles. Avant d'aller plus loin, passons en revue quelques définitions et concepts de base concernant les lignes parallèles. Tout d'abord, comment peut-on faire la différence entre les lignes parallèles et celles qui ne le sont pas ?

Lignes non parallèles, StudySmarter Originals

Tu te demandes peut-être quel est le rapport entre les lignes parallèles et les angles si elles ne se croisent jamais ? La réponse est : les transversales : Les lignes transversales jouent un rôle important dans la détermination des angles associés aux lignes parallèles.

Transversale, StudySmarter Originals

Congruence des angles basée sur les droites parallèles

Tout d'abord, nous allons jeter un coup d'œil aux énoncés importants pour montrer la congruence des angles basée sur les droites parallèles.

Théorème 1: Angle intérieur alterné

Si deux lignes parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles intérieurs alternés formés sont congruents (identiques). Note que les angles intérieurs sont ceux qui se trouvent à l'intérieur des lignes parallèles.

Angles intérieurs alternés, StudySmarter Originals

Théorème 2: Angle extérieur alterné

Si deux droites parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles extérieurs formés sont congruents. Note que les angles extérieurs sont ceux qui se trouvent à l'intérieur des lignes parallèles.

Angles extérieurs alternés, StudySmarter Originals

Théorème 3: Angles intérieurs consécutifs

Si deux droites parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles intérieurs consécutifs formés du même côté sont complémentaires.

Angles intérieurs consécutifs, StudySmarter Originals

Théorème 4: Angles extérieurs consécutifs

Si deux lignes parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles extérieurs consécutifs formés du même côté sont complémentaires.

Angles extérieurs consécutifs, StudySmarter Originals

Théorème 5: Angles correspondants

Si deux lignes parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants formés sont congruents.

Angles correspondants, StudySmarter Originals

Prouver les lignes parallèles en se basant sur les angles

Nous allons maintenant examiner la partie inverse des théorèmes mentionnés ci-dessus.

Théorème 6: converse des angles intérieurs alternés

Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale de telle sorte que les angles intérieurs alternés formés sont congruents, alors les deux lignes sont parallèles.

Droites parallèles avec angles intérieurs alternés, StudySmarter Originals

Théorème 7: Conversion des angles extérieurs alternés

Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale telle que les angles extérieurs alternés formés sont congrus, alors les deux lignes sont parallèles.

Droites parallèles avec angles extérieurs alternés, StudySmarter Originals

Théorème 8: Les angles intérieurs consécutifs sont inversés

Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale telle que les angles intérieurs consécutifs formés ont une somme de$\mathit{180}\mathit{°}$alors les deux droites sont parallèles.

Droites parallèles avec angles intérieurs consécutifs, StudySmarter Originals

Théorème 9: Conversion des angles extérieurs consécutifs

Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale telle que les angles extérieurs consécutifs formés ont une somme de $\mathit{180}\mathit{°}$alors les deux droites sont parallèles.

Droites parallèles avec angles extérieurs consécutifs, StudySmarter Originals

Théorème 10: Conversion des angles correspondants

Si deux droites d'un plan sont coupées par une transversale de telle sorte que les angles correspondants formés sont congrus, alors les deux droites sont parallèles.

Lignes parallèles avec angles correspondants, StudySmarter Originals

Angles et lignes parallèles : Exemples résolus

Nous allons ici examiner quelques exemples concernant les théorèmes mentionnés ci-dessus.

Comprenons maintenant quelques autres théorèmes importants concernant les lignes parallèles et jetons un coup d'œil à leurs preuves.

Théorème de la perpendiculaire transversale pour les droites parallèles

L'énoncé suivant présente la relation entre la transversale perpendiculaire et les droites parallèles.

Théorème 11: Théorème de la transversale perpendiculaire

Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale perpendiculaire, alors les deux lignes sont parallèles.

Droites parallèles avec transversale perpendiculaire, StudySmarter Originals

Preuve: Ici, la transversale t est perpendiculaire à la fois à la ligne p et à la ligne q,$i.e.t\perp p,t\perp q$

Nous devons maintenant prouver que p et q sont parallèles. Comme la transversale t est perpendiculaire à p, cela implique que $m\angle 1=90°.$ De même, comme la transversale t est perpendiculaire à q, on obtient $m\angle 2=90°.$

$\Rightarrow m\angle 1=\hspace{0.17em}m\angle 2$

Maintenant, en utilisant la définition de la congruence, qui stipule que si la mesure de deux angles est égale, alors les deux angles sont congruents l'un à l'autre, nous obtenons $\angle 1\cong \angle 2.$

D'après la figure, nous pouvons clairement voir que les deux angles sont des angles correspondants. Ainsi, en utilisant le théorème 10, le théorème de la converse des angles correspondants, nous pouvons dire directement que $p\parallel q.$ C'est-à-dire que la ligne p et la ligne q sont parallèles l'une à l'autre. Le théorème est donc prouvé.

Théorème de transitivité des lignes parallèles

L'un des autres énoncés importants sur les lignes parallèles utilise la relation de transitivité.

Théorème11: Transitivité des droites parallèles

Si deux lignes d'un plan sont parallèles à la même ligne, alors toutes les lignes sont parallèles entre elles.

Propriété transitive des lignes parallèles, StudySmarter Originals

Preuve: Prouvons maintenant que la ligne commune à d'autres lignes parallèles est parallèle. C'est-à-dire , $p\parallel q,q\parallel r.$

Alors, sans perte de généralité, nous pouvons dire que la ligne q se trouve entre la ligne p et la ligne r.

Nous devons maintenant prouver que la ligne p et la ligne r sont parallèles. $i.e.p\parallel r$

Nous utiliserons ici la méthode de la contradiction pour prouver ce résultat, qui montre qu'une affirmation est vraie simplement en prouvant qu'il n'est pas possible qu'elle soit fausse. Par conséquent, pour prouver que la ligne p et la ligne r sont parallèles, nous supposons d'abord que la ligne p et la ligne r ne sont pas des lignes parallèles (une contradiction). Cela signifie que la ligne p et la ligne r doivent se croiser, d'après la définition des lignes non parallèles. Maintenant, comme la ligne q se trouve entre les lignes p et r, lorsque ces lignes se croisent, la ligne p ou la ligne r doit également se croiser avec la ligne q. Cependant, comme la ligne q est parallèle à la fois à la ligne p et à la ligne r, cela n'est pas possible. Par conséquent, notre hypothèse selon laquelle la ligne p et la ligne r ne sont pas parallèles est fausse. Par la méthode de la contradiction, la ligne p et la ligne r sont parallèles l'une à l'autre. Nous avons donc prouvé que si $p\parallel q$ et $q\parallel r$, alors $p\parallel r.$

Nous allons jeter un coup d'œil au théorème qui démontre la proportionnalité entre trois droites parallèles.

Théorème12: Théorème des trois droites parallèles

Si trois droites parallèles sont coupées par deux transversales, alors les segments formés sur la transversale sont de même proportion.

Trois droites parallèles, StudySmarter Originals

Preuve: Ici, les droites p, q et r sont parallèles entre elles. Et ces droites sont coupées par deux transversales t et s aux points A, B, C, et D, E, et F respectivement.

Il nous faut maintenant montrer que $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.$

Pour le prouver, nous allons faire appel au théorème de l'ordonnée à l'origine. On nous donne les droites p, q et r comme étant parallèles. Nous construisons alors une ligne AH à partir du point A, qui est parallèle à DF.

Trois droites parallèles avec une troisième transversale, StudySmarter Originals

Nous pouvons remarquer que la partie gauche de la figure correspond exactement à ce que dit le théorème de l'ordonnée à l'origine. Donc, d'après le théorème de l'ordonnée à l'origine, nous obtenons :

$\frac{AB}{BC}=\frac{AG}{GH}$

Comme nous avons construit la ligne parallèle AH, nous savons que $AH\parallel DF.$

On nous donne aussi que les droites p, q et r sont des droites parallèles. Donc, d'après la définition d'un parallélogramme, ADEG et EFHG sont tous deux des parallélogrammes. Maintenant, d'après les propriétés d'un parallélogramme, nous savons que les côtés opposés sont égaux.

$\Rightarrow AG=DE,GH=EF$

En utilisant la propriété transitive, nous pouvons directement substituer et obtenir le résultat suivant.

$\frac{AB}{BC}=\frac{AG}{GH}=\frac{DE}{EF}$

$\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$

On peut donc dire que les segments formés sur les deux transversales sont en proportions égales.

Exemples résolus impliquant les théorèmes des lignes parallèles

Appliquons les théorèmes ci-dessus concernant les lignes parallèles à quelques exemples.