Altitude

Qu'est-ce que l'altitude ?

L'altitude est mesurée comme la distance entre le sommet et la base, c'est pourquoi on l'appelle aussi la hauteur d' un triangle. Chaque triangle a trois altitudes, et ces altitudes peuvent se trouver à l'extérieur, à l'intérieur ou sur le côté d'un triangle. Voyons à quoi cela peut ressembler.

Altitudes avec différentes positions, ck12.org

Propriétés d'une altitude

Voici quelques-unes des propriétés de l'altitude :

• Une altitude forme un angle de $90°$sur le côté opposé au sommet.
• L'emplacement de l'altitude change en fonction du type de triangle.
• Comme le triangle a trois sommets, il a trois altitudes.
• Le point d'intersection de ces trois altitudes s'appelle l'orthocentre du triangle.

Formule d'altitude pour différents triangles

Il existe différentes formes de formules d'altitude en fonction du type de triangle. Nous examinerons la formule d'altitude pour les triangles en général ainsi que pour les triangles scalènes, les triangles isocèles, les triangles droits et les triangles équilatéraux, et nous discuterons brièvement de la façon dont ces formules sont dérivées.

Formule générale de l'altitude

Comme l'altitude est utilisée pour trouver la surface d'un triangle, nous pouvons dériver la formule à partir de la surface elle-même.

Surface d'un triangle$=\frac{1}{2}\times b\times h$où b est la base du triangle et h est la hauteur/altitude. Nous pouvons donc en déduire la hauteur d'un triangle comme suit :

$$\begin{gathered} Area=\frac{1}{2}\times b\times h \\ \Rightarrow 2\times Area=b\times h \\ \Rightarrow \frac{2\times Area}{b}=h \end{gathered}$$

Altitude (h)$\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{A}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{a}\mathbf{)}\mathbf{/}\mathit{b}$

Formule d'altitude pour le triangle scalène

Le triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes est appelé triangle scalène. Ici, la formule de Heron est utilisée pour calculer l'altitude.

Altitude du triangle scalène, StudySmarter Originals

Aire d'un triangle$∆ABC$(par la formule de Heron)$=\sqrt{s\left(s-x\right)\left(s-y\right)\left(s-z\right)}$

Ici, s est le demi-périmètre du triangle (c'est-à-dire, $s=\frac{\left(x+y+z\right)}{2}$) et x, y, z sont les longueurs des côtés.

En utilisant la formule générale de l'aire et en la mettant en équation avec la formule de Heron, nous pouvons obtenir l'altitude,

L'aire$=\frac{1}{2}\times b\times h$

$\Rightarrow \sqrt{s\left(s-x\right)\left(s-y\left(s-z\right)\right)}=\frac{1}{2}\times b\times h$

Donc, l'altitude d'un triangle scalène: $\mathit{h}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\left(}\sqrt{\mathbf{s}\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{z}\mathbf{)}}\mathbf{\right)}}{\mathbf{b}}\mathbf{.}$

Formule d'altitude pour un triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux. L'altitude d'un triangle isocèle est la bissectrice perpendiculaire de ce triangle avec son côté opposé. Nous pouvons dériver sa formule en utilisant les propriétés du triangle isocèle et le théorème de Pythagore.

Altitude dans un triangle isocèle, StudySmarter Originals

Comme le triangle$∆ABC$ est un triangle isocèle, les côtés $AB=AC$de longueur x. Nous utilisons ici l'une des propriétés d'un triangle isocèle, qui stipule que l'altitude divise le côté de la base en deux parties égales.

$\Rightarrow \frac{1}{2}BC=DC=BD$

En appliquant le théorème de Pythagore sur$∆ABD$ nous obtenons :

$$\begin{gathered} A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2 \\ \Rightarrow A{B}^2=A{D}^2+{\left(\frac{1}{2}BC\right)}^2 \\ \Rightarrow A{D}^2=\hspace{0.17em}A{B}^2-{\left(\frac{1}{2}BC\right)}^2 \end{gathered}$$

En substituant toutes les valeurs du côté donné, on obtient :

$$\begin{gathered} \Rightarrow h^2=x^2-\frac{1}{4}{y}^2 \\ \therefore h=\sqrt{{\mathrm{x}}^2-\frac{1}{4}{\mathrm{y}}^2} \end{gathered}$$

Par conséquent, l'altitude du triangle isocèle est la suivante$\mathit{h}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{}\mathbf{-}\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}$où x est la longueur des côtés, y est la base et h est l'altitude.

Formule d'altitude pour un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est égal à$90°$L'altitude entre l'un des sommets et l'hypoténuse peut être expliquée à l'aide d'un énoncé important appelé le théorème d'altitude du triangle droit. Ce théorème donne la formule d'altitude pour le triangle droit.

Altitude du triangle droit, StudySmarter Originals

Commençons par comprendre ce théorème.

Théorème de l'altitude du triangle droit : L'altitude entre le sommet de l'angle droit et l'hypoténuse est égale à la moyenne géométrique des deux segments de l'hypoténuse.

Preuve: D'après la figure donnée, AC est l'altitude du triangle rectangle. $△ABD$. En utilisant le théorème de similitude des triangles droits, nous obtenons que deux triangles $△ACD$ et $△ACB$ sont semblables.

$∆ACD~∆ACB.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{DC}{AC}=\frac{AC}{CB} \\ \Rightarrow A{C}^2=\hspace{0.17em}DC\times CB \\ \Rightarrow h^2=xy \\ \therefore h=\sqrt{xy} \end{gathered}$$

Par conséquent, à partir du théorème ci-dessus, nous pouvons obtenir la formule de l'altitude.

Altitude d'un triangle rectangle$\mathit{h}\mathbf{}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}\mathbf{y}}$, où x et y sont les longueurs de chaque côté de l'altitude qui constituent ensemble l'hypoténuse.

Note: Nous ne pouvons pas utiliser le théorème de Pythagore pour calculer l'altitude du triangle rectangle car les informations fournies ne sont pas suffisantes. Nous utilisons donc le théorème d'altitude du triangle droit pour trouver l'altitude.

Formule d'altitude pour le triangle équilatéral

Le triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés et les angles sont respectivement égaux. Nous pouvons dériver la formule de l'altitude en utilisant soit la formule de Héron, soit la formule de Pythagore. L'altitude d'un triangle équilatéral est également considérée comme une médiane.

Altitude du triangle équilatéral, StudySmarter Originals

Surface d'un triangle$∆ABC$(par la formule de Heron)$=\sqrt{s\left(s-x\right)\left(s-y\right)\left(s-z\right)}$

Et nous savons également que la surface d'un triangle $=\frac{1}{2}\times b\times h$

Donc, en utilisant les deux équations ci-dessus, nous obtenons :

$h=\frac{2\left(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\right)}{base}$

Le périmètre d'un triangle équilatéral est de 3x. Donc le semi-périmètre $s=\frac{3x}{2}$et tous les côtés sont égaux.

$$\begin{gathered} h=\frac{2\sqrt{\frac{3x}{2}\left(\frac{3x}{2}-x\right)\left(\frac{3x}{2}-x\right)\left(\frac{3x}{2}-x\right)}}{x} \\ =\frac{2\sqrt{\left(\frac{3x}{2}\right)\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{x}{2}\right)}}{x} \\ =\frac{2}{x}\times x^2\frac{\sqrt{3}}{4} \\ =\frac{\sqrt{3}x}{2} \end{gathered}$$

Altitude d'un triangle équilatéral :$\mathit{h}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{\hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}$, où h est l'altitude et x la longueur des trois côtés égaux.

Concurrence des altitudes

Nous avons discuté dans les propriétés de l'altitude du fait que les trois altitudes d'un triangle se croisent en un point appelé orthocentre. Comprenons les concepts de concomitance et de position de l'orthocentre dans différents triangles.

Nous pouvons calculer les coordonnées de l'orthocentre à l'aide des coordonnées des sommets du triangle.

Position de l'orthocentre dans un triangle

La position de l'orthocentre peut varier en fonction du type de triangle et des altitudes.

Triangle aigu

Dans un triangle aigu, l'orthocentre se trouve à l'intérieur du triangle.

Orthocentre d'un triangle aigu, StudySmarter Originals

Triangle droit

L'orthocentre du triangle droit se trouve sur le sommet de l'angle droit.

Triangle droit Orthocentre, StudySmarter Originals

Triangle obtus

Dans un triangle obtus, l'orthocentre se trouve à l'extérieur du triangle.

Triangle obtus Orthocentre, StudySmarter Originals

Applications de l'altitude

Voici quelques applications de l'altitude dans un triangle :

1. La première application de l'altitude consiste à déterminer l'orthocentre de ce triangle.
2. L'altitude peut également être utilisée pour calculer l'aire d'un triangle.