Différentiation des principes de base

Comment fonctionne la différenciation à partir des premiers principes ?

La différenciation par les premiers principes consiste à utiliser \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) pour calculer le gradient d'une fonction. Nous allons examiner de plus près le processus étape par étape ci-dessous :

La formule de différenciation à partir des premiers principes

La formule ci-dessous se trouve souvent dans les livrets de formules que l'on donne aux élèves pour apprendre la différenciation à partir des premiers principes :

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].

Dérivée de sin(x) à l'aide des premiers principes

Pour trouver la dérivée de sin(x) en utilisant les premiers principes, nous devons utiliser la formule des premiers principes que nous avons vue plus haut :

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].

Ici, nous remplacerons f(x) par notre fonction, sin(x) :

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin (x)}{h}\]

En utilisant l'identité trigonométrique, nous pouvons obtenir la formule suivante, équivalente à la formule ci-dessus :

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(\sin x \cos h + \sin h \cos x) - \sin x}{h}\].

Nous pouvons maintenant éliminer le terme \(\sin x\) :

\[\N- Début{alignement} f'(x) &= \Nlim_{h\Nà 0} \Nfrac{\Nsin x(\Ncos h -1) + \Nsin h\Ncos x}{h} \N- &= \Nlim_{h \Nà 0}(\frac{\sin x (\cos h -1)}{h} + \frac{\sin h \cos x}{h}) \N- &= \Nlim_{h \Nà 0} \Nfrac{\Nsin x (\Ncos h - 1)}{h} + lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cos x}{h} \N-(\Nsin x) \Nlim_{h \Nà 0} \Nfrac{\Ncos h - 1}{h} + (\Ncos x) \N- (\Ncos x) \N- (\Ncos h - 1)}{h} + (\cos x) \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \N-END{align} \]

En les utilisant, nous arrivons à :

\[f'(x) = 0 + (\cos x) (1) = \cos x\].

Et donc :

\[\frac{d}{dx} \sin x = \cos x\]

Dérivée de cos(x) à l'aide des premiers principes

Pour trouver la dérivée de cos(x) en utilisant les premiers principes, nous devons utiliser la formule des premiers principes que nous avons vue plus haut :

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].

Ici, nous remplacerons f(x) par notre fonction, cos(x) :

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos (x)}{h}\]

En utilisant l'identité trigonométrique, nous pouvons obtenir la formule suivante, équivalente à la formule ci-dessus :

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(\cos x\cdot \cos h - \sin x \cdot \sin h) - \cos x}{h}\].

Nous pouvons maintenant éliminer le terme \(\cos x\) :

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \cdot \sin h}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \cdot \sin h}{h}\].

Nous devons maintenant changer les facteurs de l'équation ci-dessus pour simplifier la limite plus tard. Pour cela, tu devras reconnaître les formules que tu peux facilement résoudre.

Si nous substituons les équations dans l'indice ci-dessus, nous obtenons :

\[\lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \cdot \sin h}{h}]. \crightarrow \lim_{h \to 0} \cos x (\frac{\cos h -1 }{h}) - \sin x (\frac{\sin h}{h}) \crightarrow \lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1)\c}]

Finalement, on peut arriver à :

\[\lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1) = \lim_{h \to 0} (-\sin x)\].

Puisqu'il n'y a plus de variables h dans l'équation ci-dessus, nous pouvons laisser tomber le \(\lim_{h \to 0}\), et avec cela nous obtenons l'équation finale de :

\[\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x\].

Exemples pratiques de différenciation à partir des premiers principes

Voyons deux exemples, l'un facile et l'autre un peu plus difficile.

La différenciation peut donc être considérée comme la limite d'un gradient entre deux points d'une fonction. Tu verras que ces réponses finales reviennent à prendre les dérivées.

Prenons un autre exemple pour essayer de vraiment comprendre le concept. Cette fois, nous utilisons une fonction exponentielle.

Différencie à partir des premiers principes \(f(x) = e^x\).

SOLUTION :

Etapes	Exemple travaillé
ÉTAPE 1 : Soit y = f(x) une fonction. Choisis deux points x et x + h.	Les coordonnées sont \N((x, e^x)\N) et \N((x+h, e^{x+h})\N).
ÉTAPE 2 : Trouver \N(\Delta y\N) et \N(\Delta x\N)	\N-(\NDelta y = e^{x+h} -e^x = e^xe^h-e^x = e^x(e^h-1)\N)\N(\NDelta x = (x+h) - x= h\N)
ÉTAPE 3 : Compléter \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)	\(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{e^x(e^h-1)}{h}\)
ÉTAPE 4 : Prends une limite.	\(f'(x) = \lim_{h \à 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h} = e^x(1) = e^x\)Parce que \lim_{h \à 0} \frac{(e^h-1)}{h} = 1\)
REPONSE	\N(e^x\N), mais bien sûr, toute la preuve est une réponse puisqu'il s'agit d'une différenciation à partir des premiers principes.