Surface des prismes: Méthodes, Formules

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Quelle est la surface des prismes ?

L'aire des surfaces des prismes est la surface plane totale occupée par les côtés des figures géométriques à trois dimensions qui ont des sections transversales constantes dans tout leur corps. Un prisme a des extrémités identiques et des faces planes.

L'aire des surfaces des prismes se mesure en centimètres carrés, en mètres, en pieds (^cm2,^m2, ^ft2), etc.

La surface totale d'un prisme est la somme de deux fois la surface de sa base et du produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.

Il existe de nombreux types de prismes différents qui obéissent aux règles et à la formule mentionnées ci-dessus. En général, on peut dire que tous les polygones peuvent devenir des prismes en 3D et donc que leurs surfaces totales peuvent être calculées. Voyons quelques exemples.

Prisme triangulaire

Un prisme triangulaire a 5 faces dont 2 faces triangulaires et 3 faces rectangulaires.

Surface des prismes, Une image d'un prisme triangulaire, StudySmarter

Image d'un prisme triangulaire, StudySmarter Originals

Prisme rectangulaire

Un prisme rectangulaire a 6 faces, qui sont toutes rectangulaires.

Surface des prismes, Une image d'un prisme rectangulaire, StudySmarter

Image d'un prisme rectangulaire, StudySmarter Originals

Prisme pentagonal

Un prisme pentagonal a 7 faces dont 2 faces pentagonales et 5 faces rectangulaires.

Surface des prismes, Une image d'un prisme pentagonal, StudySmarter

Image d'un prisme pentagonal, StudySmarter Originals

Prisme trapézoïdal

Un prisme trapézoïdal a 6 faces dont 2 faces trapézoïdales et 4 faces rectangulaires.

Surface des prismes, Image d'un prisme trapézoïdal, StudySmarter

Image d'un prisme trapézoïdal, StudySmarter Originals

Prisme hexagonal

Un prisme hexagonal a 8 faces dont 2 faces hexagonales et 6 faces rectangulaires.

Surface des prismes, Une image d'un prisme hexagonal, StudySmarter

Image d'un prisme hexagonal, StudySmarter Originals

Un cylindre n'est pas considéré comme un prisme parce qu'il a des surfaces courbes et non plates.

Quelle est la méthode pour trouver la surface d'un prisme ?

La méthode qui a amené au calcul de la surface d'un prisme a été la prise en compte de chaque face du prisme. Pour ce faire, nous devons analyser en quoi consiste un prisme simple.

Tout prisme est constitué de deux faces identiques en termes de forme et de dimension. Nous appelons ces deux faces le sommet et la base.

Surface des prismes, Illustration des faces supérieure et de base d'un prisme à l'aide d'un prisme triangulaire, StudySmarter

Illustration des faces supérieure et de base d'un prisme à l'aide d'un prisme triangulaire, StudySmarter Originals.

Il comprend également des surfaces rectangulaires en fonction du nombre de côtés que possède la base du prisme. Par exemple, un prisme à base triangulaire aura 3 autres faces en dehors de son sommet et de sa base identiques. De même, un prisme à base pentagonale aura 5 autres côtés en dehors de son sommet et de sa base identiques, et cela s'applique à tous les prismes.

Surface des prismes, Illustration des faces rectangulaires d'un prisme à l'aide d'un prisme triangulaire, StudySmarter.

Illustration des faces rectangulaires d'un prisme à l'aide d'un prisme triangulaire, StudySmarter Originals.

N'oublie jamais que les faces qui sont différentes du sommet et de la base sont rectangulaires - cela t'aidera à comprendre l'approche utilisée pour développer la formule.

Maintenant que nous savons ce que comprennent les surfaces d'un prisme, il est plus facile de calculer la surface totale d'un prisme. Nous avons 2 côtés identiques qui prennent la forme du prisme, et n côtés rectangulaires - où n est le nombre de côtés de la base.

La surface du sommet doit sûrement être la même que la surface de la base qui dépend de la forme de la base. Nous pouvons donc dire que la surface totale du sommet et de la base du prisme est la suivante

$A_{B} = b a s e a r e a A_{T} = t o p a r e a A_{T B} = A r e a o f b a s e a n d t o p A_{B} = A_{T} A_{T B} = A_{B} + A_{T} A_{T B} = A_{B} + A_{B} A_{T B} = 2 A_{B}$

La surface de la base et du sommet est donc le double de la surface de la base.

Il nous reste maintenant n côtés rectangulaires. Cela signifie que nous devons calculer la surface de chaque rectangle. Cela serait encore plus stressant à mesure que le nombre de côtés augmente.

$A r e a o f f a c e 1 = S i d e 1 \times h e i g h t A r e a o f f a c e 2 = S i d e 2 \times h e i g h t A r e a o f f a c e 3 = S i d e 3 \times h e i g h t A r e a o f f a c e 4 = S i d e 4 \times h e i g h t . . . A r e a o f f a c e n = S i d e n \times h e i g h t$

Tu aimes le stress ? Eh bien, je n'aime pas .

Donc, pour réduire le travail, quelque chose est constant. La hauteur est constante, puisque nous allons additionner toutes les surfaces, pourquoi ne pas trouver la somme de tous les côtés et la multiplier par la hauteur. Cela signifie que

id="5229209" role="math" $T o t a l r e c \tan g u l a r b o d y a r e a o f a p r i s m = (S i d e 1 \times h e i g h t) + (S i d e 2 \times h e i g h t) + (S i d e 3 \times h e i g h t) . . + S i d e n \times h e i g h t) T o t a l r e c \tan g u l a r b o d y a r e a o f a p r i s m = h e i g h t (S i d e 1 + S i d e 2 + S i d e 3 + S i d e 4 . . . + S i d e n) (S i d e 1 + S i d e 2 + S i d e 3 + S i d e 4 . . . + S i d e n) = P e r i m e t e r o f b a s e s u r f a c e T o t a l r e c \tan g u l a r b o d y a r e a o f a p r i s m = h e i g h t (P e r i m e t e r o f b a s e s u r f a c e)$

Où h est la hauteur d'un prisme,_AB la surface de la base et_PB le périmètre de la base du prisme, la surface totale d'un prisme est la suivante.

$A_{P} = 2 A_{B} + P_{B} h$

Surface des prismes, Illustration de la hauteur et de la base d'un prisme pour déterminer la surface, StudySmarter

Illustration de la hauteur et de la base d'un prisme pour en déterminer la surface, StudySmarter Originals

Quelle est la surface d'un prisme triangulaire ?

Si h est la hauteur d'un prisme,_AB la surface de la base et_PB le périmètre de la base du prisme, la surface totale d'un prisme peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

$A_{P} = 2 A_{B} + P_{B} h$

Mais nous devons adapter cette formule à un triangle puisqu'un prisme triangulaire a la base d'un triangle. Puisque l'aire d'un triangle_At avec une base b et une hauteur_ht est

$A_{t} = \frac{1}{2} b \times h_{t}$

et que le périmètre d'un triangle _Pt avec a, b, c est

$P_{t} = a + b + c$

alors la surface totale d'un prisme triangulaire_APtest de

$A_{P t} = 2 (\frac{1}{2} b \times h_{t}) + h (a + b + c) A_{P t} = 2 (\frac{1}{2} b \times h_{t}) + h (a + b + c) A_{P t} = (b \times h_{t}) + h (a + b + c)$

Note que_ht est la hauteur de la base triangulaire tandis que h est la hauteur du prisme lui-même.

Surface des prismes, Illustration de la surface d'un prisme triangulaire, StudySmarter

Illustration de la surface d'un prisme triangulaire, StudySmarter Originals

La surface totale d'un prisme triangulaire est :

la somme de (produit de la base et de la hauteur de la base triangulaire) et de (produit de la hauteur du prisme et du périmètre du triangle).

Trouve la surface totale de la figure ci-dessous.

Surface des prismes Calculer la surface d'un prisme triangulaire StudySmarter Calculer la surface d'un prisme triangulaire, StudySmarter Originals

Solution :

La surface totale d'un prisme triangulaire_APtest de

$A_{P t} = (b \times h_{t}) + h (a + b + c)$

b est de 6 m,

_ht est de 4 m,

h est de 3 m,

a est de 5 m,

et c est également de 5 m (base triangulaire isocèle).

Substitue ensuite dans ta formule et résous.

$A_{P t} = (6 m \times 4 m) + 3 m (5 m + 6 m + 5 m) A_{P t} = (24 m^{2}) + 3 m (16 m) A_{P t} = 24 m^{2} + 48 m^{2} A_{P t} = 72 m^{2}$

Quelle est la surface d'un prisme rectangulaire ?

Un prisme rectangulaire est appelé cuboïde s'il a une base rectangulaire ou cube s'il a une base carrée, la hauteur du prisme étant égale au côté de la base carrée.

Lorsque h est la hauteur d'un prisme,_AB la surface de la base et_PB le périmètre de la base du prisme, la surface totale d'un prisme peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

$A_{P} = 2 A_{B} + P_{B} h$

Mais nous devons adapter cette formule à un rectangle puisqu'un prisme rectangulaire a la base d'un rectangle. Puisque la surface d'un rectangle_Ar avec une base b et une hauteur _hr est

$A_{r} = b \times h_{r}$

et le périmètre du même rectangle_Pr est

$P_{r} = 2 (b + h_{r})$

alors la surface totale d'un prisme triangulaire_APrserait de

$A_{P r} = 2 (b \times h_{r}) + h (2 (b + h_{r})) A_{P r} = 2 (b \times h_{r}) + 2 h (b + h_{r}) A_{P r} = 2 ((b \times h_{r}) + h (b + h_{r}))$

Note que _hr est la hauteur de la base rectangulaire tandis que h est la hauteur du prisme lui-même. De plus, la base b et la hauteur _hr de la base rectangulaire sont autrement appelées la largeur et la longueur de la base rectangulaire.

Surface des prismes Illustration d'un prisme rectangulaire StudySmarter Illustration d'un prisme rectangulaire, StudySmarter Originals

La surface totale d'un prisme rectangulaire est :

Deux fois la somme entre le produit de la base et de la hauteur de la base rectangulaire et le produit de la hauteur du prisme et la somme de la base et de la hauteur de la base rectangulaire.

Trouve la surface totale de la figure ci-dessous.

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Solution :

La surface totale d'un prisme rectangulaire_APr est de

$A_{P r} = 2 ((b \times h_{r}) + h (b + h_{r}))$

b est de 10 cm,

_hr est de 6 cm,

et h est de 8 cm

Substitue ensuite dans ta formule et résous.

id="5229210" role="math" $A_{P r} = 2 ((10 c m \times 6 c m) + 8 c m (10 c m + 6 c m)) A_{P r} = 2 ((60 c m^{2}) + 8 c m (16 c m)) A_{P r} = 2 (60 c m^{2} + 128 c m^{2}) A_{P r} = 376 c m^{2}$

Note, pour d'autres types de formes, il suffit d'entrer leurs aires respectives et de trouver leurs périmètres et d'appliquer la formule générale.

$A_{P} = 2 A_{B} + P_{B} h$

tu trouveras sûrement la bonne réponse.

Exemples de surface de prismes

On te conseille d'essayer autant d'exemples que possible pour augmenter tes compétences en matière de résolution de problèmes sur la surface des prismes. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples pour t'aider.

Trouve la surface totale de la figure ci-dessous.

Surface des prismes, Autres exemples sur la surface des prismes, StudySmarter Autres exemples sur la surface des prismes, StudySmarter Originals

Solution :

Il s'agit d'un prisme triangulaire. Avant de pouvoir calculer sa surface totale, nous devons trouver les côtés de sa base triangulaire.

Comme la hauteur est de 9 cm et qu'il s'agit d'un triangle isocèle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le reste des côtés. Soit x le côté inconnu.

Surface des prismes, La base du prisme triangulaire StudySmarter La base du prisme triangulaire, StudySmarter Originals

alors x est

$x^{2} = 5^{2} + 9^{2} x = \sqrt{5^{2} + 9^{2}} x = \sqrt{25 + 81} x = \sqrt{106} x = 10.3$

Maintenant que nous connaissons l'autre côté, nous pouvons appliquer notre formule

$A_{P t} = (b \times h_{t}) + h (a + b + c)$

b est de 10 cm,

_ht est 9 cm,

h est de 6 cm,

a vaut 10,3 cm,

et c vaut également 10,3 cm (base triangulaire isocèle).

Remplace maintenant la formule par une autre et résous le problème.

$A_{P t} = (10 c m \times 9 c m) + 6 c m (10.3 c m + 10 c m + 10.3 c m) A_{P t} = (90 c m^{2}) + 6 c m (30.6 c m) A_{P t} = 90 c m^{2} + 183.6 c m^{2} A_{P t} = 273.6 c m^{2}$

Trouve la longueur d'un cube si sa surface totale est de 150 ^cm2.

Solution :

Rappelle-toi qu'un type de prisme rectangulaire qui a tous ses côtés égaux. Sachant que la surface totale d'un prisme rectangulaire_APr est de

$A_{P r} = 2 ((b \times h_{r}) + h (b + h_{r}))$

alors pour un cube dont tous les côtés sont égaux,

$b = h_{r} = h$

Donc ,

$A_{P r} = 2 ((b \times b) + b (b + b)) A_{P r} = 2 (b^{2} + b (2 b)) A_{P r} = 2 (b^{2} + 2 b^{2}) A_{P r} = 2 (3 b^{2}) A_{P r} = 6 b^{2}$

On nous dit que la surface totale_APr est de 150 ^cm2, donc chaque côté serait de

$A_{P r} = 6 b^{2} 150 c m^{2} = 6 b^{2} \frac{150 c m^{2}}{6} = \frac{6 b^{2}}{6} b^{2} = 25 c m^{2} b = \sqrt{25 c m^{2}} b = 5 c m$

Cela signifie que le cube dont la surface totale est de 150 ^cm2 a une longueur de 5 cm.

Surface des prismes - Principaux enseignements

Un prisme est une figure géométrique tridimensionnelle dont la section transversale est constante sur toute sa longueur. Un prisme a des extrémités identiques et des faces planes.
La surface d'un prisme peut être calculée à l'aide de la formule suivante $s u r f a c e a r e a = (b a s e a r e a \times 2) + (b a s e p e r i m t e r \times l e n g t h)$

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Quelle est la surface d'un prisme triangulaire ayant trois côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm et une hauteur de 6 cm ?

82 ^cm2

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Questions fréquemment posées en Surface des prismes

Qu'est-ce qu'un prisme?

Un prisme est un solide géométrique avec deux bases parallèles et identiques reliées par des faces rectangulaires.

Comment calculer la surface d'un prisme?

Pour calculer la surface d'un prisme, additionnez les aires des bases et les aires des faces latérales.

Quelle est la formule de la surface d'un prisme rectangulaire?

La formule est: Surface = 2(lh + lh + hw), où l, h, et w sont les dimensions du prisme.

Quelles unités utilise-t-on pour la surface d'un prisme?

La surface est généralement exprimée en unités carrées, comme cm², m², etc.

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