Dilatations

Signification de la dilatation

Ladilatation est une technique de transformation qui est utilisée pour rendre les figures plus grandes ou plus petites sans changer ou déformer la forme.

Le changement de taille se fait à l'aide d'une quantité appelée facteur d'échelle. Ce changement de taille peut être une diminution ou une augmentation selon le facteur d'échelle utilisé dans la question et se fait autour d'un point central donné. Les images ci-dessous montrent un agrandissement puis une réduction d'une forme autour de l'origine.

Fig. 1. Exemple d'agrandissement.

Fig. 2. Exemple de réduction.

Propriétés de la dilatation

Ladilatation est une transformation non isométrique et, comme toutes les transformations, elle utilise la notation de la pré-image (la forme originale) et de l'image (la forme après la transformation).

Le fait d'être non isométrique signifie que cette transformation change la taille, mais qu'elle conserve la même forme.

Les principales caractéristiques des images dilatées par rapport à leurs pré-images sont les suivantes,

• Tous les angles de l'image dilatée par rapport à la pré-image restent les mêmes.
• Les lignes qui sont parallèles et perpendiculaires le restent également dans l'image dilatée.
• Le point médian du côté d'une image dilatée est le même que celui de la pré-image.

Facteur d'échelle de dilatation

La façon dont nous appliquons la dilatation consiste à prendre une pré-image et à changer les coordonnées de ses sommets par un facteur d'échelle \((r)\) donné dans la question.

Nous modifions les coordonnées à partir d'un point central donné. Nous pouvons savoir comment l'image va changer par rapport à la pré-image en examinant le facteur d'échelle. Celui-ci est régi par ,

• L'image est agrandie si le facteur d'échelle absolu est supérieur à 1.
• L'image rétrécit si le facteur d'échelle absolu est compris entre 0 et 1.
• L'image reste la même si le facteur d'échelle est égal à 1.

Formule de dilatation

Nous distinguons deux cas en fonction de la position du point central.

Cas 1. Le point centralest l'origine.

La formule pour calculer une dilatation est directe si notre point central est l'origine. Nous allons simplement prendre les coordonnées de la pré-image et les multiplier par le facteur d'échelle.

Comme on le voit dans l'exemple ci-dessus, pour un facteur d'échelle de \(2\), nous multiplions chaque coordonnée par \(2\) pour obtenir les coordonnées de chacun des sommets de l'image.

Cas 2. Le point central n'est pas l'origine.

Mais que se passe-t-il si notre point central n'est pas l'origine ? La façon de procéder serait d'utiliser un vecteur pour chaque sommet à partir du point central et d'appliquer le facteur d'échelle. Prenons l'exemple de l'image ci-dessous.

Fig. 4. Graphique illustrant l'approche vectorielle.

Comme tu peux le voir dans l'image ci-dessus, on ne nous donne pas de coordonnées mais des vecteurs allant du point central à chaque sommet. Si ton point central n'est pas situé autour de l'origine, cette méthode permet de résoudre ton problème de dilatation.

Dans l'image ci-dessus, nous avons placé le point central à l'origine pour faciliter le calcul du vecteur de position entre le point central et un sommet. Mais examinons l'image ci-dessous pour voir comment nous pourrions calculer ce vecteur à partir du point central.

Fig. 5. Graphique montrant comment trouver les vecteurs de position.

Dans cette image, nous avons un sommet et le point central pour simplifier le processus. Lorsque nous appliquons cette méthode à une forme, nous répétons le processus entre le point central et chaque sommet.

Pour trouver notre vecteur entre le point central et le sommet, nous partons du point central et comptons combien d'unités le sommet est éloigné du point central horizontalement pour trouver notre valeur \(x\). Si le sommet est à droite du point central, nous considérons qu'il s'agit d'une valeur positive, s'il est à gauche, nous considérons qu'il s'agit d'une valeur négative. Nous procédons ensuite de la même manière, mais verticalement, pour la valeur \(y\), en considérant le haut comme positif et le bas comme négatif. Dans ce cas, le sommet se trouve à 4 unités à droite et à 4 unités en haut du point central, ce qui donne le vecteur position de \(\begin{bmatrix}4\4\end{bmatrix}\).

Nous multiplions ensuite chaque vecteur par le facteur d'échelle pour obtenir un vecteur vers chaque sommet de l'image.

Si le facteur d'échelle est par exemple \N(1,25\N), nous multiplions chaque composante du vecteur par \N(1,25\N) puis, à partir du point central, nous traçons ce nouveau vecteur. Une fois que nous aurons fait cela pour chaque vecteur vers les sommets de la pré-image, nous aurons des vecteurs menant à chaque sommet de l'image.

En termes de notation pour une forme générale, laissons,

• \N(C\N) = Point central
• \(A\) = Sommet de la préimage
• \(\vec{CA}\) = Vecteur du point central au sommet de la pré-image
• \N(r\N) = Facteur d'échelle
• \N(A'\N) = Sommet de l'image
• \(\vec{CA'}\) = Vecteur du point central au sommet de l'image

L'équation mathématique de la dilatation sera donc,\N[\Nvec{CA'}=r\cdot \Nvec{CA}.\N].

Exemples de dilatation

Maintenant que nous comprenons comment fonctionne la dilatation, voyons quelques exemples pour mettre la théorie en pratique.

Centre d'origine

Nous allons d'abord examiner un exemple où le point central est situé à l'origine.

Facteur d'échelle positif

Voyons maintenant un exemple simple avec un facteur d'échelle positif et un centre qui n'est pas à l'origine.

Facteur d'échelle négatif

Nous avons vu comment appliquer un facteur d'échelle positif, mais qu'en est-il si tu as un facteur d'échelle négatif ? Voyons ce que cela donnerait.

Revenir au facteur d'échelle

Ok, nous savons maintenant comment effectuer des dilatations à l'aide de facteurs d'échelle, mais que se passe-t-il si on ne nous donne pas de facteur d'échelle mais les coordonnées du point central, de l'image et de la pré-image ? À quoi cela ressemblerait-il ?