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La résolution des forces consiste à trouver deux ou plusieurs forces qui, une fois combinées, produiront une force ayant la même ampleur et la même direction que l'originale.
Lesvecteurs peuvent avoir deux parties lorsqu'ils sont dirigés à un angle par rapport à l'axe des coordonnées habituelles. Chacune d'entre elles est dirigée le long de l'un des axes, soit horizontalement, soit verticalement. Le processus de décomposition d'une force en ses composantes de coordonnées cartésiennes est une tâche courante lors de la résolution de problèmes de statique.
Si une force tire une particule vers le haut et vers la droite, cette force unique pourrait être résolue en deux composantes distinctes. L'une dirigée vers le haut (composantes verticales), et l'autre dirigée vers la droite (composante horizontale). Ce processus peut être réalisé à l'aide de fonctions trigonométriques.
Supposons que la force exercée sur la particule est de 60N et qu'elle se trouve à un angle de 40 degrés au-dessus de l'horizontale. Nous pouvons modéliser cela dans la figure ci-dessous pour aider à résoudre notre force en deux composants significatifs.
Exemple de résolution des forces
Réponse :
Avec cet exemple, nous allons devoir faire des projections sur notre figure pour compléter le triangle rectangle. À partir de là, nous verrons quels côtés des triangles nous trouverons - les côtés des triangles égaux à la composante horizontale ou à la composante verticale de la force.
Projection de la résolution des forces
Soit la composante horizontale
Et la composante verticale berole="math" style="max-width : none ;">
Résous la composante horizontale :
\(\cos 40^\circ = \frac{F_1}{60N}\)
\N(F_1 = 60 N \space \Ncos 40^\circ = 45.9 N\N)
Résolution de la composante verticale :
\(\sin 40^\circ = \frac{F_2}{60 N}\)
\N(F_2 = 60 N \N espace \Nsin 40^\circ = 38.6 N\N)
Résoudre les forces concurrentes en équilibre
Lorsque des forces sont appliquées à un corps de telle sorte que leurs lignes d'action se rejoignent en un point, elles sont considérées comme des forces concourantes. Le résultat de ces forces sur un corps peut également être trouvé à l'aide de fonctions trigonométriques.
Étant donné que la particule ci-dessous est en équilibre, trouve la valeur de A et de B.
Résolution des forces agissant sur une particule en équilibre.
Réponse :
Complète d'abord les deux triangles rectangles opposés aux angles de 45º (illustrés ci-dessous).
Résolution des forces agissant sur une particule en équilibre
D'après la trigonométrie, le triangle dont le côté 2AN est une hypoténuse, 2Asin45° N est le côté opposé à l'angle, et 2Acos45° N est le côté adjacent à l'angle. Dans le deuxième triangle, AN est l'hypoténuse, Asin45° N est le côté opposé à l'angle, et Acos45° N est le côté adjacent à l'angle.
Toutes les forces seront résolues en leurs composantes horizontales et verticales séparément. Commençons par résoudre toutes les forces du diagramme verticalement. Toutes les valeurs des forces qui agissent vers le haut sont considérées comme des valeurs positives, et celles qui agissent vers le bas sont considérées comme des valeurs négatives, puisqu'il s'agit de vecteurs.
La somme des forces ascendantes et descendantes en équilibre est égale à zéro.
2Asin45° N - Asin45° N - 50N = 0
Asin 45° N-50N = 0
Asin 45° N = 50N
\(A = \frac{50 N}{\sin 45^\circ} = 50 \sqrt{2} N\)
Maintenant, nous allons résoudre horizontalement pour trouver la valeur de B.
Toutes les valeurs des forces qui agissent vers la droite sont considérées comme positives, et celles qui agissent vers la gauche sont considérées comme négatives.
La somme de toutes les forces à gauche et à droite est égale à zéro en équilibre.
2Acos45° N + Acos45° N - B = 0
3Acos45° N = B
Nous allons maintenant substituer A à l'équation.
\(3 \cdot 50 \sqrt{2} \cos 45 ^\circ N = B = 150 N\)
Résoudre les forces dans une poutrelle
Une ferme est un plan qui tire parti de la stabilité géométrique inhérente aux triangles pour répartir le poids de façon harmonieuse et pour gérer les compressions et les tensions changeantes. Elles constituent un système de soutien pour les structures qui se composent d'une bande de triangles pour répartir la pression et la tension de manière uniforme. Un toit est un très bon exemple de ferme.
Il y a plusieurs étapes pour trouver les forces dans une ferme. Prenons un exemple :
Pour analyser la poutrelle suivante, tu dois la décomposer.
PoutrelleRéponse :
Étape 1. Crée un diagramme de corps libre de l'ensemble de la poutrelle qui doit inclure toutes les forces. Ignore les triangles individuels et indique toutes les distances et les triangles connus.
Le diagramme des corps libres d'une poutrelle
Étape 2. Nous allons choisir le pivot avec le plus d'inconnues et additionner tous les moments autour de lui. Dans ce cas, nous choisirons le point A, et la formule sera \(\sum M = 0\). Les trois moments autour du pivot A sont :
- Force de réaction à B causant un moment dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Force de 500 lb appliquée, provoquant un moment dans le sens des aiguilles d'une montre.
- Force de 150 lb appliquée, provoquant un moment dans le sens des aiguilles d'une montre
Moment = Force x Distance perpendiculaire
\N((RB_y \N 4 ft) - (500 lbs \N 2 ft) - (150 lbs \N 2 ft) = 0\N)
\(RB_y = 325 lbs)
Moments autour du pivot A dans un treillis
Étape 3. Fais la somme de toutes les forces dans la direction x et égalise-la à 0.
\(\sum F_x = 0\)
\N(RA_x + 150 lbs = 0\N)
\N(RA_x = -150 lbs\N)
Résolution de la poutrelle pour trouver la composante x
Étape 4. Fais la somme de toutes les forces dans la direction y et égalise-la à 0.
\(Somme F_y = 0)
\N(RA_y + RB_y -500 lbs = 0\N)
Nous avons déjà trouvé \(RB_y = 325 lbs\), nous allons donc le substituer dans l'équation.
\N(RA_y = 175 lbs\N)
Résolution de la poutrelle pour trouver la composante y
Étape 5. Nous allons utiliser la méthode des articulations pour résoudre la tension et la compression pour chaque membre puisque nous savons maintenant quelles sont les trois forces de réaction. Maintenant, crée un diagramme de corps libre pour chaque articulation et étiquette chaque membre des deux points d'extrémité :
Diagramme de corps libre d'une articulation dans une poutrelle.
Étape 6. Nous allons maintenant utiliser les fonctions trigonométriques pour résoudre les vecteurs diagonaux en composantes x et y.
\(BD_y = (0.894)BD\)
\N(BD_x = (0.448) BD\N)
résoudre les forces dans une articulation d'un treillis
Étape 7. Fais la somme de toutes les forces dans la direction y et égalise-la à 0.
\(\sum F_y = 0\)
\N(0.894)BD + 325 lbs = 0\N)
\N(BD = -363.5 lbs\N)
Étape 8. Fais la somme de toutes les forces dans la direction x et égalise-la à 0.
\(Somme F_x = 0)
\(BC - 0.448 \cdot BD = 0\)
\N(BC = 162.9 lbs\N)
Étape 9. Tu peux maintenant répéter les étapes 5 à 8 pour chaque articulation.
Résoudre les forces - Principaux points à retenir
- Une force unique peut être décomposée en forces composantes perpendiculaires les unes aux autres.
- La résolution des forces consiste à trouver deux ou plusieurs forces qui, une fois combinées, produiront une force ayant la même ampleur et la même direction que l'originale.
- Les fonctions trigonométriques aident à résoudre les forces en leurs composantes.
- Un treillis est un plan qui tire parti de la stabilité géométrique inhérente aux triangles. Elle répartit le poids de façon harmonieuse et gère les compressions et les tensions changeantes.
- Pour résoudre une force, fais des projections sur ton diagramme pour former des triangles rectangles et utilise les fonctions trigonométriques pour trouver les composantes x et y inconnues.
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Questions fréquemment posées en Résolution des forces
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