Fondamentaux de la Géométrie

Les points

Un point P(4,3) sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals

Lignes

Euclide a également défini ce qu'on appelle une ligne. Il l'a définie comme "une longueur sans largeur". En fait, il s'agit simplement d'un segment unidimensionnel d'une longueur finie. Il a supposé qu'une ligne pouvait être prolongée à l'infini dans l'une ou l'autre direction. C'est un domaine où la géométrie moderne diffère des principes fondamentaux d'Euclide, car aujourd'hui, nous appelons une ligne infiniment étendue simplement une ligne et la ligne d'Euclide de longueur finie un segment de ligne. Il s'agit d'une distinction importante qu'il faut garder à l'esprit par souci d'exactitude. Voyons la différence ci-dessous. Euclide a également défini ce qu'on appelle un rayon, qui, comme une ligne, est infiniment long, mais qui a un point de départ défini. On l'appelle aussi parfois demi-droite.

Une ligne sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals

Un segment de droite sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Original

Un rayon sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Original

Les avions

À bien des égards, un plan peut être considéré comme similaire à une ligne, mais en deux dimensions. Un plan est simplement une surface qui s'étend indéfiniment. Un plan peut exister dans des espaces à deux dimensions ainsi que dans des espaces à trois dimensions et plus.

Un plan sur un ensemble d'axes x-y-z, John Hannah - StudySmarter Originals

Les angles

Les angles ont été définis par Euclide comme "l'inclinaison de deux lignes droites". En termes plus simples, il s'agit de la distance de rotation entre deux lignes ou segments de ligne qui partagent un point, c'est-à-dire de combien il faudrait faire pivoter une ligne pour qu'elle s'aligne sur l'autre. Le point commun est appelé sommet de l'angle.

Deux segments de droite formant un angle aigu, A, John Hannah - StudySmarter Originals

Dimensions

Les dimensions sont un aspect important des principes fondamentaux de la géométrie, qui traite spécifiquement des dimensions spatiales. En mathématiques et en physique, les dimensions spatiales peuvent être définies comme le nombre minimum de coordonnées nécessaires pour décrire un point dans cet espace. Par exemple, une ligne a 1 dimension car un seul nombre est nécessaire pour spécifier un point sur cette ligne. De même, si tu veux spécifier un point sur un axe x-y, tu as besoin de deux coordonnées - une coordonnée x et une coordonnée y - et sur un ensemble d'axes tridimensionnels, tu as besoin d'une troisième coordonnée - la coordonnée z.

Un point dans un espace à 2 dimensions, John Hannah - StudySmarter Originals

Un point dans un espace à trois dimensions, John Hannah, StudySmarter Originals

Surface

La surface est une mesure qui décrit la taille d'une certaine région bidimensionnelle. Il existe plusieurs formules permettant de calculer la surface de certaines formes. Une bonne façon de visualiser la surface est de diviser un espace bidimensionnel en carrés. La surface de la forme est simplement égale au nombre de carrés qu'elle contient.

Représentation de la surface d'un triangle sur un ensemble d'axes x-y, John Hannah - StudySmarter Originals

Le volume

Tout comme la surface, le volume est une mesure qui quantifie la taille d'une certaine région de l'espace. Le volume, cependant, quantifie la taille d'une région dans un espace tridimensionnel . Toutes les formes tridimensionnelles ont un volume et, comme pour la surface, il existe de nombreuses formules utiles pour calculer le volume de différentes formes. Nous pouvons visualiser le volume de la même manière que la surface, mais au lieu d'utiliser des petits carrés, nous comptons le nombre de petits cubes à l'intérieur d'une forme. L'image ci-dessous représente un cube dans un espace tridimensionnel. Quelle est la place occupée par le cube ? Eh bien, en comptant, nous pouvons voir que le cube occupe l'espace de 64 petits cubes, chacun ayant un volume de 1 ^unité3.

Unités

Une partie importante des principes fondamentaux de la géométrie est l'utilisation de diverses unités. En géométrie, nous utilisons deux types d'unités de base : les unités de longueur et les unités d'angle.

Les unités de longueur

Il existe deux systèmes principaux d'unités de longueur. Il s'agit du système métrique et du système impérial . Le système métrique utilise des unités de centimètres, de mètres, de kilomètres, etc. tandis que le système impérial utilise des unités de pouces, de pieds, de verges, de miles, etc.

La longueur est une unité à une dimension, mais il existe des unités à deux dimensions (surface) et à trois dimensions (volume) qui sont composées de ces unités de longueur. La convention pour la dénomination de ces dimensions est indiquée dans le tableau ci-dessous.

Unités d'angles

Les degrés et les radians sont les deux principales unités de mesure des angles et il est très facile de rencontrer des problèmes si la distinction entre les deux n'est pas claire !

Tout d'abord, il est important de reconnaître que les degrés sont une unité de mesure arbitraire qui découle simplement de la rotation de la Terre. Les anciens qui observaient les constellations dans le ciel se déplacer selon un cycle annuel ont pensé que, puisqu'il y avait 360 jours dans une année (il y en a en réalité 365, mais ils s'en sont bien rapprochés !), il devait y avoir 360 degrés dans une rotation complète. Cette méthode s'est avérée simple et intuitive pour discuter des angles en tant qu'êtres humains. Après tout, nous ne sommes pas des ordinateurs et les nombres décimaux très proches les uns des autres peuvent parfois prêter à confusion.

Cependant, depuis que ces premiers savants se sont assis pour regarder les étoiles, nous avons découvert une autre façon, sans doute plus mathématique, de décrire les angles. Cette unité est connue sous le nom de radian.

Les radians, plutôt que d'être simplement liés à la "quantité de rotation", sont liés à la distance parcourue autour d'un arc. En réalité, les radians sont en fait la distance parcourue autour d'un arc divisée par la distance au point de pivot de cet arc. Si nous prenons l'équation reliant la circonférence d'un cercle à son rayon, nous pouvons trouver le nombre de radians dans une rotation complète de ^360o.

$C=2\mathrm{\pi r}$

$\frac{C}{r}=2\mathrm{\pi }$

Dans ^360o, il y a donc $2\mathrm{\pi }$ radians. À partir de là, nous pouvons voir que

Il est important, lorsque tu utilises une calculatrice, qu'elle soit réglée pour traiter tes angles en radians ou en degrés lorsqu'il s'agit de fonctions trigonométriques, afin d'obtenir la bonne réponse. Techniquement, toutes les fonctions mathématiques qui prennent des angles en entrée fonctionnent en radians.

Les principes fondamentaux de la géométrie euclidienne

Euclide a formulé cinq postulats fondamentaux lorsqu'il s'est penché sur la géométrie. Ces postulats étaient des principes fondamentaux de la géométrie qu'il considérait comme évidents et qui ont inspiré tous les autres principes et concepts de la géométrie par la suite.