Aire des polygones réguliers

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?

Un polygone régulier est un type de polygone dans lequel tous les côtés sont égaux entre eux et tous les angles sont également égaux. De plus, la mesure de tous les angles intérieurs et extérieurs est égale, respectivement.

Les polygones réguliers comprennent les triangles équilatéraux (3 côtés), les carrés (4 côtés), les pentagones réguliers (5 côtés), les hexagones réguliers (6 côtés), etc.

Polygones réguliers, StudySmarter Originals

Note que si le polygone n'est pas régulier (c'est-à-dire qu'il n'a pas des longueurs de côtés et des angles égaux), on peut alors l'appeler polygone irrégulier. Par exemple, un rectangle ou un quadrilatère peut être appelé polygone irrégulier.

Propriétés et éléments d'un polygone régulier

Considérons d'abord les propriétés et les éléments d'un polygone régulier avant d'entamer la discussion sur son aire.

Tout polygone régulier a différentes parties comme un rayon, un apothème, un côté, un cercle intérieur, un cercle extérieur et un centre. Discutons du concept d'apothème.

Apothème du polygone régulier, StudySmarter Originals

L'apothème est la ligne qui va du centre à un côté et qui est perpendiculaire à ce côté ; elle est désignée par la lettre a.

Pour trouver l'apothème du polygone, nous devons d'abord trouver son centre. Pour un polygone ayant un nombre pair de côtés, cela peut se faire en traçant au moins deux lignes entre des coins opposés et en regardant où elles se croisent. L'intersection sera le centre. Si le polygone a un nombre impair de côtés, tu devras plutôt tracer des lignes entre un coin et le milieu du côté opposé.

Diagonales et centre d'un polygone régulier, StudySmarter Originals

Les propriétés d'un polygone régulier sont les suivantes :

• Tous les côtés d'un polygone régulier sont égaux.
• Tous les angles intérieurs et extérieurs sont respectivement égaux.
• Chaque angle d'un polygone régulier est égal à $\frac{\left(n-2\right)\times 180°}{n}.$
• Le polygone régulier existe pour 3 côtés ou plus.

Formule pour l'aire des polygones réguliers

Tu sais maintenant tout ce dont tu as besoin pour utiliser la formule permettant de trouver l'aire d'un polygone régulier. La formule pour trouver l'aire d'un polygone régulier est la suivante :

$Area=\frac{a\times p}{2}$

où a est l'apothème et p le périmètre. Le périmètre d'un polygone régulier peut être trouvé en multipliant la longueur d'un côté par le nombre total de côtés.

Dérivation de la formule de l'aire à l'aide d'un triangle rectangle

Jetons un coup d'œil à la dérivation de cette formule afin de comprendre d'où elle vient. Nous pouvons dériver la formule de l'aire des polygones réguliers en utilisant un triangle rectangle pour construire n triangles de taille égale dans un polygone de n côtés. Ensuite, nous pouvons additionner toutes les surfaces des triangles individuels pour trouver la surface du polygone entier. Par exemple, un carré a quatre côtés et peut donc être divisé en quatre triangles, comme indiqué ci-dessous.

Division d'un carré en quatre parties égales, StudySmarter Originals

Ici, x est la longueur d'un côté et a est l'apothème. Tu te souviens peut-être que la surface d'un triangle est égale à $\frac{b\times h}{2}$où b est la base du triangle et h la hauteur.

Dans ce cas,

Ainsi, la surface d'un triangle à l'intérieur du carré peut être exprimée comme suit :

$\frac{a\times x}{2}$

Comme il y a quatre triangles, nous devons multiplier ce résultat par quatre pour obtenir la surface totale du carré. Cela donne :

$\Rightarrow 4\times \frac{a\times x}{2}=\frac{a\times 4x}{2}$

Considère le terme 4x. Tu as peut-être déjà remarqué que le périmètre du carré est la somme de ses quatre côtés, égale à $4x$. Nous pouvons donc substituer$p=4x$ dans notre équation pour obtenir la formule générale de l'aire d'un polygone régulier :

$Area=\frac{a\times p}{2}$

Trouver l'aire des polygones réguliers à l'aide de la trigonométrie.

La longueur de l'apothème ou le périmètre ne sont pas toujours indiqués dans une question sur les polygones réguliers. Cependant, dans de tels cas, nous pouvons utiliser nos connaissances en trigonométrie pour déterminer l'information manquante si nous connaissons la longueur du côté et la taille de l'angle. Voyons comment la trigonométrie se rapporte aux polygones réguliers à l'aide de l'exemple de scénario suivant.

On nous donne un polygone régulier à n côtés, de rayon r et de longueur de côté x.

Polygone régulier à n(=5) côtés, StudySmarter Originals

Nous savons que l'angle $\theta$ sera $\frac{360°}{n}.$ Considérons une section du polygone, comme le montre la figure ci-dessous. Dans cette section, nous traçons un apothème à partir du centre, en le divisant en deux triangles droits.

Une partie du polygone régulier, StudySmarter Originals

Nous savons que $\angle BAC$ est $\theta ,$ alors $\angle BAD\&\angle DAC$ sera $\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$respectivement, puisque l'apothème est la bissectrice perpendiculaire au centre. Maintenant, en calculant l'aire de l'un des triangles rectangles, nous pouvons trouver l'aire du polygone régulier. Par conséquent, l'aire du triangle rectangle est :

$Area=\frac{1}{2}\times a\times \left(\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)$

où, $a=r\cos \left(\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right),\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.=r\sin \left(\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right).$

L'aire de la section du polygone est le double de l'aire du triangle rectangle.

$$\begin{gathered} \Rightarrow Areaofonepartofpolygon=2\times areaofrighttriangle \\ =a\times \left(\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right) \end{gathered}$$

Maintenant, si l'on considère toutes les sections du polygone, l'aire du polygone entier est n fois l'aire d'une section.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathit{A}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{a}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{f}\mathbf{}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{g}\mathit{u}\mathit{l}\mathit{a}\mathit{r}\mathbf{}\mathit{p}\mathit{o}\mathit{l}\mathit{y}\mathit{g}\mathit{o}\mathit{n}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathit{n}\mathbf{\times }\mathit{a}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{a}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{f}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{n}\mathit{e}\mathbf{}\mathit{p}\mathit{a}\mathit{r}\mathit{t}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{f}\mathbf{}\mathit{p}\mathit{o}\mathit{l}\mathit{y}\mathit{g}\mathit{o}\mathit{n} \\ \mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathit{n}\mathbf{\times }\left(a\times \left(\raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)\right) \end{gathered}$$

Exemples et problèmes concernant l'aire des polygones réguliers

Voyons quelques exemples et problèmes résolus traitant de l'aire des polygones réguliers.