Angles dans les polygones: Théorie, Propriétés

Sauter à un chapitre clé

Le terme "poly" signifie plusieurs, donc un polygone est simplement une forme avec plusieurs côtés. Lorsque nous disons "plusieurs", nous voulons dire trois ou plus. En gros, un polygone peut être n'importe quelle forme en 2D qui n'est pas un cercle. Un polygone est régulier si tous ses côtés et ses angles sont identiques.

Angles intérieurs des polygones

Lorsque nous parlons des angles qui s'additionnent pour former un polygone, nous faisons référence à la somme des angles intérieurs. Nous utiliserons beaucoup ce terme à partir de maintenant, il est donc essentiel de le connaître.

Angles dans un polygone, polygone avec angles intérieurs étiquetés, Jordan Madge Angles dans les polygones - Polygone avec angles intérieurs étiquetés, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Pour un polygone, un angle intérieur est un angle à l'intérieur du polygone (voir le schéma ci-dessus). La somme des angles intérieurs est la somme de tous les angles à l'intérieur du polygone. Ainsi, formellement, nous savons déjà que la somme des angles intérieurs d'un triangle est de $180 °$ et dans un quadrilatère est $360 °$ .

Formule de la somme des angles intérieurs

Auparavant, nous devions juste savoir que la somme des angles intérieurs d'un triangle est de $180 °$ et que la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est de $360 °$ . Nous l'avons simplement pris comme un fait et ne l'avons jamais vraiment remis en question. Cependant, tu te demandes peut-être maintenant pourquoi il en est ainsi. pourquoi est-ce le cas ? Ou peut-être pas... Cependant, une formule pratique nous indique la somme des angles intérieurs de n'importe quel polygone. La formule est la suivante...

Pour un polygone donné à n côtés,

$S u m o f I n t e r i o r A n g l e s = (n - 2) \times 180^{°}$

Ainsi, lorsque nous avons un triangle, $n = 3$ et donc la somme des angles intérieurs est $(3 - 2) \times 180 = 180 °$ .

De même, lorsque nous avons un quadrilatère, $n = 4$ et donc la somme des angles intérieurs est $(4 - 2) \times 180 = 360 °$

Nous connaissions déjà ces deux résultats. Cependant, nous pouvons maintenant appliquer cette formule aux formes ayant plus de quatre côtés.

Calcule la somme des angles intérieurs d'un pentagone.

Solution :

Un pentagone a cinq côtés, donc en utilisant la formule, la somme des angles intérieurs est de $(5 - 2) \times 180 = 540 °$

Calcule la somme des angles intérieurs d'un nonagone.

Solution :

Un nonagone a neuf côtés, donc en utilisant la formule, la somme des angles intérieurs est de $(9 - 2) \times 180 = 1260 °$

Calcule la somme des angles intérieurs pour la forme ci-dessous.

Angles dans les polygones, Exemple avec un polygone à 14 côtés, Jordan Madge Angles dans les polygones - polygone à 14 côtés, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

La forme ci-dessus a 14 côtés et la somme des angles intérieurs est donc de $(14 - 2) \times 180 = 2160 °$

Calcule la somme des angles intérieurs pour une forme à 24 côtés.

Solution :

Lorsque id="5310858" role="math" $n = 24$ la somme des angles intérieurs est $(24 - 2) \times 180 = 3960 °$

Calcule la taille de l'angle x dans l'image ci-dessous.

Angles dans les polygones, Exemple avec un quadrilatère, Jordan Madge Angles dans les polygones - exemple de quadrilatère, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Cette forme a cinq côtés, donc la somme des angles intérieurs est de 1,5 m. $(5 - 2) \times 180 = 540 °$

Chacun des angles droits de la forme est $90 °$ et nous pouvons donc calculer l'angle manquant en soustrayant tous les angles donnés de 540. Ainsi, $x = 540 - 90 - 90 - 90 - 130 = 140 °$

Tableau des angles intérieurs communs

Le tableau ci-dessous indique la somme des angles intérieurs pour les huit premiers polygones. Cependant, tu peux confirmer ces résultats par toi-même en utilisant la formule.

Forme	# côtés	Somme des angles intérieurs ( $°$ )
Triangle	3	180
Quadrilatère	4	360
Pentagone	5	540
Hexagone	6	720
Heptagone	7	900
Octogone	8	1080
Nonagon	9	1260
Décagone	10	1440

Calcul de chaque angle intérieur

Plus tôt, nous avons défini les polygones réguliers comme des polygones dont les côtés et les angles sont égaux. Nous pouvons donc souhaiter calculer chaque angle intérieur d'un polygone régulier. Nous calculons d'abord la somme des angles intérieurs et divisons ce nombre par le nombre de côtés.

Calcule chaque angle intérieur d'un hexagone régulier.

Solution :

À l'aide du tableau 1, nous pouvons voir que la somme des angles intérieurs d'un hexagone est de . $720 °$ . Puisque cet hexagone est régulier, chaque angle est le même et nous pouvons donc calculer chaque angle intérieur en divisant $720$ par $6$ . Par conséquent, chaque angle intérieur est $120 °$ .

Ci-dessous se trouve une partie d'un carrelage composé de trois pentagones réguliers. Calcule l'angle indiqué par x.

Angles dans un polygone, exemple de pentagone, Jordan Madge

Angles dans les polygones - Exemple du pentagone, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

La somme des angles intérieurs de chaque hexagone régulier est de $720 °$ (en utilisant le tableau des angles intérieurs communs).

Ainsi, chaque angle intérieur de chaque hexagone est $120 °$ .

Angles dans un polygone, exemple de pentagone, Jordan Madge Angles dans les polygones - Exemple du pentagone, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Rappelle-toi que la somme des angles autour d'un point est de 360 degrés. Par conséquent, on peut trouver x en soustrayant les autres angles connus de 360. Ainsi, $x = 360 - 108 - 108 = 144 °$

Angles extérieurs dans les polygones

Il y a également un angle extérieur pour chaque angle intérieur dans un polygone. Un angle extérieur est formé entre n'importe quel côté de la forme et la ligne droite prolongée à l'extérieur de la forme. Cela peut sembler peu clair, mais c'est plus facile à voir illustré.

Angles dans un polygone, polygone avec angles intérieurs et extérieurs étiquetés, Jordan Madge Angles dans les polygones - Pentagone avec angles intérieurs et extérieurs étiquetés, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Dans le diagramme ci-dessus, les angles intérieurs sont marqués en orange, et les angles extérieurs en vert. Comme l'angle extérieur se trouve sur la même ligne droite que l'angle intérieur, la somme des angles intérieur et extérieur est $180 °$ . Par conséquent, un angle extérieur peut être calculé en soustrayant l'angle intérieur de $180 °$ .

Dans l'image ci-dessous, les angles x et y sont des angles extérieurs. Calcule x et y.

Angles dans les polygones, Exemple avec les angles extérieurs, Jordan Madge Angles dans les polygones - Pentagone avec angles intérieurs et extérieurs, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Pour l'angle extérieur x, l'angle intérieur est $109 °$ . Ainsi, puisque les angles sur une ligne droite s'additionnent pour donner $180 °$ , $x = 180 - 109 = 71 °$ . L'angle $y$ est un autre angle extérieur et comme la somme des angles sur une ligne droite est égale à 180, $y = 180 - 81 = 99 °$ .

Calcule chaque angle extérieur d'un heptagone régulier.Solution : Un heptagone a sept côtés et la somme des angles intérieurs est donc de 900.

900 °

Comme cet heptagone est régulier, nous pouvons calculer chaque angle intérieur en divisant 900 par 7 pour obtenir

128.6 °

. Par conséquent, nous pouvons calculer chaque angle extérieur en soustrayant ce chiffre de 180. Ainsi, chaque angle extérieur est

180 - 128.6 = 51.4 °

Un heptagone est aussi parfois appelé septagone.

Somme des angles extérieurs

La somme des angles extérieurs de n'importe quel polygone est très simple. C'est $360 °$ . Contrairement aux angles intérieurs, nous n'avons pas besoin de mémoriser des formules fantaisistes pour calculer la somme des angles extérieurs ; nous devons simplement nous souvenir de la somme des angles extérieurs pour un polygone quelconque $360 °$ . Grâce à cela, nous pouvons commencer à répondre à d'autres questions.

Chaque angle extérieur d'un polygone régulier est égal à 10. Calcule le nombre de côtés du polygone.

Solution :

Puisque la somme des angles extérieurs est $360 °$ et que chaque angle extérieur est $10 °$ nous pouvons calculer le nombre de côtés par $360 \div 10 = 36$ . Ainsi, ce polygone a 36 côtés.

Chaque angle intérieur d'un polygone régulier est égal à 165. Calcule le nombre de côtés du polygone.

Solution:

Si chaque angle intérieur est $165$ , chaque angle extérieur doit être $180 - 165 = 15 °$ . Puisque la somme des angles extérieurs est $360 °$ il doit y avoir $360 \div 15 = 24$ côtés.

Angles dans les polygones - Principaux enseignements

Les angles intérieurs d'un polygone sont les angles à l'intérieur du polygone.
Pour calculer la somme des angles intérieurs, soustrais deux du nombre de côtés et multiplie le résultat par 180 degrés.
Si le polygone est régulier, chacun des côtés est identique.
Un angle extérieur est formé entre n'importe quel côté de la forme et la ligne droite prolongée à l'extérieur de la forme.
La somme des angles extérieurs de tout polygone est de 360 degrés, quel que soit le nombre de côtés.

S'inscrire avec un e-mail

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Questions fréquemment posées en Angles dans les polygones

Comment calculer la somme des angles d'un polygone ?

La somme des angles d'un polygone se calcule avec la formule (n-2)×180°, où n est le nombre de côtés.

Quel est l'angle intérieur d'un polygone régulier ?

Pour un polygone régulier, l'angle intérieur est donné par la formule [(n-2)×180°]/n.

Comment déterminer l'angle extérieur d'un polygone régulier ?

L'angle extérieur d'un polygone régulier se calcule par la formule 360°/n, où n est le nombre de côtés.

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?

Un polygone régulier est un polygone où tous les côtés et tous les angles sont égaux.

Sauvegarder l'explication

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études

À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

Équipe éditoriale StudySmarter

Équipe enseignants Mathématiques

Temps de lecture: 9 minutes
Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter

Sauvegarder l'explication

Angles dans les polygones

Équipe éditoriale StudySmarter

Angles intérieurs des polygones