Volume des prismes: Formules, Exemples

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Dans cet article, tu apprendras à connaître différents prismes et à déterminer leur volume.

Qu'est-ce qu'un prisme ?

Un prisme est un solide tridimensionnel qui possède deux surfaces opposées ayant la même forme et la même dimension. Ces surfaces opposées sont souvent appelées base et sommet.

On note que ces surfaces peuvent être repositionnées de telle sorte que le sommet et la base soient orientés latéralement.

Types de prismes

Il existe plusieurs types de prismes. Chaque type dépend de la forme des bases opposées. Si les bases opposées sont rectangulaires, on parle alors de prisme rectangulaire. Lorsque ces bases sont triangulaires, on parle de prisme triangulaire, et ainsi de suite.

Tu trouveras ci-dessous quelques types de prismes et les figures correspondantes,

Prisme carré
Prisme rectangulaire
Prisme triangulaire
Prisme trapézoïdal
Prisme hexagonal

Volume des prismes Un diagramme montrant les types de prismes StudySmarter

Un diagramme montrant les types de prismes, StudySmarter Originals

Formule et équation du volume d'un prisme

Pour trouver le volume d'un prisme, tu dois prendre en compte la surface de base du prisme et sa hauteur. Ainsi, le volume d'un prisme est le produit de sa surface de base et de sa hauteur. La formule est donc la suivante

$V o l u m e_{p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times H e i g h t_{p r i s m} = A_{b} \times h_{p}$

Application : Comment calculer le volume de différents types de prismes ?

Le volume des différents types de prisme se calcule à l'aide de la règle générale introduite plus tôt dans l'article. Ci-après, nous montrons différentes formules directes pour calculer les volumes de différents types de prismes.

Volume d'un prisme rectangulaire

Un prisme rectangulaire a une base rectangulaire. Il est également appelé cuboïde.

Nous rappelons que l'aire d'un rectangle est donnée par,

$A r e a_{r e c \tan g l e} = l e n g t h_{r e c \tan g l e} \times b r e a d t h_{r e c \tan g l e} = l \times b$

Ainsi, le volume d'un prisme rectangulaire est donné par,

$V o l u m e_{r e c \tan g u l a r p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times H e i g h t_{p r i s m} = l \times b \times h_{p}$

La longueur et la largeur d'une boîte d'allumettes rectangulaire sont respectivement de 12 cm et 8 cm, si sa hauteur est de 5 cm, trouve le volume de la boîte d'allumettes.

Solution :

Nous commençons par écrire les valeurs données,

$l = 12 c m, b = 8 c m$ et $h_{p} = 5 c m .$

Le volume du prisme rectangulaire est donc,

$V_{r e c \tan g u l a r p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times h e i g h t_{p r i s m} = A_{r e c \tan g l e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l \times b \times h_{p} = 12 \times 8 \times 5 = 480 c m^{3} .$

Volume d'un prisme à base triangulaire

Un prisme triangulaire a son sommet et sa base constitués de triangles semblables.

On rappelle que l'aire d'un triangle est donnée par,

$A r e a_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} \times l e n g t h_{b a s e o f t r i a n g l e} \times h e i g h t_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} \times l_{b t} \times h_{t}$

Ainsi, le volume d'un prisme triangulaire est donné par,

$V o l u m e_{t r i a n g u l a r p r i s m} = A r e a_{t r a i n g u l a r b a s e} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{1}{2} \times l_{b t} \times h_{t} \times h_{p}$

Un prisme à base triangulaire d'une longueur de 10 m et d'une hauteur de 9 m a une profondeur de 6 cm. Trouve le volume du prisme triangulaire.

Solution :

Nous énumérons d'abord les valeurs données,

$l_{b t} = 10 c m, h_{t} = 9 c m, h_{p} = 6 c m .$

Le volume du prisme triangulaire est donné par

$V_{p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times h e i g h t_{p r i s m} = A r e a_{t r i a n g l e} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{1}{2} \times l_{b t} \times h_{t} \times h_{p} = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 \times 6 = 270 c m^{3}$ .

Volume d'un prisme à base carrée

Toutes les faces d'un prisme carré sont des carrés. Il est également appelé cube.

On rappelle que l'aire d'un carré est donnée par ,

$A r e a_{s q u a r e} = l e n g h t_{s q u a r e} \times b r e a d t h_{s q u a r e} = {(l e n g t h_{s q u a r e})}^{2}$

Le volume d'un prisme carré est donné par ,

$V o l u m e_{s q u a r e p r i s m} = A r e a_{b a s e} \times h e i g h t_{p r i s m} = A r e a_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m}$

Mais, comme il s'agit d'un prisme carré, tous les côtés sont égaux, et donc la hauteur du prisme est égale aux côtés de chaque carré du prisme. Par conséquent ,

$h e i g h t_{p r i s m} = l e n g h t_{s q u a r e} = b r e a d t h_{s q u a r e}$

Ainsi, le volume d'un prisme carré ou d'un cube est donné par,

$V o l u m e_{c u b e} = A r e a_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l e n g t h_{s q u a r e} \times h e i g h t_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l_{s q u a r e} \times l_{s q u a r e} \times l_{s q u a r e} = {(l_{s q u a r e})}^{3}$

Trouve le volume d'un cube dont l'un des côtés mesure 5 cm ?

Solution :

Nous commençons par écrire les valeurs données,

$l_{s q u a r e} = 5 c m$

Le volume d'un cube est donné par,

$V o l u m e_{c u b e} = A r e a_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l e n g t h_{s q u a r e} \times h e i g h t_{s q u a r e} \times h e i g h t_{p r i s m} = l_{s q u a r e} \times l_{s q u a r e} \times l_{s q u a r e}$

$= {(l_{s q u a r e})}^{3} = 5^{3} = 125 c m^{3}$

Volume d'un prisme trapézoïdal

Un prisme trapézoïdal a le même trapèze au sommet et à la base du solide. Le volume d'un prisme trapézoïdal est le produit de l'aire du trapèze et de la hauteur du prisme.

On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par ,

$A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{1}{2} \times h e i g h t_{t r a p e z i u m} \times (t o p b r e a d t h_{t r a p e z i u m} + d o w n b r e a d t h_{t r a p e z i u m}) A_{t r a p e z i u m} = \frac{1}{2} \times h_{t} \times (t b_{t r a p e z i u m} + d b_{t r a p e z i u m})$

Ainsi, le volume d'un trapèze est donné par ,

$V o l u m e_{t a p e z o i d a l p r i s m} = A r e a_{t r a p e z i u m} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{1}{2} \times h_{t} \times (t b_{t r a p e z i u m} + d b_{t r a p e z i u m}) \times h_{p}$

Une boîte à sandwich est un prisme dont la base est un trapèze de 5 cm et 8 cm de large et dont la hauteur est de 6 cm. Si la profondeur de la boîte est de 3 cm, trouve le volume du sandwich.

Solution :

Nous écrivons d'abord les valeurs connues, la longueur de la largeur supérieure est de 5 cm, la longueur de la largeur inférieure est de 8 cm, la hauteur du trapèze est de 6 cm, et la hauteur du prisme est de 3 cm.

Ainsi, le volume du prisme trapézoïdal est donné par ,

$V o l u m e_{t r a p e z o i d a l p r i s m} = A r e a_{t r a p e z i u m} \times h e i g h t_{p r i s m}$

La surface du trapèze peut être calculée à l'aide de la formule,

$A = \frac{1}{2} \times h_{t} \times (t b_{t r a p e z i u m} + d b_{t r a p e z i u m}) = \frac{1}{2} \times 6 \times (5 + 8) = 3 \times 13 = 39 c m^{2}$

Enfin, le volume du prisme trapézoïdal est de

$V o l u m e_{t r a p e z o i d a l p r i s m} = A r e a_{t r a p e z i u m} \times h e i g h t_{p r i s m} = 39 \times 3 = 117 c m^{3} .$

Volume d'un prisme hexagonal

Un prisme hexagonal a un sommet et une base hexagonaux. Son volume est le produit de l'aire de la base hexagonale et de la hauteur du prisme.

Nous rappelons que l'aire d'un hexagone est donnée par ,

$A r e a_{h e x a g o n} = \frac{3 \sqrt{3} {l_{h e x a g o n}}^{2}}{2}$

On remarque que tous les côtés d'un polygone régulier sont égaux. Ainsi ,

$V o l u m e_{h e x a g o n a l p r i s m} = A r e a_{h e x a g o n} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{3 \sqrt{3} {l_{h e x a g o n}}^{2}}{2} \times h_{p}$ .

Un prisme hexagonal dont l'un des côtés mesure 7 cm, a une hauteur de 5 cm. Calcule le volume du prisme.

Solution :

Nous commençons par écrire les valeurs connues, chaque longueur de côté de l'hexagone est de 7 cm et la hauteur du prisme est de 5 cm.

Ainsi, le volume du prisme hexagonal est donné par,

$V o l u m e_{h e x a g o n a l p r i s m} = {A r e a}_{h e x a g o n} \times h e i g t h_{p r i s m}$

Mais,

$A r e a_{h e x a g o n a l b a s e} = \frac{3 \sqrt{3} \times l^{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} \times 7^{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} \times 49}{2} = \frac{147 \sqrt{3}}{2} c m^{2}$

Par conséquent, nous avons

$V o l u m e_{h e x a g o n a l p r i s m} = {A r e a}_{h e x a g o n} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{3 \sqrt{3} \times l^{2}}{2} \times h_{p} = \frac{147 \sqrt{3}}{2} \times 5 = \frac{735 \sqrt{3}}{2} c m^{3}$

Exemples sur le volume des prismes

Une application très utile du volume des prismes est la possibilité de trouver les volumes de différentes formes. C'est ce que nous allons voir dans l'exemple suivant.

Détermine la capacité d'eau que la figure peut contenir.

Solution :

La figure ci-dessus est composée de deux prismes, un prisme rectangulaire au sommet et un prisme trapézoïdal à la base. Pour trouver la capacité, nous devons trouver le volume de chacun.

Tout d'abord, nous allons calculer le volume du prisme rectangulaire,

$V_{r e c \tan g u l a r p r i s m} = A r e a_{r e c \tan g l e} \times h e i g h t_{r e c \tan g u l a r p r i s m} = 4 \times 5 \times 3 = 60 c m^{3}$ .

Ensuite, nous calculons le volume du prisme trapézoïdal,

$V_{t r a p e z o i d a l p r i s m} = A r e a_{t r a p e z i u m} \times h e i g h t_{p r i s m} = \frac{1}{2} \times 8 \times (5 + 12) \times 4 = \frac{1}{2} \times 8 \times 17 \times 4 = 272 c m^{3} .$

Ensuite, on peut calculer le volume de la figure donnée,

$V o l u m e_{s o l i d} = V_{r e c \tan g u l a r p r i s m} + V_{t r i a n g u l a r p r i s m} = 60 + 272 = 332 c m^{3} .$

Par conséquent, pour déterminer la capacité, nous devons la convertir en litres.

Ainsi ,

$1 c m^{3} = 0.001 l i t e r s 332 \times 0.001 = 0.332 l i t e r s .$

Volume des prismes - Points clés

Un prisme est un solide tridimensionnel dont deux des surfaces opposées ont la même forme et la même dimension.
Les différents types de prisme sont basés sur la forme de la base : rectangulaire, carrée, triangulaire, trapézoïdale et polygonale.
Le volume d'un prisme régulier se calcule en trouvant le produit de la surface de la base et de la hauteur du prisme.
Le volume de différentes formes peut être calculé en effectuant des opérations arithmétiques simples sur des prismes réguliers séparés.

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Questions fréquemment posées en Volume des prismes

Comment calculer le volume d'un prisme ?

Pour calculer le volume d'un prisme, multipliez l'aire de sa base par sa hauteur. La formule est V = Base × Hauteur.

Quelle est la formule du volume d'un prisme rectangulaire ?

La formule pour le volume d'un prisme rectangulaire est V = Longueur × Largeur × Hauteur.

Est-ce que le volume d'un prisme change selon son type ?

Non, la méthode de calcul du volume d'un prisme est la même pour tous les types : aire de la base fois la hauteur.

Peut-on trouver le volume d’un prisme avec des unités différentes ?

Oui, assurez-vous simplement que toutes les mesures sont dans les mêmes unités avant de les utiliser dans la formule.

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