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Sauter à un chapitre clé
Un mouvement de projectile a lieu lorsqu'un objet se déplace dans l'air et se trouve sous l'influence de la gravité.
Ce mouvement est toujours courbe - il suit une trajectoire parabolique. En outre, les objets effectuant un mouvement de projectile sont tirés par la force gravitationnelle et doivent donc toucher le sol.
Exemples de projectiles
Les exemples réels de mouvements de projectiles sont :
Le mouvement d'une balle tirée d'une arme à feu.
Le mouvement des boulets de canon.
Lancer un javelot.
Lancer une pierre.
Sauter dans une piscine.
Types de mouvements de projectiles
Il existe deux types de mouvements de projectiles - les projectiles tirés horizontalement et les projectiles non tirés horizontalement.
Projectiles tirés horizontalement
Cela se produit lorsqu'un objet est lancé dans une direction horizontale depuis une hauteur au-dessus du sol. À partir de cette élévation, l'objet suit une trajectoire courbe avant de toucher le sol. Un exemple de projectile lancé à l'horizontale est une balle tirée d'une arme à feu dans la direction horizontale.
Projectiles tirés de façon non horizontale
Cela se produit lorsqu'un objet est lancé du sol ou d'une hauteur au-dessus du sol vers le haut, donnant lieu à un mouvement parabolique complet. Un exemple de projectile à tir non horizontal est une fusée projetée verticalement depuis le sol.
Composants d'un projectile
Le mouvement des projectiles est mieux compris lorsqu'il est divisé en deux composantes : horizontale et verticale.
Si une balle B est lancée du sol à un point G, la position de la balle le long de la trajectoire courbe avant qu'elle ne touche le sol peut être donnée par les coordonnées (x, y).
Rappelle-toi que la balle se déplace à la vitesse v, et selon un angle θ par rapport à l'horizontale. Pour trouver la composante horizontale de la vitesse x et la composante verticale y, nous appliquons le théorème de Pythagore. Alors :
\[v_x = v \cdot \cos \theta\]
L'équation \(v_x = v \cdot \cos \theta\) est considérée comme la composante horizontale de la vitesse dans le mouvement du projectile tandis que l'équation \(v_y = v \cdot \sin \theta\) est la composante verticale de la vitesse.
Pour déterminer plus précisément la composante horizontale du mouvement, nous appliquons les équations de SUVAT.
Rappelle-toi :
\[S = ut +\frac{1}{2} at^2\]
Note que pour un mouvement horizontal, il n'y a pas d'accélération, donc a = 0.
Ainsi, la composante horizontale du mouvement d'un projectile est :
\[x = u \cos \theta \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot t^2\]
Rappelle-toi que la vitesse u est remplacée par la composante horizontale de la vitesse de l'objet.
Ainsi : \(x = ut \cdot \cos \theta\) est l'équation de la composante horizontale du mouvement d'un projectile.
Cependant, pour déterminer la composante verticale, tu dois noter que l'objet se déplace initialement vers le haut. Cela signifie que son accélération se fait dans la direction opposée à la gravité, donc :
\[a = - g = -9,8 \frac{m}{s^2}\]
Note également que la valeur de u dans ce cas est la composante verticale de la vitesse de l'objet. Ainsi, la composante verticale du mouvement d'un projectile est :
\[y = u \sin \theta \cdot t + (-g) \cdot \frac{1}{2} t^2\]
Ainsi : \(y = ut \sin \theta -g \frac{1}{2} t^2\) est l'équation de la composante verticale du mouvement du projectile.
Il est important de comprendre ces équations et d'avoir une connaissance de base des équations générales du mouvement.
Temps de vol, portée et hauteur maximale
Dans les questions sur le mouvement des projectiles, tu devras calculer la portée, la hauteur maximale et le temps de vol. Une approche pas à pas t'aide à comprendre comment les résoudre dans ce texte.
Quel est le temps de vol d'un projectile ?
Le temps de vol d'un projectile est le temps total écoulé entre le moment où l'objet est lancé et celui où il touche le sol. Il est désigné par le symbole T.
Rappelle que : \(v - u = at\) est la première équation du mouvement. Note que le temps de vol est le temps nécessaire à l'objet pour monter et descendre jusqu'à ce qu'il touche le sol. Nous devons considérer la composante verticale du mouvement du projectile.
Pour mieux comprendre le mouvement, nous le divisons en deux niveaux. Le premier niveau couvre le moment où l'objet est lancé de son point de départ (le sol) jusqu'à la hauteur maximale. Ensuite, le deuxième niveau couvre le mouvement depuis la hauteur maximale jusqu'au moment où il retombe au niveau de lancement (le sol).
\(v_y - u_y = -g \cdot t_1\)
Rappelle-toi que : \(v_y = 0, \space u_y = u \sin \theta\)
\N(-u \sin \theta = -gt\N)
\(t = \frac{u \sin \theta}{g}\)
Ainsi, le temps de vol T est :
\N(T = \Nfrac{ 2u \Nsin \Ntheta}{g}\N)
Peter a lancé une fusée à un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale. La fusée s'est déplacée à une vitesse de 500 m/s. Calcule :
Le temps de vol.
Le temps nécessaire pour atteindre la hauteur maximale.
Prends \N(g = 9,8 espace m/s^2)
Solution :
θ = 30 °
u = 500 m/s
g = 9,8 m/s2
Le temps de vol est calculé comme suit :
\(T = \frac{2 u \sin \theta}{g}) \cquad T = \frac{2 \cdot 500 ms^{-1} \cdot \sin30^\circ}{9.8 ms^{-2}} \cquad T = \frac{1000 ms^{-1} \cdot 0.5}{9.8 ms^{-2}}\)
\N(T = 51,02 s\N)
Le temps nécessaire à la fusée pour atteindre sa hauteur maximale est t.
\N(T = 2t\N)
\N(t = \frac{T}{2} ; \space t = \frac{51.02 s}{2} = 25.51 s\N)
Quelle est la portée du mouvement d'un projectile ?
La portée d'un mouvement de projectile est connue comme étant la distance horizontale totale parcourue par l'objet entre le moment où il est lancé et le moment où il touche le sol. R est utilisé pour représenter la portée. La portée est calculée en trouvant le produit de la vitesse dans la direction horizontale et le temps de vol.
\(R = u_x \cdot T\)
Rappelle-toi que : \(u_x = u \cos \theta\).
N'oublie pas que la portée est la distance horizontale du projectile.
Note que : \(T = \frac{2u\sin\theta}{g}\)
\(R = u \cos \theta \cdot \frac{2 u \sin \theta}{g}\)
En trigonométrie : \(\sin (2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta\)
Ainsi : \(R = \frac{u^2 \sin(2 \theta)}{g}\)
Comme la formule de calcul de l'étendue contient 2θ, cela signifie que la valeur la plus élevée de l'étendue à 45°, ce qui signifie \(\sin (2 \theta) = sin(90^\circ) = 1\).
Lors d'un match de football, un gardien de but donne un coup de pied dans un ballon immobile. Si le ballon se déplace à une vitesse de 27 m / s et à 30 ° par rapport au sol, calcule la portée. Prends g = 9,8 m / s².
Solution :
u = 27 m / s
θ = 30 °
g = 9,8 m / s²
\(R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} = \frac{(27 ms^{-1})^2 \cdot \sin(2 \cdot 30^\circ)}{9.8 ms^{-2}} = \frac{(27 ms^{-1})^2 \cdot \sin 60^\circ}{9.8 ms^{-2}}\)
R = 64,42 m
Quelle est la hauteur maximale d'un projectile ?
La hauteur maximale est le point le plus élevé que l'objet atteint en se déplaçant vers le haut avant de commencer à tomber. À la hauteur maximale, l'objet se suspend peu avant d'entamer un mouvement vers le bas. À ce niveau, la vitesse est nulle dans le sens vertical.
Pour calculer la hauteur maximale, la vitesse dans la direction verticale est \(u_y = u \sin \theta\).
Rappelle-toi l'équation du mouvement : \(v^2 - u ^2 = 2a \cdot S\)
Où : v = 0, S = h, a = -g.
\N(-u_y^2 = -2gh\)
Ainsi :
\(h = \frac{y_y^2}{2g}\)
\(h = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}\)
Ainsi, la hauteur maximale d'un projectile est de :
\(h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}\)
Une fusée à dynamite a été lancée avec une vitesse de 200 m/s à un angle de 60 degrés par rapport à l'horizontale. Quelle est la plus grande hauteur atteinte par la dynamite ? Prends g = 9,8 m/s2
Solution :
u = 200 m / s
θ = 60°
g = 9,8 m / s²
\(h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{(200 ms^{-1})^2 \sin^2 60^\circ}{2 \cdot 9.8 ms^{-2}} = \frac{40000 (ms^{-1})^2 \cdot 0.75}{19.6 ms^{-2}}\)
h = 1530,61 m
Comment calculer les projectiles à l'aide des vecteurs
Tu résous les questions relatives aux projectiles en utilisant les vecteurs en comprenant les quantités qui sont des vecteurs. Dans ce cas, seules l'accélération, la vitesse et le déplacement sont des vecteurs. Pour les quantités vectorielles, la composante horizontale i et la composante verticale j sont toujours représentées.
Pour un vecteur 5i, cela signifie que la quantité est de 5 unités dans la direction horizontale positive (vers la droite sur l'axe des x). Mais pour un vecteur -3j, cela signifie que la quantité est de 3 unités dans la direction verticale négative (vers le bas sur l'axe des y).
La direction du vecteur est donnée à la place d'une direction angulaire en degrés. Tu t'appuieras sur les équations de déplacement et de vitesse :
\N(S = S_0 + ut + \frac{1}{2} at^2\N)
\(v = u + at\)
Où S = déplacement,
S0 = déplacement initial
a = accélération
t = temps,
v = vitesse finale et
u = vitesse initiale.
Une balle de tennis est frappée par une raquette à partir d'un point K, situé à 10 m au-dessus du point O au sol. À cet instant, elle se déplace à une vitesse de (4i + 7j) m/s. Il finit par atteindre le point M au sol après s'être déplacé librement sous l'effet de la pesanteur. Prends g = 9,8 m/s².
Détermine la vitesse de la balle 1,8 seconde après avoir été frappée.
Dérive une expression vectorielle pour un point S de la balle de tennis qui est relatif à O à l'instant t secondes.
Trouve la distance OM.
Solution :
Fais un schéma à partir des informations de la question.
1. Réfère-toi à l'équation : v = u + at
v = ?
u = 4i + 7j en m/s
a = -9,8j en m/s²
parce que la balle de tennis accélère verticalement dans la direction opposée à la gravité, t = 1,8 en secondes.
Substitue tes valeurs dans l'équation :
v = 4i + 7j + (-9,8j) × 1,8
v = 4i + 7j - 17,64j
v = 4i - 10,64j
Pour calculer v, tu dois trouver la résultante du vecteur 4i - 10,64j. Pour ce faire, tu dois trouver la racine carrée de la somme des carrés de la composante horizontale 4i et de la composante verticale 10,64j.
\(v = \sqrt{4^2 + 10,64^2} m/s = 11,37 m/s)
2. Pour dériver une expression vectorielle pour un point S de la balle de tennis qui est relatif à O à l'instant t secondes, on utilise l'équation suivante :
\(S = S_0 + ut + \frac{1}{2} at^2\)
Ici ,
S = ?
S0 = 10j mètres car le déplacement vertical initial de la balle de tennis est de 10 m au-dessus du sol,
u = 4i + 7y en m/s,
t = t en secondes,
a = -9,8j en m/s².
Ainsi :
\(S = 10 j + (4i + 7j)t + \frac{1}{2} (-9,8j)t^2 \quad S = 10 j + 4 ti + 7tj -4,9t^2 j\).
Rassemble les composantes vectorielles similaires pour les factoriser : \(S = 4ti + 10j+7tj-4,9t^2j \quad S = 4ti + (10 + 7t - 4,9t^2)j\)
L'équation permettant de déterminer la distance S à partir du point O où la balle de tennis a été frappée est donc la suivante : \(S = 4ti + (10 + 7t - 4,9 t^2)j\)
3. Pour trouver le déplacement OM, le point M n'a pas de distance verticale puisque l'œuf touche le sol en M. Donc, la composante verticale de la représentation vectorielle est + 0j.
Reporte-toi à l'équation obtenue en B - rappelle-toi qu'elle nous indique comment trouver le déplacement de n'importe quel point à partir de l'origine O.
\(S = 4ti + (10 + 7t - 4,9t^2)\)
Comme le point M n'a pas de composante verticale, \N((10 + 7t - 4,9 t^2)j = 0 \space 10 + 7t - 4,9t^2 = 0\N)
En utilisant l'équation quadratique générale \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), nous pouvons calculer le temps t auquel la balle de tennis touche le sol M.
D'après l'équation \(10 + 7t - 4,9 t^2 = 0\)
a = -4.9,
b = 7
c = 10
Si tu substitues tes valeurs dans cette formule, tu obtiendras des valeurs :
t = 2,31s ou -0,88s.
Note que seule la valeur positive de t est retenue car une valeur négative signifierait que la balle de tennis a voyagé en arrière dans le temps.
Donc, t = 2,31s.
Cela signifie que la balle de tennis atteint le point M après 2,31 secondes. Pour déterminer le déplacement horizontal OM, nous remplaçons la valeur de t par la valeur suivante : \(S = 4ti + (10 + 7t - 4,9t^2)j\)
N'oublie pas que la composante verticale est nulle, donc :
S = 4ti
Où t = 2,31s
S = 4 × 2,31i
S = 9,24i
La distance OM est donc de 9,24 m.
Projectiles - points clés à retenir
- Un mouvement de projectile se produit lorsqu'un corps se déplace librement dans l'air sous l'influence de la gravité.
On suppose qu'aucune autre force n'agit sur l'objet à l'exception de la gravité.
Les projectiles peuvent être lancés horizontalement ou non.
La vitesse dans la direction y est donnée par \(v_y = v \sin \theta\) tandis que celle de la direction x est \(v_x = v \cos \theta\).
Le temps de vol est le temps total nécessaire à un objet pour effectuer un mouvement de projectile. Il est donné par : \(T = \frac{2u \sin \theta}{g}\)
La portée est la distance horizontale entre le point de lancement et le point où le projectile frappe le sol. Elle est donnée par : \(R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g}\)
La hauteur maximale est la distance verticale entre la hauteur maximale atteinte par le projectile et le sol. À la hauteur maximale, la vitesse finale est nulle et elle est donnée par : \(h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}\)
Pour calculer les projectiles à l'aide de vecteurs, les composantes horizontales et verticales de toutes les quantités vectorielles doivent être prises en compte. Les équations de déplacement et de vitesse suivantes sont utilisées : \(S = S_0 + ut + \frac{1}{2} at^2\) et (v = u + at\).
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