Équation d'un cercle

Équation d'un cercle sous forme générale

Supposons que l'on nous donne une équation dont tous les termes sont développés et que l'on ne puisse pas déduire directement \(h\), \(k\). Dans ce cas, nous nous appuyons sur l'équation du cercle obtenue et nous en déduisons une autre forme, plus générale que la précédente.

En développant l'équation précédente, elle se réduit à :

\[x^2-2xh-h^2+y^2-2yk+k^2=r^2\]

qui peut être réarrangée comme une quadratique standard avec les termes au carré d'abord, suivis des termes linéaires et enfin de la constante :

\[x^2+y^2-2xh-2xk+h^2+k^2=r^2\]

Pour différencier et éviter le conflit de constantes entre cette équation et la première, nous introduisons un ensemble de nouvelles constantes : \(h=-a\), \(k=-b\) et \(c=h^2+k^2-r^2\) pour simplifier le terme constant.

Après avoir fait ces substitutions, nous obtenons l'équation suivante d'un cercle sous forme générale:

\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]

Le rayon du cercle est maintenant donné par :

\N-[r^2=a^2+b^2-c\N]\N-[r^2=a^2+b^2-c].

\[r=\sqrt{a^2+b^2-c}\]

Note que la condition \(a^2+b^2>c\) doit être remplie, sinon le rayon ne sera pas un nombre réel positif et le cercle n'existera pas.

On peut faire de petites vérifications après avoir résolu un exemple, juste pour s'assurer que la réponse a un sens, comme par exemple :

1. Les coefficients de \(x^2\) et \(y^2\) doivent toujours être égaux, si ce n'est pas le cas, l'équation ne décrit pas un cercle.

2. L'inégalité \(a^2+b^2>c\) est satisfaite (sinon, le rayon est un nombre complexe, ce qui n'est pas le cas).

Il suffit qu'une des conditions ne soit pas remplie pour que la réponse à portée de main ne représente pas un cercle.

On peut aussi se demander comment on peut construire l'équation d'un cercle si on nous donne deux points sur ce cercle. La réponse est que c'est impossible. Il existe un nombre infini de cercles passant par deux points donnés. En fait, pour avoir un cercle unique, il faut connaître au moins trois points de ce cercle pour en trouver l'équation.

Equation d'un cercle centré à l'origine

La forme la plus courante d'un cercle sera un cercle centré à l'origine. Dans la plupart des cas, un cercle est donné et nous pouvons placer notre plan cartésien autour de lui de telle sorte qu'il est plus facile d'étudier ses propriétés. L'endroit le plus pratique pour placer notre cercle sur un plan cartésien est de le centrer sur l'origine (puisque le centre est \N((0,0)\N) et que les calculs sont beaucoup plus simples).

Fig. 2.- Un cercle centré sur l'origine, StudySmarter Originals

Rappelle que la forme générale d'un cercle est donnée par :

\[(x-h)^2+(y-h)^2=r^2\]

Où \N((h, k)\N) représente le centre qui peut maintenant être remplacé par \N((0,0)\N) :

\N- [x^2+y^2=r^2\N]

Quelle est l'équation d'un cercle centré sur l'origine.

Équation d'un cercle étant donné son centre et un point sur le cercle

Supposons qu'on ne nous donne pas le rayon et le centre d'un cercle, mais un point sur le cercle ((x_1,y_1)\) et le centre ((h,k)\). Mais la formule que nous avons pour l'équation du cercle s'applique lorsque le rayon est connu, c'est pourquoi nous devons trouver le rayon à partir des données fournies.

Pour revenir à la définition d'un cercle, rappelle-toi que le rayon est la distance entre le centre et n'importe quel point du cercle, ici c'est la distance entre \N((h,k)\N) et \N((x_1,y_1)\N) :

\[r^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]

Et puisque nous connaissons la forme générale comme :

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]

Nous pouvons substituer

\[r^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]

Ce qui nous donne :

\[(x-h)^2+(y-k)^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]

Quelle est l'équation d'un cercle dont le centre est \N((h,k)\N) et \N((x_1,y_1)\N) se trouve sur le cercle.

Exemples

Un point par rapport à un cercle

Supposons que les coordonnées d'un point aléatoire nous soient données ainsi que l'équation d'un cercle. Nous voulons déterminer la position du point par rapport au cercle. Et il y a trois possibilités :

1. le point est à l'intérieur du cercle ;

2. à l'extérieur du cercle ;

3. ou sur le cercle.

Il n'y a pas d'autre scénario possible.

Pour déterminer où se situe le point par rapport au cercle, il faut regarder l'équation du cercle :

\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]

1. Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c>0\), alors le point \((x, y)\) se trouve à l'extérieur du cercle ;

2. Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c<0\), alors le point \((x, y)\) se trouve à l'intérieur du cercle ;

3. Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\), alors le point \((x, y)\) se trouve sur le cercle (parce qu'il satisfait l'équation du cercle).

Pour comprendre pourquoi c'est le cas, rappelle-toi la première forme standard du cercle,

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]

Si la distance du point par rapport au centre est supérieure au rayon, alors il se trouve à l'extérieur du cercle. De même, si la distance est inférieure au rayon du cercle, alors le point se trouve dans le cercle.