Mesures d'arc: Théories, Pratiques

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L'arc et sa mesure

Il y a deux définitions importantes à connaître :

L'arc de cercle

Un arc est le bord d'un secteur de cercle, c'est-à-dire le bord bordé/délimité par deux points du cercle.

Lalongueur de l 'arc est la taille de l'arc, c'est-à-dire la distance entre les deux points de délimitation du cercle.

La mesure d'un arc

Si nous considérons un arc comme étant le bord entre deux points A et B sur un cercle, la mesure de l'arc est la taille de l'angle entre A, le centre du cercle, et B.

Par rapport à la longueur de l'arc, la mesure de l'arc est la taille de l'angle dont la longueur de l'arc est soustraite.

Voici une démonstration graphique de ces définitions :

Mesures des arcs trouver la mesure d'un arc StudySmarter Trouver la mesure d'un arc StudySmarter original

Radians et degrés

Avant de présenter la formule de mesure d'un arc, récapitulons les degrés et les radians.

Pour convertir les radians en degrés: divise par $π$ et multiplie par 180.

Pour convertir les degrés en radians: divise par 180 et multiplie par $π$ .

Voici quelques-uns des angles courants que tu dois reconnaître.

Degrés	0	30	45	60	90	120	180	270	360
Radians	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$

Formules de mesure d'arc et de longueur d'arc

Trouver la mesure de l'arc avec le rayon

La formule qui relie à la fois la mesure de l'arc (ou mesure de l'angle) et la longueur de l'arc est la suivante :

$S = r \times θ$

Où

r est le rayon du cercle
$θ$ est la mesure de l'arc en radians
S est la longueur de l'arc

Nous pouvons trouver la mesure de l'arc étant donné le rayon et la longueur de l'arc en réarrangeant la formule : $θ = \frac{S}{r}$ .

Trouve la mesure de l'arc indiqué dans le cercle suivant en fonction de son rayon, r.

Mesures de l'arc Mesures de l'arc StudySmarter

En utilisant la formule $S = r \times θ$ :

$13 = r \times x$

Nous avons besoin de la mesure de l'arc en fonction de r, nous devons donc réarranger cette équation:

$x = \frac{13 °}{r}$

Trouver la mesure de l'arc avec la circonférence

Si on ne nous donne pas le rayon, r, il existe une deuxième méthode pour trouver la mesure de l'arc. Si nous connaissons la circonférence d'un cercle ainsi que la longueur de l'arc, alors le rapport entre la mesure de l'arc et la longueur de l'arc est le suivant $360 °$ (ou $2 π^{c}$ selon que tu veux la mesure de l'arc en degrés ou en radians) est égal au rapport entre la longueur de l'arc et la circonférence.

$\frac{θ}{360 °} = \frac{S}{c}$

Où

c est la circonférence du cercle
$θ$ est la mesure de l'arc en degrés
S est la longueur de l'arc

Trouve la longueur de l'arc, x, du cercle suivant dont la circonférence est de 10 cm.

Arc measures finding x StudySmarter

En utilisant la formule $\frac{θ}{2 π} = \frac{S}{c}$ :

$\frac{5.5}{2 π} = \frac{x}{10}$

En réarrangeant, on obtient :

$x = 10 \times \frac{5.5}{2 \times π} = 8.75$ à 3 s.f.

Mesures de l'arc - Points clés

Un arc est le bord d'un secteur de cercle, c'est-à-dire le bord délimité par deux points du cercle.
Lalongueur de l 'arc est la taille de l'arc, c'est-à-dire la distance entre les deux points de délimitation du cercle.
La mesure d'un arc est la taille de l'angle dont l'arc est sous-tendu.
Trouve la mesure de l'arc à partir du rayon et de la longueur de l'arc :
- S=r×θ
  Où
  - r est le rayon du cercle.
  - $θ$ est la mesure de l'arc en radians.
  - S est la longueur de l'arc.
Trouver la mesure de l'arc étant donné la circonférence et la longueur de l'arc :
- $\frac{θ}{360 °} = \frac{S}{c}$
  Où :
  - c est la circonférence du cercle.
  - $θ$ est la mesure de l'arc en degrés.
  - S est la longueur de l'arc.

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Questions fréquemment posées en Mesures d'arc

Qu'est-ce qu'une mesure d'arc en mathématiques ?

Une mesure d'arc est la longueur d'une portion de cercle, mesurée en degrés ou en radians.

Comment calculer la mesure d'un arc ?

Pour calculer la mesure d'un arc en degrés, utilisez la formule (angle/360) * 2πr où r est le rayon du cercle. En radians, c'est l'angle en radians * rayon.

Quelle est la différence entre une mesure d'arc et un angle ?

La mesure d'arc se réfère à la longueur de la portion de cercle, tandis que l'angle est l'ouverture en degrés ou radians entre deux rayons.

Qu'est-ce qu'un radian ?

Un radian est une mesure angulaire où la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle. Il y a 2π radians dans un cercle complet.

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