Formules de somme et de différence d'angles

Lors d'un cours de trigonométrie, notre professeur de mathématiques a dit que la somme de 30° et 40° donnerait 70° mais que la somme de sin30°et sin40° ne donnerait pas sin70°, ce qui a provoqué un certain émoi dans la classe . Comment additionner et soustraire les sinus et les cosinus des angles? Ci-après, tout ce que tu dois savoir sur ces opérations te sera expliqué.

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    Qu'est-ce que la formule de la somme et de la différence des angles en trigonométrie ?

    Les formules de somme et de différence d'angles sont des équations utilisées pour effectuer l'addition et la soustraction d'identités trigonométriques.

    Contrairement aux opérations arithmétiques normales, l'addition et la soustraction des fonctions trigonométriques ont une approche différente. Par exemple, cos (45° -15°) n'est pas la même chose que cos45° - cos15°. Cela devient plus difficile lorsque des fonctions trigonométriques sont impliquées dans de telles opérations arithmétiques. Il faut donc trouver des formules pour résoudre ce problème.

    Connaître les fonctions trigonométriques des angles spéciaux tels que les sinus, les cosinus et les tangentes de 30, 45, 60 et 90 degrés signifie que l'addition ou la soustraction de ces angles peut donner d'autres angles. Par exemple, sin15° peut être dérivé, puisque sin15° est identique à sin(45-30)° . Par la suite, nous déduirons des formules pour résoudre ces opérations.

    Démonstration de la somme et de la différence des fonctions cosinus

    Différence des fonctions cosinus

    Considère la figure ci-dessous :

    Formules de la somme et de la différence des angles, Figure 1 : Une image montrant l'utilisation de la position standard d'un cercle unitaire pour prouver la différence des fonctions cosinus, StudySmarter

    Figure 1 : Une image montrant l'utilisation de la position standard d'un cercle unitaire pour prouver la différence des fonctions cosinus, - StudySmarter Originals

    La figure ci-dessus est prise dans la position standard d'un cercle unitaire. Si a est l'angle ∠PON et b l'angle ∠QON, alors l'angle ∠POQ est (a - b) . Par conséquent , cosa est la composante horizontale du point P etsinaest sa composante verticale. Tandis quecosbest la composante horizontale du point Q et sinb est sa composante verticale. Ainsi, pour trouver la distance PQ, nous utiliserons la formule de la distance entre deux points.

    d=(x2-x1)2+(y2-y1)2

    Où dans le point P, (x2,y2) est(cosa, sina) et au point Q, (x1,y1) est(cosb, sinb). Ainsi, le point P est et le point Q est .

    PQ=(cosa-cosb)2+(sina-sinb)2PQ2=(cosa-cosb)2+(sina-sinb)2PQ2=cos2a-2cosacosb+cos2b+sin2a-2sinasinb+sin2b

    Réarrange l'équation

    PQ2=cos2a+sin2a+cos2b+sin2b-2cosacosb-2sinasinb

    Rappelle-toi :

    cos2θ+sin2θ=1; so, cos2a+sin2a=1 and sin2b+cos2b=1

    Ensuite :

    PQ2=1+1-2cosacosb-2sinasinbPQ2=2-2cosacosb-2sinasinb

    Si l'angle ( a-b) était replacé dans la position standard d'un cercle unitaire allant de l'origine O au point S dans la figure ci-dessous

    Formules de la somme et de la différence des angles, Figure 2 : Une image de l'angle (a-b) en train d'être replacé, StudySmarterFigure 2 : Une image de l'angle (a-b) en train d'être retracé, - StudySmarter Originals

    Ensuite, la distance SN de la figure 2 (qui est égale à la distance PQ de la figure 1) peut être dérivée par rapport à l'angle ( a-b) et aux points correspondants dans S (cos (a-b), sin(a-b) ) et N (1 , 0).

    Utilisation

    d=(x2-x1)2+(y2-y1)2

    Où le point S est (x2,y2) et N est (x1,y1)alors

    SN=(cos(a-b)-1)2+(sin(a-b)-0)2SN2=(cos(a-b)-1)2+(sin(a-b)-0)2SN2=cos2(a-b)-2cos(a-b)+1+sin2(a-b)

    Réarrange et rapproche les termes similaires

    SN2=cos2(a-b)+sin2(a-b)-2cos(a-b)+1

    Rappelle-toi que

    cos2θ+sin2θ=1; so, cos2(a-b)+sin2(a-b)=1

    alors ;

    SN2=1-2cos(a-b)+1SN2=2-2cos(a-b)

    Rappelle-toi que

    PQ=SN

    alors

    PQ2=SN2

    Ainsi

    2-2 cos(a-b)=2-2cosacosb-2sinasinb

    Résous l'algèbre en soustrayant 2 des deux côtés de l'équation.

    -2 cos(a-b)=-2cosacosb-2sinasinb

    Divise les deux côtés par -2 des deux côtés

    cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

    Somme des fonctions cosinus

    cos(a + b)=cos(a-(-b))

    Ainsi, remplace la valeur de b par -b dans l'équation.

    Note que

    cos(-b)=cosb

    et

    sin(-b)=-sinb

    donc

    cos(a+b)=cosacos(-b)+sinasin(-b)cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

    Démonstration de la somme et de la différence des fonctions sinusoïdales

    Somme des fonctions sinusoïdales

    Dessine un triangle rectangle ABC comme indiqué ci-dessous.

    Formules de la somme et de la différence des angles, Une image d'un triangle droit, StudySmarterUne image d'un triangle droit, - StudySmarter Originals

    Trace une autre ligne coupant A et touchant la ligne BC en D, de telle sorte que l'angle BAD soit β et l'angle DAC soit α, comme on le voit ci-dessous.

    Formules de la somme et de la différence des angles, Une image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter

    Trace une ligne perpendiculaire au point D qui touche la ligne AB en E comme indiqué ci-dessous.

    Formules de la somme et de la différence des angles, Une image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter

    Trace une ligne à partir du point E qui est perpendiculaire à la ligne AC, coupe la ligne AD en F et rencontre la ligne AC en G comme indiqué ci-dessous.

    Formules de la somme et de la différence des angles, Une image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter

    Trace une ligne allant du point D au point H sur la ligne EG qui est perpendiculaire à la ligne EG comme indiqué ci-dessous.

    Formules de la somme et de la différence des angles, Une image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter

    Note que pour chaque étape ci-après, tu dois te référer à la figure ci-dessus.

    Par conséquent

    Utilisation de SOHCAHTOA

    sin(α+β)=EGAE

    Note que la ligne EG = EH + HG, donc

    sin(α+β)=EH+HGAEsin(α+β)=EHAE+HGAE

    Rappelle ;

    HG=DC

    les droites HG et DC sont parallèles et égales.

    Ainsi

    sin(α+β)=EHAE+DCAE

    Vois que

    DAC=FDH

    Ce sont des angles alternés car les lignes HD et AC sont parallèles et sont coupées par la ligne AD.

    Note ci-dessous

    Formules de la somme et de la différence des angles, Une image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter

    DAC =FDH=α

    Rappelle-toi que la ligne AD est perpendiculaire à la ligne ED. Par conséquent

    HDE=90°-α

    Sachant que

    EHD=90°

    donc

    HED+90°+90°-α=180°

    La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

    HED+180°-180°=α

    HED=α

    En regardant leurs angles, cela signifie que les triangles ADC et EDH sont similaires. voir ci-dessous

    Formules de la somme et de la différence des angles Une image qui prouve la somme du sinus des angles, StudySmarterUne image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter Originals

    À partir du triangle rectangle EDH

    cosα=EHEDEH=ED cosα

    Rappelle-toi que

    sin(α+β)=EHAE+DCAE

    Substitue la valeur de EH

    sin(α+β)=EDcosαAE+DCAEsin(α+β)=(EDAE×cosα)+DCAE

    En attendant, à partir du triangle rectangle AED, en utilisant SOHCAHTOA

    sinβ=EDAE

    Substitue la valeur de EDAE dans l'équation

    sin(α+β)=sinβcosα+DCAE

    A partir du triangle rectangle ADC, à l'aide de SOHCAHTOA

    sinα=DCADDC=ADsinα

    Substitue la valeur de DC dans l'équation

    sin(α+β)=sinβcosα+ADsinαAE

    Regarde le triangle rectangle AED et utilise SOHCAHTOA

    cosβ=ADAE

    Substitue la valeur deADAE dans l'équation

    sin(α+β)=sinβcosα+cosβsinαsin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

    Différence de ses fonctions

    Sachant que

    sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

    Ainsi sin(α-β) peut être dérivé en échangeant β avec -β tout au long de l'équation.

    Par conséquent

    sin(α-β)=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα

    Note que

    cos(-β)=cosβ

    et

    sin(-β)=-sinβ

    donc

    sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα

    Démonstration de la somme et de la différence des fonctions tangentes

    Somme des fonctions tangentes

    Rappelle-toi que

    tan=sincos

    Par conséquent

    tan(A+B)=sin(A+B)cos(A+B)

    Par conséquent

    tan(A+B)=sinAcosB+sinBcosAcosAcosB-sinAsinB

    Divise chaque entité du côté droit de l'équation par cosAcosB

    tan(A+B)=sinAcosBcosAcosB+sinBcosAcosAcosBcosAcosBcosAcosB-sinAsinBcosAcosBtan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB

    Différence des fonctions tangentes

    Rappelle-toi que

    tan=sincos

    Par conséquent

    tan(A-B)=sin(A-B)cos(A-B)

    Ainsi

    tan(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcosAcosB+sinAsinB

    Divise chaque entité du côté droit de l'équation par cosAcosB

    tan(A-B)=sinAcosBcosAcosB-sinBcosAcosAcosBcosAcosBcosAcosB+sinAsinBcosAcosBtan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB

    Application de la somme et de la différence des formules

    Tu verras ci-dessous comment appliquer les formules de somme et de différence.

    Trouve la valeur de cos15°

    Solution :

    La première étape consiste à trouver la meilleure combinaison possible d'angles spéciaux qui donnera cet angle. Dans ce cas, on obtient 15° en soustrayant 30° de 45°.

    Par conséquent

    cos15°=cos(45°-30°) cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°

    rappelle

    cos30°=32, sin30°=12, cos45°=sin45°= 22

    Par conséquent ;

    cos(45°-30°)=(22×32)+(22×12)cos(45°-30°)=64+24 cos(45°-30°)=6+24

    Factorise davantage

    id="5217730" role="math" cos(45°-30°)=2(3+1)4

    Donc

    id="5217731" role="math" cos15°=2(3+1)4

    Prouve que :

    sin210°=-12

    Solution :

    sin210°=sin(180°+30°)

    sachant que

    sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

    Par conséquent

    sin(180°+30°)=sin180°cos30° +sin30°cos180°

    Note que

    sin180°=0, cos180°=-1, sin30°=12, cos30°=32:

    Ainsi ,

    sin(180°+30°)=(0×32) +(12×-1)sin(180°+30°)=-12

    D'où ;

    sin210°=sin(180°+30°)=-12

    Si un homme quitte un point P pour se rendre à un point R situé à 20 km à l'est de P, il marche ensuite jusqu'à un point S situé au nord de R. Trouve la distance entre R et S si S est à 75 degrés au nord-est de P sans utiliser de calculatrice ou de table mathématique.

    Solution :

    Formules de la somme et de la différence des angles, Un exemple d'image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter

    On nous demande de calculer la distance RS. Utilisation de SOHCAHTOA

    tan15°=RS20RS=20tan15° tan15°=tan(45°-30°)

    Note que

    tan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB

    Par conséquent

    tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°

    tan45°=1

    et

    tan30°=33

    Alors

    tan(45°-30°)=1-331+(1×33)tan(45°-30°)=1-331+33

    Multiplie le numérateur et le dénominateur par 1-33

    tan(45°-30°)=(1-33)×(1-33)(1+33)×(1-33)tan(45°-30°)=1-233+131-13tan(45°-30°)=43-23323tan(45°-30°)=4-23323tan(45°-30°)=2(2-3)323tan(45°-30°)=2(2-3)3×32tan(45°-30°)=2-3tan15°=tan(45°-30°)=2-3

    Par conséquent

    RS=20tan15° RS=20×(2-3) km

    Formules de la somme et de la différence des angles - Principaux enseignements

    • La somme et la différence des fonctions trigonométriques ne se calculent pas en utilisant une approche arithmétique directe.
    • La formule de la somme et de la différence du sinus est la suivantesin(α±β)=sinαcosβ±sinβcosα
    • La formule de la somme et de la différence du cosinus est la suivantecos(a±b)=cosacosbsinasinb
    • La formule de la somme et de la différence de la tangente est la suivantetan(A±B)=tanA±tanB1tanAtanB

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    Formules de somme et de différence d'angles
    Questions fréquemment posées en Formules de somme et de différence d'angles
    Quelles sont les formules de somme d'angles ?
    Les formules de somme d'angles sont sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB et cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB.
    Comment les formules de différence d'angles sont-elles définies ?
    Les formules de différence d'angles sont sin(A-B) = sinA cosB - cosA sinB et cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB.
    À quoi servent les formules de somme et de différence d'angles ?
    Ces formules sont utilisées pour simplifier des expressions trigonométriques et pour résoudre des équations trigonométriques.
    Comment mémoriser facilement les formules de somme et de différence d'angles ?
    Pour mémoriser, retenez que cos change le signe entre les produits et sin le conserve.
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