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Définition de la similarité en géométrie
La similitude peut être définie comme un attribut présenté par deux ou plusieurs figures lorsque leurs formes sont identiques.
Un individu est partant pour un jeu de nuit rouge avec ses amis exigeant qu'ils se bandent les yeux et fassent une sélection pour une paire similaire parmi 4 pâtisseries ; un beignet, un pain pour hamburger, un pain tranché et un samosa. Détermine la sélection appropriée.
Solution :
Un samosa est de forme triangulaire ; une tranche de pain est de forme rectangulaire ; un pain burger est de forme circulaire, et un beignet est de forme circulaire.
Par conséquent, la paire similaire appropriée est le pain burger et le beignet.
Propriétés de la similitude
On dit que deux figures sont semblables si elles ont la même forme mais des tailles différentes. Par conséquent, les formes similaires ont les propriétés suivantes,
- Les angles correspondants sont égaux.
- Les côtés correspondants sont dans le même rapport : cela signifie que tous les côtés d'une figure doivent être multipliés par le même nombre pour donner les côtés correspondants dans l'autre figure.
Pour avoir une compréhension approfondie de l'application de la similitude en géométrie, présente les théorèmes de similitude pour les triangles.
Formules de similitude
Beaucoup de gens (peut-être, toi) s'enthousiasment lorsqu'il existe une formule pour résoudre les problèmes d'un sujet. Ces formules deviennent l'identité de ces sujets et servent à améliorer la rétention de la mémoire. Cependant, le concept de similarité n'a pas cette approche. En termes plus clairs, il n'y a pratiquement pas de formule(s) attribuée(s) à la résolution des problèmes de similitude.
Néanmoins, les problèmes de similitude dépendent principalement de la compréhension et de l'application des propriétés de la similitude qui ont été discutées dans la section précédente. Plus encore, la compréhension et l'application des théorèmes dont il est question ci-après vont bien au-delà des formules à mémoriser.
La similitude des théorèmes de géométrie
Il existe de multiples façons de déterminer si deux triangles sont semblables ou non, en utilisant l'un des quatre théorèmes sur les triangles.
Similitude des angles
Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables.
Les triangles ABC et DEF sont semblables, car
et
Similitude angle-angle, StudySmarter Originals
Similitude côté-angle-côté
Si un angle d'un triangle est égal à un angle d'un autre triangle et que les côtés composant cet angle sont proportionnels, alors ces deux triangles sont semblables.
La proportionnalité des côtés signifie que les deux côtés du triangle ABC doivent être multipliés par le même nombre pour donner les côtés du triangle DEF.
Similitude entre le côté et l'angle, StudySmarter Originals
Les côtés donnés dans la figure ci-dessus ont un rapport commun, c'est-à-dire,
et les angles respectifs formés par ces côtés correspondants sont égaux,
Similitude côté-côté-côté
Deux triangles peuvent également être considérés comme similaires si leurs côtés AC, AB et BC, qui correspondent aux côtés d'un autre triangle DF, DE et FE, sont effectivement proportionnels.
Théorème de similitude côté côté côté (www.draw.io)
Dans le diagramme, toutes les lignes formant le triangle DEF sont la longueur de leur côté respectif dans le triangle ABC multipliée par un facteur constant r.
Angle droit - Hypoténuse - Similitude des côtés
Ce théorème n'est valable que pour les triangles à angle droit.
Deux triangles sont semblables si la longueur de l'hypoténuse et d'un autre côté dans un triangle sont proportionnelles à la longueur de l'hypoténuse et de l'autre côté dans un autre triangle. C'est-à-dire
Théorème de similitude angle droit-hypoténuse-côté (www.draw.io)
Lorsque nous utilisons un côté dans un théorème de similitude (par exemple dans le théorème de SAS), nous ne voulons pas dire que les côtés sont égaux, mais que le rapport entre les côtés du triangle est constant.
Symbole de similitude
Le symbole que nous utilisons pour montrer que deux choses sont similaires est ∼ . Supposons que les triangles ABC et DEF soient semblables, nous pourrions alors écrire
Δ ABC ∼ Δ DEF.
Le triangle ABC a pour côtés AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 10 cm. Le triangle DEF a pour côtés DE = 3 cm, DF = 2 cm et EF = 5 cm. Prouve que ces triangles sont semblables.
Solution :
Comme on ne nous donne que des côtés, nous voulons utiliser le théorème de similitude SSS.
Pour pouvoir appliquer ce théorème, nous devons trouver un rapport commun entre les côtés du triangle ABC et du triangle DEF.
Le rapport entre les côtés AB et DE est
Le rapport entre les côtés AC et DF est
Le rapport entre les côtés BC et EF estPuisque le rapport entre les côtés du triangle ABC et ses côtés respectifs sur le triangle DEF est constant, nous pouvons dire que
Similitude des polygones
Les polygones sont des formes planes qui ont trois côtés ou plus. Cela signifie qu'un triangle est également un polygone. Le concept de similitude se retrouve également dans d'autres polygones que les triangles.
En fait, la similitude des triangles est un cas particulier de la similitude des polygones.
Cependant, pour qu'il y ait similitude entre les polygones, deux conditions doivent être remplies :
1. Les angles correspondants de la paire en comparaison doivent être équivalents.
2. Les côtés correspondants de la paire en comparaison doivent avoir des proportions équivalentes.
Prouve que ces deux rectangles sont semblables.
Une illustration sur les polygones avec similitude, StudySmarter Original
Solution :
Les deux rectangles ont tous leurs angles internes comme des angles droits. Cela signifie que le premier critère qui dit que tous les angles correspondants doivent être égaux a été respecté.
Ensuite, nous devons confirmer que le rapport de leurs côtés correspondants est égal.
Le rapport des deux largeurs est
et le rapport des deux longueurs est
Détermine la similitude entre les paires suivantes,
(a)
En utilisant la règle de l'angle, StudySmarter Originals
(b)
En utilisant la règle de l'angle latéral, StudySmarter Originals
(c)
En utilisant la règle de l'angle latéral, StudySmarter Originals
(d)
En utilisant la règle de l'angle droit-hypoténuse-côté, StudySmarter Originals
Solution :
(a) En utilisant la règle de l'angle, nous pouvons dire que les deux triangles de la figure (a) sont similaires car, sachant que la somme des angles dans un triangle est de 180º, le troisième angle dans le premier triangle est donc de
Cela confirme que les deux triangles sont semblables puisque tous les angles correspondants sont égaux.
(b) Les deux triangles de la figure (b) ne sont pas semblables, bien que le rapport entre les côtés correspondants soit égal à 2:1, les angles correspondants entre eux sont différents et, à ce titre, en utilisant la règle de l'angle latéral, nous pouvons confirmer que les deux triangles ne sont pas semblables.
(c) La paire de la figure (c) n'est pas similaire parce que le rapport entre les deux côtés est de 2:1 alors que le rapport du troisième côté est de 5:3. En considérant la règle des côtés, le rapport de tous les côtés correspondants doit être équivalent, donc cette paire de triangles n'est pas similaire.
(d) La paire de la figure (d) est semblable parce qu'il s'agit de deux triangles droits et que le rapport des hypoténuses et des côtés opposés correspondants est de 1:4. Ceci est conforme à la règle de similitude angle droit-hypoténuse-côté.
Similitude - Points clés à retenir
- Les figures sont similaires si elles ont la même forme.
- Il existe quatre théorèmes de similitude pour les triangles : Angle-angle, angle latéral-côté, côté latéral-côté et angle droit-hypoténuse-côté.
- Si deux triangles sont semblables, leurs côtés respectifs sont de longueur proportionnelle.
- Pour deux triangles semblables ABC et DEF, on écrit Δ ABC ∼ Δ DEF.
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Questions fréquemment posées en Similarité
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Exemples de similitudes en géométrie
Pour mieux comprendre le concept de similitude, voici quelques exemples.