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Il existe une méthode traditionnelle pour différencier les fonctions, cependant, nous nous concentrerons sur la recherche du gradient toujours par différenciation, mais à partir des premiers principes. Cela signifie que nous utiliserons la méthode standard des graphiques en ligne droite de \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) pour trouver le gradient d'une fonction.
Comment fonctionne la différenciation à partir des premiers principes ?
La différenciation par les premiers principes consiste à utiliser \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) pour calculer le gradient d'une fonction. Nous allons examiner de plus près le processus étape par étape ci-dessous :
ÉTAPE 1 : Soit \(y = f(x)\) une fonction. Choisis deux points x et \N(x+h\N).
Les coordonnées de x seront \N((x, f(x))\N) et les coordonnées de \N(x+h\N) seront (\N(x+h, f(x + h)\N)).
ÉTAPE 2 : Trouve \N(\Delta y\N) et \N(\Delta x\N).
\N(\NDelta y = f(x+h) - f(x) ; \NDelta x = x+h-x = h\N)ETAPE 3 : Compléter \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$$.ÉTAPE 4 : Prends une limite :\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
La formule de différenciation à partir des premiers principes
La formule ci-dessous se trouve souvent dans les livrets de formules que l'on donne aux élèves pour apprendre la différenciation à partir des premiers principes :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Dérivée de sin(x) à l'aide des premiers principes
Pour trouver la dérivée de sin(x) en utilisant les premiers principes, nous devons utiliser la formule des premiers principes que nous avons vue plus haut :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Ici, nous remplacerons f(x) par notre fonction, sin(x) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin (x)}{h}\]
En utilisant l'identité trigonométrique, nous pouvons obtenir la formule suivante, équivalente à la formule ci-dessus :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(\sin x \cos h + \sin h \cos x) - \sin x}{h}\].
Nous pouvons maintenant éliminer le terme \(\sin x\) :
\[\N- Début{alignement} f'(x) &= \Nlim_{h\Nà 0} \Nfrac{\Nsin x(\Ncos h -1) + \Nsin h\Ncos x}{h} \N- &= \Nlim_{h \Nà 0}(\frac{\sin x (\cos h -1)}{h} + \frac{\sin h \cos x}{h}) \N- &= \Nlim_{h \Nà 0} \Nfrac{\Nsin x (\Ncos h - 1)}{h} + lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cos x}{h} \N-(\Nsin x) \Nlim_{h \Nà 0} \Nfrac{\Ncos h - 1}{h} + (\Ncos x) \N- (\Ncos x) \N- (\Ncos h - 1)}{h} + (\cos x) \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \N-END{align} \]
Ici, nous avons besoin d'utiliser quelques limites standard : \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\), et \(\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0\).
En les utilisant, nous arrivons à :
\[f'(x) = 0 + (\cos x) (1) = \cos x\].
Et donc :
\[\frac{d}{dx} \sin x = \cos x\]
Dérivée de cos(x) à l'aide des premiers principes
Pour trouver la dérivée de cos(x) en utilisant les premiers principes, nous devons utiliser la formule des premiers principes que nous avons vue plus haut :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Ici, nous remplacerons f(x) par notre fonction, cos(x) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos (x)}{h}\]
Pour l'étape suivante, nous devons nous souvenir de l'identité trigonométrique : \(cos(a +b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\).
En utilisant l'identité trigonométrique, nous pouvons obtenir la formule suivante, équivalente à la formule ci-dessus :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(\cos x\cdot \cos h - \sin x \cdot \sin h) - \cos x}{h}\].
Nous pouvons maintenant éliminer le terme \(\cos x\) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \cdot \sin h}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \cdot \sin h}{h}\].
Nous devons maintenant changer les facteurs de l'équation ci-dessus pour simplifier la limite plus tard. Pour cela, tu devras reconnaître les formules que tu peux facilement résoudre.
Les équations qui te seront utiles ici sont les suivantes : \(\lim_{x \à 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ; et \lim_{x_à 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0\).
Si nous substituons les équations dans l'indice ci-dessus, nous obtenons :
\[\lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \cdot \sin h}{h}]. \crightarrow \lim_{h \to 0} \cos x (\frac{\cos h -1 }{h}) - \sin x (\frac{\sin h}{h}) \crightarrow \lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1)\c}]
Finalement, on peut arriver à :
\[\lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1) = \lim_{h \to 0} (-\sin x)\].
Puisqu'il n'y a plus de variables h dans l'équation ci-dessus, nous pouvons laisser tomber le \(\lim_{h \to 0}\), et avec cela nous obtenons l'équation finale de :
\[\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x\].
Exemples pratiques de différenciation à partir des premiers principes
Voyons deux exemples, l'un facile et l'autre un peu plus difficile.
Différencie à partir des premiers principes \(y = f(x) = x^3\).
SOLUTION :
Étapes | Exemple travaillé |
ÉTAPE 1 : Soit \(y = f(x)\) une fonction. Choisis deux points x et x + h. | Les coordonnées sont \N((x, x^3)\N) et \N((x+h, (x+h)^3)\N). Nous pouvons simplifier \N-(x+h)^3 = x^3 + 3x^2 h+3h^2x+ h^3\N) |
ÉTAPE 2 : Trouver \(\Delta y\) et \(\Delta x\). | \(\Delta y = (x+h)^3 - x = x^3 + 3x^2h + 3h^2x+h^3 - x^3 = 3x^2h + 3h^2x + h^3 ; \Delta x = x+ h- x = h\) |
ETAPE 3 : Complète \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) | \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3x^2h+3h^2x+h^3}{h} = 3x^2 + 3hx+h^2\) |
ÉTAPE 4 : Prends une limite. | \(f'(x) = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3h^2x + h^2 = 3x^2\) |
RÉPONSE | \N(3x^2\N) cependant toute la preuve est une différenciation à partir des premiers principes. |
La différenciation peut donc être considérée comme la limite d'un gradient entre deux points d'une fonction. Tu verras que ces réponses finales reviennent à prendre les dérivées.
Prenons un autre exemple pour essayer de vraiment comprendre le concept. Cette fois, nous utilisons une fonction exponentielle.
Différencie à partir des premiers principes \(f(x) = e^x\).
SOLUTION :
| Etapes | Exemple travaillé |
ÉTAPE 1 : Soit y = f(x) une fonction. Choisis deux points x et x + h. | Les coordonnées sont \N((x, e^x)\N) et \N((x+h, e^{x+h})\N). |
ÉTAPE 2 : Trouver \N(\Delta y\N) et \N(\Delta x\N) | \N-(\NDelta y = e^{x+h} -e^x = e^xe^h-e^x = e^x(e^h-1)\N)\N(\NDelta x = (x+h) - x= h\N) |
ÉTAPE 3 : Compléter \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) | \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{e^x(e^h-1)}{h}\) |
| ÉTAPE 4 : Prends une limite. | |
| REPONSE | \N(e^x\N), mais bien sûr, toute la preuve est une réponse puisqu'il s'agit d'une différenciation à partir des premiers principes. |
Différenciation à partir des premiers principes - Principaux points à retenir
- La différenciation consiste à trouver le gradient d'une courbe.
- Le gradient d'une courbe change en tout point.
- La différenciation peut être traitée comme une limite tendant vers zéro.
- La formule pour différencier à partir des premiers principes se trouve dans le livret de formules et est \(f'(x) = \lim_{h \à 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
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