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Formules trigonométriques

Les formules trigonométriques sont primordiales pour simplifier et modifier des expressions contenant les fonctions sinus, cosinus ou tangente. Ici, nous rappelons d'abord les formules de base en trigonométrie, avant d'expliciter certaines formules dûes à la parité et à la périodicité des fonctions trigonométriques. Par la suite, nous présentons des formules trigonométriques un poil plus avancées : la formule d'Euler et la formule de Moivre

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Les formules trigonométriques sont primordiales pour simplifier et modifier des expressions contenant les fonctions sinus, cosinus ou tangente. Ici, nous rappelons d'abord les formules de base en trigonométrie, avant d'expliciter certaines formules dûes à la parité et à la périodicité des fonctions trigonométriques. Par la suite, nous présentons des formules trigonométriques un poil plus avancées : la formule d'Euler et la formule de Moivre.

Trigonométrie : formules de base

Dans un premier temps, nous pouvons définir les rapports trigonométriques (sinus, cosinus et tangente) à partir d'un triangle rectangle.

Formules trigonométriques Triangle rectangle StudySmarter

Le sinus d'un angle, \( \theta \), est noté \(\sin (\theta) \) et \( \sin (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{hypot\acute{e}nuse} \)

Le cosinus du même angle, \(\cos (\theta) \) et vaut \( \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} {hypot\acute{e}nuse} \)

La tangente s'écrit \(\tan (\theta) \) et \( \tan (\theta) = \frac{c\hat{o}t\acute{e} \ oppos\acute{e}}{c\hat{o}t\acute{e} \ adjacent} \)

Par la suite, nous n'écrirons pas les parenthèses pour alléger la notation. Par exemple, nous écrirons \( \sin \theta \) au lieu de \(\sin( \theta ) \).

\(\theta\) est une lettre grècque qui est prononcée « thêta ». Nous utilisons souvent des lettres grècques pour représenter des angles.

Il est possible de prolonger les définitions de ces grandeurs à l'aide du cercle trigonométrique, créant ainsi des fonctions trigonométriques.

Une identité trigonométrique est une égalité qui est vérifiée par des fonctions trigonométriques pour toute valeur dans leur ensemble de définition.

Les trois fonctions trigonométriques de base sont reliées par l'identité trigonométrique suivante : \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\] Par la suite, nous écrirons \(\cos^2 \theta \) pour représenter \((\cos \theta)^2\), et non \( \cos( \cos \theta) \). Le sinus et le cosinus d'un angle disposent également d'une identité trigonométrique qui les relie : \[\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\] Cette formule trigonométrique peut se démontrer grâce au théorème de Pythagore. Nous disposons également de formules trigonométriques pour la somme d'angles, appelées formules d'addition.

  • \(\sin(x+y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x \)

  • \(\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)

  • \(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\)

En remplaçant \(y\) avec \(x\), nous pouvons en déduire les formules trigonométriques suivantes, qui sont appelés les formules de duplication. Ces formules sont très utiles pour l'intégration.

  • \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x \)

  • \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\)

  • \(\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}\)

Parité

La parité d'une fonction est si elle est paire ou impaire.

Une fonction \(f\) est paire si pour tout \(x\) dans son ensemble de définition, \(f(-x) = f(x)\).

Une fonction \(f\) est impaire si pour tout \(x\) dans son ensemble de définition, \(f(-x) = -f(x)\).

La fonction cosinus est paire. Ainsi, pour tout nombre réel \(x\), \(\cos(-x) = \cos x\). À l'opposition, les fonctions sinus et tangente sont impaires. Par conséquents, nous obtenons les formules trigonométriques suivantes : \(\sin(-x) = - \sin x\) et \(\tan(-x) = - \tan x\).

Les graphiques des fonctions cosinus et sinus sont les translatés l'un de l'autre. Cette propriété est mise sous forme algébrique par les formules trigonométriques suivantes : \( \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta \) et \(\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta\).

Nous allons démontrer la première formule en utilisant la formule d'addition et la parité. La démonstration de l'autre suit le même schéma.

\( \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) \)

\(= \sin(\frac{\pi}{2} + (- \theta))\)

\(= \sin (\frac{\pi}{2}) \cos (- \theta) + \sin (-\theta) \cos (\frac{\pi}{2}) \)

\(= 1 \times \cos \theta - \sin \theta \times 0 \)

\(= \cos \theta \)

Périodicité

La périodicité des fonctions trigonométriques nous permet de déduire certaines formules.

Une fonction \(f\) est dite périodique s'il existe un nombre réel \(T\), tel que \(f(x) = f(x+T)\), pour tout \(x\) dans son ensemble de définition. Le plus petit \(T\) positif est la période de \(f\). Nous pouvons également dire que \(f\) est T-périodique.

La période des fonctions cosinus et sinus est \(2 \pi\), alors que la période de la fonction tangente est \(\pi\). Nous pouvons donc affirmer, pour tout nombre entier \(k\), que :

  • \(\cos \theta = \cos(\theta + 2k \pi) \)

  • \(\sin \theta = \sin(\theta +2k \pi) \)

  • \(\tan \theta = \tan(\theta+ 2k \pi) \)

Simplifions \( \cos(\theta + 8 \pi) \).

\( \cos(\theta + 8 \pi) \)

\(= \cos(\theta + 4 \times 2 \pi) \)

\(= \cos \theta \)

Formule d'Euler

La formule d'Euler est une formule trigonométrique qui implique des nombres complexes. Son nom est dû au scientifique Leonhard Euler.

Un nombre complexe est un nombre de la forme \(a + bi\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et \(i\) est l'unité imaginaire. L'unité imaginaire est la « racine carrée de \(-1\) » et elle est définie par l'égalité suivante : \(i^2 = -1\).

Pour \( \theta\) réel, la formule d'Euler s'écrit alors : \[e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \]

Si nous remplaçons, \(\theta\) avec \(-\theta\) dans cette équation, nous obtenons \(e^{-i\theta} = \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \). Grâce aux parités des fonctions sinus et cosinus, nous pouvons simplifier : \(e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta \). En utilisant cette égalité et la formule d'Euler, nous obtenons les formules d'Euler (oui, c'est différent de LA formule d'Euler).

\[\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\]

\[\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\]

Les formules d'Euler peuvent être utilisées pour linéariser une expression trigonométrique, c'est-à-dire, de transformer une puissance plus élevée du sinus ou cosinus à une expression de puissance \(1\). Voyons comment le faire avec \(cos^3 \theta \).

D'après les formules d'Euler, \(\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\).

Ainsi, \(\cos^3 \theta = \frac{(e^{i\theta} + e^{-i\theta})^3}{(2)^3}\)

Simplifions le membre de droite.

\(\frac{(e^{i\theta} + e^{-i\theta})^3}{(2)^3}\)

\(= \frac{(e^{i\theta})^3 + 3(e^{i\theta})^2e^{-i\theta} + 3(e^{-i\theta})^2e^{i\theta} + (e^{-i\theta})^2}{8} \)

\(= \frac{e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}}{8} \)

Il faut maintenant remanier l'expression pour reconvertir les exponentielles en cosinus. Nous savons que \( e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta\) et \( e^{3i\theta} + e^{-3i\theta} = 2 \cos 3\theta\).

Donc, \( \frac{e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}}{8} = \frac {2 \cos 3 \theta + 6 \cos \theta}{8}\)

En simplifiant cette dernière fraction, nous obtenons que \(\cos^3 \theta = \frac {1}{4} \cos 3 \theta + \frac{3}{4} \cos \theta\)

Formule de Moivre

Nous pouvons obtenir certaines formules trigonométriques à l'aide de la formule de Moivre (ou formule de de Moivre). Son nom est dû au mathématicien Abraham de Moivre et cette formule s'écrit : \[(\cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta \] Ici, \( \theta \) et un réel et \(n\) un nombre entier. En particulier, nous pouvons exploiter les parties réelle et imaginaire des nombres complexes pour appliquer la formule de Moivre.

Soit \(z\) un nombre complexe tel que \(z = a + bi\). Nous notons \( \mathfrak{Re}(z) \) la partie réelle de \(z\) et \( \mathfrak{Re}(z) = a\). De facon analogue, \( \mathfrak{Im}(z) \) est sa partie imaginaire et \( \mathfrak{Im}(z) = b\).

Démontrons que \( \cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \).

Par la formule de Moivre, \( (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta \)

Si nous développons le membre de gauche, nous obtenons :

\((\cos \theta + i \sin \theta)^3 \)

\(= \cos^3 \theta + 3i \cos^2 \theta \sin \theta - 3\cos \theta \sin ^2 \theta - i \sin^3 \theta \)

\(= \cos^3 \theta - 3\cos \theta \sin ^2 \theta + 3i \cos^2 \theta \sin \theta - i \sin^3 \theta \)

Comme \( (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta \), les parties réelles de deux membres sont égales.

Ainsi, \( \cos^3 \theta - 3\cos \theta \sin ^2 \theta = \cos 3 \theta\), et on est presque là.

\(\cos 3 \theta\)

\(= \cos^3 \theta - 3\cos \theta \sin ^2 \theta\)

\(= \cos^3 \theta - 3\cos \theta (1 - cos^2 \theta)\)

\(= 4 \cos^3 \theta - 3\cos \theta\)

Formules trigonométriques - Points clés

  • Il y a certaines formules trigonométriques de base qui t'aideront à simplifier la plupart d'expressions contenant des fonctions trigonométriques. Nous pouvons dériver la plupart avec les quatre suivantes :
    • \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) ;
    • \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\) ;
    • \(\sin(x+y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x \) ;
    • \(\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \).
  • Nous pouvons exploiter la parité des fonctions trigonométriques pour obtenir quelques formules utiles :
    • \(\cos(-x) = \cos x\) ;
    • \(\sin(-x) = - \sin x\).
  • Nous pouvons également déduire certaines formules trigonométriques de leur périodicité :
    • \(\cos \theta = \cos(\theta + 2k \pi) \) ;
    • \(\sin \theta = \sin(\theta +2k \pi) \) ;
    • \(\tan \theta = \tan(\theta+ k \pi) \).
  • Il y aussi des formules trigonométriques utiles où les nombres complexes apparaissent, la formule d'Euler, \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \), et la formule de Moivre, \( (\cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta \).

Questions fréquemment posées en Formules trigonométriques

Il y a beaucoup de formules trigonométriques. Les principales sont tan x = sin x/cos x et sin2x + cos2x = 1

L'acronyme SOHCAHTOA est souvent utilisé pour retenir les formules pour le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle : 

  • Sinus = Opposé/Hypoténuse ;
  • Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ;
  • Tangente = Opposé/Adjacent.

Nous pouvons calculer les rapports trigonométriques de cette façon :


Sinus = Opposé/Hypoténuse ;

Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ;

Tangente = Opposé/Adjacent.

Nous pouvons convertir le cosinus d'un angle au sinus grâce à cette formule : cos(x) = sin(pi/2 - x)

Le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle se calcule en divisant le côté adjacent par l'hypoténuse. 

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Est-il vrai que \(\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}\) ?

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