Polygones réguliers: Côtés, Angles

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Le critère qui détermine si une forme est convexe ou concave est l'ampleur des angles intérieurs.

Si tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180° chacun, la forme est classée comme convexe. En revanche, si l'un des angles intérieurs est supérieur à 180°, la forme est concave. Les polygones convexes sont ensuite classés en polygones réguliers ou irréguliers en fonction de la longueur des côtés et des angles intérieurs.

Dans cet article, nous verrons ce qu'est un polygone régulier, ses propriétés et quelques exemples.

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?

Un polygone régulier a des côtés de même longueur et des angles intérieurs égaux.

Les exemples de polygones réguliers sont les triangles équilatéraux, les carrés, les losanges, etc.

Un polygone a également des diagonales de même longueur. Les polygones réguliers sont le plus souvent convexes par nature. En revanche, les polygones réguliers concaves sont parfois en forme d'étoile. Nous allons aborder en détail les propriétés des polygones réguliers convexes.

Propriétés des polygones réguliers

Le cercle et l'incirconférence

Deux cercles importants peuvent être dessinés sur un polygone régulier.

Le cercle circonscrit se trouve à l'extérieur du polygone régulier convexe et passe par tous ses sommets. Le rayon du cercle est la distance entre le centre du polygone et l'un de ses sommets.

L'incircle passe par le milieu de tous les côtés du polygone et se trouve à l'intérieur du polygone régulier. Le rayon de l'incircle est la distance entre le centre et le milieu d'un côté. Cette distance est également appelée l'apothème du polygone.

Ces propriétés d'un cercle, d'une circonférence et d'un apothème ne peuvent être trouvées que dans les polygones réguliers.

Polygone régulier Propriétés d'un polygone régulier StudySmarter Cercle, demi-cercle et apothème, mathisfun.com

Que peut-on faire avec ces propriétés ? Une application intéressante consiste à pouvoir calculer l'aire d'un polygone régulier à l'aide de l'apothème . Tout polygone régulier peut être décomposé en triangles, En combinant cela avec l'apothème, nous pouvons estimer les aires de tout polygone régulier de côté N.

Calcule l'aire d'un hexagone de côté s et d'apothème I.

Polygone régulier Surface d'un polygone régulier StudySmarter Aire d'un polygone régulier, mathisfun.com

Solution

Divise l'hexagone en six triangles comme le montre l'image ci-dessous. Nous observons ce qui suit

La base du triangle est égale au côté du polygone (s).
La hauteur du triangle n'est autre que l'apothème du polygone (l).

Pour obtenir l'aire d'un polygone, il suffit de calculer l'aire d'un triangle et de la multiplier par le nombre de côtés.

Par conséquent, l'aire de l'hexagone = $6 \times \frac{1}{2} X s \times l$

Exemples de polygones réguliers

Les polygones réguliers à 3 côtés sont appelés triangles équilatéraux, ceux à 4 côtés sont appelés carrés. Les polygones réguliers ayant plus de quatre côtés sont désignés par un "régulier" précédant le nom du polygone. Par exemple, un pentagone dont les côtés et les angles sont égaux est appelé pentagone régulier. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples de polygones convexes réguliers (équiangulaires).

Polygone régulier Exemples de polygones réguliers StudySmarter Exemples de polygones réguliers, mathworld.wolfram.com

Formules pour les polygones réguliers

Les polygones réguliers ont quelques propriétés intéressantes associées à chacun de leurs attributs. Nous les examinons dans les sections suivantes.

Angles extérieurs

À tout sommet d'un polygone, il y a 2 angles l'intérieur et l'extérieur. L'angle extérieur est obtenu par l'angle entre une arête prolongée et son arête consécutive.

Polygone régulier Angles extérieurs d'un polygone régulier StudySmarter Angles extérieurs d'un polygone régulier, geogebra.org

Dans un polygone convexe régulier, la somme de tous les angles extérieurs est toujours de360° On peut aussi l'écrire comme,

$\emptyset = 360 / N, w h e r e N i s t h e n u m b e r o f s i d e s a n d \emptyset i s t h e e x t e r i o r a n g l e .$

Angles intérieurs

Les angles intérieurs sont formés entre deux côtés adjacents d'un polygone. La somme des angles intérieurs d'un polygone dépend du nombre de ses côtés. Par exemple, tous les triangles auront une somme totale de 180°, les quadrilatères auront une somme de 360°, et ainsi de suite.Mais qu'en est-il d'un polygone à cent côtés ?

Polygone régulier Angles intérieurs d'un polygone régulier StudySmarter Angle intérieur d'un polygone régulier, socratic.org

La somme des angles intérieurs et extérieurs à un sommet est toujours égale à 180°. En utilisant cette relation, nous pouvons dériver une équation générale qui peut être utilisée pour trouver les angles intérieurs de n'importe quel polygone en ayant le nombre de côtés.

$I n t e r i o r A n g l e = 180 ° - E x t e r i o r A n g l e W e a l r e a d y k n o w t h e E x t e r i o r a n g l e = \frac{360 °}{N}, s o I n t e r i o r A n g l e = 180 ° - \frac{360 °}{N} I n t e r i o r A n g l e = 180 ° - \frac{360 °}{N} = (N \times \frac{180 °}{N}) - (2 \times \frac{180 °}{N}) = (N - 2) \times \frac{180 °}{N} T h e r e f o r e, I n t e r i o r a n g l e = (N - 2) \times \frac{180 °}{N} A n d S u m o f a l l i n t e r i o r a n l g l e s = (N - 2) \times 180 °$

Calcule les angles extérieurs et intérieurs et la somme de tous les angles intérieurs d'un décagone régulier.

Polygone régulier Angles du décagone régulier StudySmarter Angles d'un décagone régulier, tutors.com

Solution

Nous savons que l'angle extérieur = $\frac{360 °}{N} = \frac{360 °}{10} = 36 °$

De même, angle intérieur = $180 ° - e x t e r i o i r a n g l e = 180 ° - 36 ° = 144 °$

Par conséquent, la somme de tous les angles intérieurs = N X 144°= 10 X 144°=1440°.

Diagonales d'un polygone convexe

Dans un polygone à plus de 3 côtés, une diagonale est un segment de droite entre deux points quelconques non consécutifs. Contrairement aux polygones concaves, les diagonales d'un polygone convexe se trouvent toujours à l'intérieur de la figure. Si un polygone a "N" côtés, le nombre de diagonales est égal à :

$N u m b e r o f d i a g o n a l s = \frac{N (N - 3)}{2}$ .

Calcule le nombre de diagonales d'un heptagone.

Solution

En appliquant la formule, nous obtenons

N u m b e r o f d i a g o n a l s = \frac{N (N - 3)}{2} = \frac{7 (7 - 3)}{2} = 14 d i a g o n a l s

Diagonales d'un pentagone régulier, brainly.in

Nous obtenons un total de 14 diagonales, qui sont représentées sur la figure ci-dessus.

Cela nous amène à la fin de cet article. Rafraîchissons ce que nous avons appris jusqu'à présent.

Polygones réguliers - Principaux enseignements

Un polygone dont les côtés et les angles intérieurs sont égaux s'appelle un polygone régulier.
Toutes les diagonales d'un polygone régulier sont de même longueur.
Le cercle circons crit passe par tous les sommets d'un polygone régulier. Le rayon du cercle est appelé circonférence.
L'incircle passe par les points médians de chaque côté. Le rayon de l'incircle est appelé l'apothème du polygone.
Chaque polygone régulier peut être décomposé en triangles plus petits qui peuvent être utilisés pour calculer leur surface.
Tous les sommets d'un polygone régulier sont équidistants de son centre.
La somme des angles extérieurs d'un polygone régulier est toujours égale à360°.
La somme de tous les angles intérieurs d'un polygone régulier est donnée par la formule suivante $(N - 2) \times 180 °$
Le nombre de diagonales d'un polygone à 'N' côtés est donné par $\frac{N (N - 3)}{2}$

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Un polygone dont les longueurs des côtés et les mesures des angles sont égales.

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Questions fréquemment posées en Polygones réguliers

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?

Un polygone régulier est une figure géométrique dont tous les côtés et tous les angles sont égaux.

Comment calculer l'aire d'un polygone régulier ?

Pour calculer l'aire, on peut utiliser la formule spécifique à chaque type de polygone ou décomposer en triangles.

Quels sont des exemples de polygones réguliers ?

Des exemples incluent le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier et l'hexagone régulier.

Quelle est la somme des angles dans un polygone régulier ?

La somme des angles d'un polygone à n côtés est (n-2) × 180°.

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