Mathématiques Pures

Quels sont les thèmes des mathématiques pures ?

Tu peux trouver les thèmes suivants sur StudySmarter :

Preuve

Une preuve est un argument logique qui montre si un énoncé mathématique est vrai ou non. Les preuves mathématiques sont robustes, c'est-à-dire qu'elles doivent envisager toutes les possibilités et qu'il ne doit pas y avoir de trous dans la logique. Les preuves sont construites sur des axiomes et sont incroyablement importantes - sans elles, nous ne saurions pas si les résultats mathématiques sont exacts.

Tu peux utiliser de nombreuses techniques différentes pour prouver des énoncés, et les articles de StudySmarter couvrent les principales techniques que tu dois connaître.

L'algèbre

L'algèbre est une représentation abstraite des nombres qui te permet de faire des déclarations générales consistant en des opérations mathématiques. Par exemple, supposons que tu veuilles écrire un énoncé mathématique impliquant une quantité inconnue. Dans ce cas, tu pourrais l'appeler x et voir comment cette variable changerait en fonction de l'énoncé.

Il y a quelques sous-thèmes directs que nous explorons sur StudySmarter, mais tu peux utiliser les concepts algébriques dans tous les domaines des mathématiques - l'algèbre est un outil extrêmement puissant, et une solide compréhension de celui-ci est incroyablement précieuse. Même si tu trouves cela déroutant, nos guides t'aideront à comprendre les principes fondamentaux et te permettront de les appliquer à des questions similaires à celles que tu pourrais voir dans tes examens.

Les fonctions

Les fonctions sont utilisées pour appliquer une opération particulière ou un ensemble d'opérations à une valeur d'entrée, ce qui donne une valeur de sortie. Elles sont souvent exprimées sous la forme f(x), ce qui signifie que la fonction a une variable comme valeur, généralement "x" pour les fonctions les plus simples. Un exemple simple est \(f(x) = x+2\), cette fonction ajoute simplement deux à une entrée représentée par x.

Les fonctions sont étroitement liées aux graphiques, et savoir les tracer est une compétence essentielle pour tes examens.

Géométrie des coordonnées

La géométrie des coordonnées est l'étude de la géométrie qui utilise un système de coordonnées, généralement en deux dimensions avec les axes x et y , comme illustré ci-dessous. La géométrie des coordonnées peut également inclure des systèmes en trois dimensions. Les fonctions peuvent être représentées sous forme de graphiques sur les systèmes de coordonnées. Encore une fois, les graphiques constituent une grande partie de ce sujet !

Séquences et séries

Les séquences sont une liste de nombres qui suivent un modèle ou une règle, généralement liés par une fonction commune. L'expansion binomiale est également une forme de séquence étroitement liée aux factoriels. Tu devras savoir comment générer les termes d'une suite, identifier la fonction commune et trouver leurs sommes (la somme d'une suite est connue sous le nom de série).

La trigonométrie

La trigonométrie est le domaine des mathématiques impliquant les angles et les lignes géométriques des formes, le plus souvent des triangles. Ses applications sont plus larges que tu ne le penses - elles ne se limitent pas aux triangles - et c'est l'un des domaines les plus importants des mathématiques que tu dois comprendre pour tes examens. Il comprend les fonctions trigonométriques comme le sinus, le cosinus et la tangente et leurs réciproques, les radians (une forme alternative de mesure des angles en degrés) et d'autres règles importantes.

Les exponentielles et les logarithmes

Les exponentielles sont des fonctions de la forme ^Nx, qui augmentent ou diminuent rapidement à mesure que x augmente, lorsque le nombre N est élevé à une puissance de x. Un exemple de fonction exponentielle est \(f(x) = 2^x\) et il existe une fonction spéciale^ex.

Les logarithmes sont la fonction inverse d'une exponentielle. Ils peuvent être utilisés pour trouver la puissance à laquelle un nombre a été élevé pour obtenir un autre nombre. Pour toute exponentielle, nous avons un logarithme sous la forme \(\log_a(b)\). Par exemple, \(\log_2(8) = 3\) parce que \(2^3 = 8\). Là encore, il existe une fonction spéciale appelée logarithme naturel, qui est l'inverse de e - exprimée sous la forme "\N(\Nln(x)\N)".

Différenciation

La différenciation est une méthode qui permet de trouver les taux de changement, c'est-à-dire les gradients des fonctions. Nous pouvons trouver cela en traçant les lignes de gradient des graphiques. Ce n'est pas toujours facile ou précis, c'est pourquoi nous pouvons aussi le faire de manière analytique. Le résultat d'un calcul de différenciation est appelé la dérivée d'une fonction. Le processus de différenciation est représenté par \(\frac{dy}{dx}\). Cela équivaut à "la variation de y divisée par la variation de x", et x et y peuvent être remplacés par n'importe quelle variable.

Tu devras te souvenir de quelques règles différentes pour t'aider à résoudre des problèmes plus complexes, dont certaines sont présentées ci-dessous :

• Règle du produit, utilisée lorsque deux fonctions sont multipliées l'une par l'autre, par exemple \(f(x) g(x)\).

• La règle du quotient, utilisée lorsque deux fonctions sont divisées l'une par l'autre, par exemple \(\frac{f(x)}{g(x)}\).

• La règle de la chaîne, utilisée pour les fonctions composées, par exemple \N(f(g(x))\N).

Tu devras également savoir comment dériver les fonctions trigonométriques. Par exemple, la dérivée de \(\sin(x)\) est \(\cos(x)\).

Intégration

L'intégration est une méthode pour trouver l'aire sous un graphique et est l'opération inverse de la dérivation. Une intégrale est représentée par le symbole \(\int\). Ce type d'intégrale est appelé intégrale indéfinie - une intégrale définie se réfère à l'aire d'un intervalle donné et est représentée sous la forme \(\int^a_b\), où a et b signifient l'intervalle de valeurs désiré.

Encore une fois, il existe des méthodes clés que tu peux utiliser pour résoudre des problèmes plus complexes, comme l'intégration par parties, et tu peux mémoriser certains résultats standards.

Méthodes numériques

Les méthodes numériques sont des moyens d'approximer des solutions mathématiques qui ne peuvent pas être trouvées facilement. Ces méthodes peuvent être utilisées pour trouver les racines des équations et pour l'intégration.

Un exemple est la méthode de Newton-Raphson, un algorithme qui tente d'améliorer sa précision à chaque itération.

Les méthodes numériques ont de nombreuses applications et sont très importantes non seulement en mathématiques mais aussi en ingénierie. Quelques exemples du monde réel sont énumérés ci-dessous :

• Résolution de problèmes en ingénierie navale, aérospatiale et mécanique des structures.

• Algorithmes d'apprentissage automatique.

• Prédictions météorologiques.

• Estimations de prix telles que celles effectuées par les compagnies aériennes.

En tant qu'étudiant en mathématiques, la connaissance des méthodes numériques t'aidera à résoudre des problèmes et à acquérir de bonnes bases sur les outils utilisés dans les secteurs public et privé.

Vecteurs

Les vecteurs sont des quantités qui ont à la fois une magnitude et une direction, et tu peux les utiliser pour montrer la position d'un point par rapport à un autre. Les coordonnées sont utiles pour représenter les vecteurs, comme le montre le diagramme ci-dessous !

Les vecteurs peuvent être exprimés à l'aide des vecteurs unitaires i et j (représentant respectivement les directions x et y). Un exemple est donné ci-dessous pour le vecteur \(v = \left[ \begin{array}{c} 1\\2 \end{array} \right]\N]).

\(v = \left[ \begin{array}{c} 1\\2 \end{array} \right] = 1i + 2j\)

Les systèmes de vecteurs peuvent également être exprimés sous forme de vecteurs-colonnes lorsque nous avons deux vecteurs ou plus, et tu peux en voir un exemple ci-dessous.

\N(u = 3i, \N espace v = 4i, \Nespace w = 7i\N)

Nous pouvons exprimer ces vecteurs sous forme de colonne.

\(\left[ \begin{array} {c} u\\ v \\ w \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c} 3 \\ 4 \\ 7 \end{array} \right] i\)

Tu devras également connaître les bases des vecteurs 3D au niveau A, où la direction z (représentée par k) est introduite.