Mathématiques Mécaniques

Qu'est-ce que la cinématique ?

Lacinématique traite du déplacement, du temps, de la vitesse et de l'accélération sans tenir compte des forces qui font bouger les objets.

Un exemple simple est l'étude d'une voiture en mouvement. Nous pouvons observer le temps, le déplacement, la vitesse et l'accélération.

Une voiture en mouvement aura un certain déplacement. L'enregistrement de deux moments différents lors d'un déplacement introduit la notion de temps. Lorsque nous combinons les deux, le déplacement en fonction du temps, nous obtenons la vitesse. Si la voiture ne se déplace pas à une vitesse constante, le concept d'accélération (le changement de vitesse) entre en jeu.

Qu'est-ce que la dynamique ?

Ladynamique est le domaine de la mécanique qui étudie les forces qui causent ou modifient le mouvement d'un objet. La dynamique se divise en dynamique linéaire et dynamique de rotation. La première étudie un objet qui se déplace de façon linéaire, et la seconde étudie les objets qui tournent autour d'un centre fixe, comme une chaise dans un carrousel.

La dynamique utilise des concepts tels que les forces, la masse de l'objet en mouvement, son élan (défini comme la vitesse multipliée par la masse de l'objet) et l'énergie.

L'ingénierie te demande d'appliquer les principes de la mécanique du point de vue de la cinématique ou de la dynamique. Les applications multiples vont de la conception d'avions, de ponts, de voitures et de bâtiments au développement de fusées pour l'exploration spatiale.

Quantités, unités et hypothèses en mécanique

L'étude de la mécanique est liée aux quantités, qui sont les propriétés que tu peux mesurer d'un objet. Dans le cas d'un objet en mouvement, les propriétés les plus importantes sont la distance parcourue par l'objet, le temps qu'il met à parcourir cette distance, la vitesse qu'il a, la façon dont la vitesse change et les forces qui affectent l'objet.

Les quantités à mesurer utilisent des unités. Les unités sont des normes utilisées pour chaque propriété que nous mesurons. La mécanique utilise spécifiquement les unités pour la vitesse (mètres par seconde ou m / s) et les forces (Newtons), entre autres.

Un autre aspect important lorsqu'on aborde la mécanique est la simplification des systèmes analysés. Ces Hypothèses te permettent d'étudier la mécanique en réduisant sa complexité.

Quantités physiques et unités

Pour essayer de comprendre quelles sont les lois qui régissent des systèmes spécifiques, nous devrons quantifier les éléments physiques qui vont intervenir dans le système.

Tout ce que nous pouvons mesurer est connu sous le nom de quantité physique. Par exemple, si je dis que je pèse 80 kg ou que la règle mesure 30 cm, tu peux supposer que 80 kg est ma masse et que 30 cm est la longueur de la règle. Toute quantité physique doit avoir deux choses :

• magnitude

• unités

Par exemple, si tu dis 20 kg de sel, 20 est la valeur numérique du sel que tu as. Ce n'est pas suffisant pour conclure à la quantité de sel que tu as, jusqu'à ce que l'unité kg soit ajoutée. Le kilogramme, ou kg, est une unité SI - une norme internationale.

Les unités sont nécessaires pour spécifier la quantité spécifique de quelle propriété de la substance que nous mesurons.

hypothèses

Appliquer les mathématiques à des événements de la vie réelle peut être compliqué. Il y a tellement de variables qu'il peut être difficile de savoir par où commencer. Tu commences par rendre le problème aussi simple que possible.

Il y a certaines choses que tu peux ignorer, notamment :

• La résistance de l'air.

• le frottement

• La dissipation de l'énergie.

• la répartition de la masse.

Il est utile de connaître certains mots clés utilisés pour ces hypothèses. Par exemple, "surface lisse" signifie qu'il n'y a pas de frottement sur la surface, ou si une particule a une ' masse négligeable', cela signifie que tu peux supposer que son poids est nul.

L'accélération en cinématique

Rappelle-toi que la cinématique est un domaine d'étude qui se concentre sur le mouvement des objets, sans tenir compte des forces qui provoquent les mouvements. Cette partie de la mécanique explore le concept de mouvement et sa relation avec le temps, la vitesse et l'accélération. Les mouvements des objets en cinématique peuvent avoir une accélération constante ou une accélération variable.

Equations de l'accélération constante et du SUVAT

L'accélération constante peut également être appelée équations unidimensionnelles du mouvement pour l'accélération constante. Cette méthode utilise les équations SUVAT pour trouver les valeurs de n'importe quelle variable. SUVAT est l'acronyme des variables à étudier. Il s'agit de :

s, déplacement en mètres [m].

u, vitesse initiale en mètres par seconde [m / s].

v, vitesse finale en mètres sur secondes [m/s].

a, accélération en mètres sur secondes au carré [m / s ² ] .

t, temps en secondes [s].

Accélération variable

Contrairement à l'accélération constante, l'accélération variable explore principalement le mouvement des objets dont l'accélération ne cesse de changer. Une accélération variable signifie une vitesse variable.

En mathématiques, les formulations trouvées pour modéliser le mouvement d'un objet sont liées à un domaine d'étude mathématique - la différenciation.

Un exemple typique consiste à utiliser la formulation classique du SUVAT pour calculer l'accélération à partir du déplacement. La première dérivation du déplacement te donnera la vitesse, et si tu dérives la vitesse, tu obtiendras l'accélération.

Si on te donne la formulation SUVAT pour l'accélération et que tu veux trouver le déplacement, tu appliques l'opération inverse appelée Intégration. L'intégration de l'accélération te donnera la vitesse, et si tu intègres la vitesse, tu obtiendras le déplacement. Voici les équations :

Projectiles et mouvement parabolique

Les projectiles et le mouvement parabolique traitent des objets projetés dans l'air, décrivant une parabole au cours de leur mouvement. Un exemple est le lancer d'une balle.

Cette partie de la cinématique fait appel à des concepts mathématiques tels que la trigonométrie en raison des angles impliqués dans les mouvements des objets.

Figure 1.- Mouvement parabolique d'une balle, montrant les composantes de la vitesse Vy et Vx

Forces et lois de Newton

La force peut modifier le mouvement d'un objet. Une façon simple de décrire la force est de dire qu'elle exerce une traction ou une poussée sur un objet. Les lois du mouvement de Newton et leurs expressions mathématiques sont au cœur de la façon dont nous décrivons les forces au quotidien.

Ces lois couvrent trois idées importantes : la réciprocité des forces, les forces qui modifient l'état de mouvement d'un objet et la relation entre la masse, l'accélération et la force.

Un autre aspect important de l'étude des forces est la façon dont nous les utilisons pour déplacer des objets et les mécanismes que tu peux créer pour les produire ou les affecter. Deux exemples de ces mécanismes sont les poulies et les moments produits par une barre.

Les forces peuvent également être présentes lorsqu'un objet ne bouge pas ; un exemple est la force de gravité qui s'exerce sur toi lorsque tu restes debout. L'étude des forces lorsqu'un objet ne bouge pas ( en équilibre ) ou ne change pas de mouvement s'appelle la statique.

Les lois de Newton

Newton a élaboré trois lois spécifiques pour décrire le mouvement d'un objet.

• La première loi de Newton sur le mouvement stipule qu'un objet continue d'être au repos ou en mouvement à une vitesse constante le long d'une ligne droite, à moins qu'une force agissant sur l'objet ne change cette situation.

Une balle roulera indéfiniment si rien ne l'empêche de bouger. Dans ce cas, le frottement contre l'air et le sol la fera s'arrêter.

• La deuxième loi de Newton sur le mouvement stipule que le taux de variation temporelle de l'élan d'un corps est égal à la fois en magnitude et en direction à la force qui lui est imposée. Elle peut être modélisée par une équation comme suit :

$f=m·a$

Où f est la force en Newtons, m est la masse en kg, et a est l'accélération en m / s ².

• La troisième loi de Newton sur le mouvement est également appelée loi des forces d'action et de réaction. Elle stipule que lorsqu'un corps exerce une force sur un autre, l'autre corps exercera une force égale en magnitude et opposée en direction.

Par exemple, si tu pousses contre un mur dur, tu sentiras une poussée dans l'autre sens.

Les poulies

Une poulie comprend une roue et un axe fixe, avec une rainure sur les bords pour guider une corde ou un câble. Il n'est pas facile de soulever des objets lourds, c'est donc là qu'interviennent les Poulies. Mets deux ou plusieurs roues ensemble et fais passer une roue autour d'elles, et voilà une excellente machine de levage. Plus tu ajoutes de poulies à ta machine, plus tu as d'avantages mécaniques pour soulever facilement une charge.

statique

La statique traite des objets au repos et de ceux qui se déplacent à vitesse constante. Dans cet objet, les forces sont en équilibre, de sorte que son mouvement ne subit aucun changement. Les forces qui s'exercent sur un bâtiment en sont un exemple. La structure du bâtiment est affectée par la gravité qui l'attire vers le bas, la force est répartie le long du bâtiment et la structure réagit pour créer un équilibre.

friction

Le frottement est la force qui s'oppose au roulement et au glissement d'un objet sur une surface. Le frottement est une force dissipative, ce qui signifie qu'il peut diminuer la vitesse des objets en mouvement.

Moments

Un moment est une force que tu appliques à quelque chose multipliée par la distance entre le pivot et la force.

Lorsqu'une force n'est pas suffisante pour faire tourner quelque chose, tu auras aussi besoin d'un pivot. Les pivots et les forces ont une relation particulière - si tu pousses avec la même force plus loin du pivot, tu peux faire tourner l'objet plus facilement grâce à un moment plus important.

moment = force $\times$ distance

Dans un moment, la distance est la distance perpendiculaire au point où tu appliques la force.