Paraboles

La définition d'une parabole

La définition d'une parabole est la suivante :

Nous supposons un point fixe sur le plan, que l'on appelle le foyer de la parabole. Nous supposons également une ligne fixe, à laquelle il est fait référence dans la définition et qui est connue sous le nom de matrice de la parabole. Par définition, l'ensemble des points équidistants du foyer et du directeur forment une parabole. La ligne qui passe par le foyer et qui est perpendiculaire à la matrice s'appelle l'axe de la parabole.

L'équation d'une parabole standard est donnée comme suit :

$$x^2=4ay$$.

Le graphique d'une parabole

Observe que toute parabole est symétrique par rapport à son axe, c'est-à-dire que la partie de la parabole située d'un côté sera identique à la partie de la parabole située de l'autre côté. Nous aborderons ici les paraboles standard, qui sont centrées sur l'origine et dont le sommet se trouve soit sur l'axe des x, soit sur l'axe des y.

Dans le diagramme ci-dessus, la parabole est représentée par la ligne courbe, on peut voir que la parabole est symétrique autour de l'axe des y, et donc l'axe des y est considéré comme l'axe de cette parabole. Et \(F\) est le foyer de la parabole, et il est important de se rappeler que le foyer de chaque parabole se trouve toujours sur l'axe de la parabole. La droite parallèle à l'axe des x est le directeur de la parabole, et elle se trouve à une distance \(p\) de la parabole, et elle se trouve de l'autre côté du foyer.

Ainsi, le point cardinal est représenté par l'équation \(y=-p\) où \(p\) est une constante à valeur réelle. Le foyer se trouve également à la même distance du sommet que celle du point cardinal ; le foyer a donc pour coordonnées \((0,p)\).

Équation d'une parabole standard

Pour trouver l'équation d'une parabole standard, suppose qu'elle est centrée sur l'origine, comme indiqué sur le schéma. Soit \N(P\N) un point arbitraire de la parabole dont les coordonnées sont \N((x,y)\N) où \N(x\N) et \N(y\N) sont les variables. \N(P\N) représente n'importe quel point de la parabole et n'est pas fixe.

D'après la définition, la distance entre le point \(P\) et le foyer est la même que la distance entre le point \(P\) et la directrice.

$$d=\sqrt{x^2+(y-p)^2}$$

Alors que la distance entre \(P\) et le directeur est \(|y+p\), le signe du module signifie que le point que la distance est toujours positive. Par définition, ces distances sont égales, ce qui donne :

$$\sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|$$

En élevant les deux côtés au carré, on obtient

$$x^2+(y-p)^2=|y+p|^2$$

$$x^2+(y-p)^2=(y+p)^2$$

Développe les deux côtés

$$x^2+y^2-2yp+p^2=y^2+2py+p^2$$

En simplifiant davantage

$$x^2=4py$$

ce qui est la formule d'une parabole dont le sommet se trouve à l'origine.

Pour le résumer :

L'équation de la parabole dont le foyer est \N((0,p)\N) et la directrice \N(y=-p\N) est \N(x^2=4py\N).

Si nous exprimons \(a=\dfrac{1}{4p}\), l'équation ci-dessus devient \(y=ax^2\). Remarque que si \(p>0\), la parabole s'ouvre vers le haut et si \(p<0\), la parabole s'ouvre vers le bas, dans ce cas, le foyer sera sur l'axe y négatif et le directeur sera dans le demi-plan supérieur. Mais qu'en est-il de la parabole dont l'axe est le long de l'axe des x ?

En intervertissant \N(x\N) et \N(y\N) dans \N(x^2=4py\N), nous obtenons

$$y^2=4px$$

C'est la forme standard d'une parabole symétrique par rapport à l'axe des x au lieu de l'axe des y. Dans ce cas, le foyer se trouve à \N((p,0)\N), c'est-à-dire sur l'axe des x positif. Le point cardinal se déplace à \(x=-p\), qui est parallèle à l'axe des y et perpendiculaire à l'axe des x.

Représentation paramétrique d'une parabole

Un paramètre est une sorte de variable qui est construite de telle sorte que chaque variable, x et y, peut être exprimée individuellement en fonction du paramètre. Le paramètre ne fait pas partie du plan cartésien, il n'est pas inné à la parabole, mais seulement un moyen de relier indirectement les deux variables.

Soit le paramètre \N(t\N) tel que \N(t\Ndans \Nmathbb R\N), la façon dont \N(t\N) est incorporé dans l'équation est \N(x=pt^2\N) et \N(y=2pt\N).

Il convient de noter qu'aucune de ces équations n'existe seule, mais seulement collectivement. Les deux équations peuvent être combinées pour éliminer \(t\) pour obtenir l'équation de la parabole \(y^2=4px\).

Pourquoi s'embêter avec la forme paramétrique ?

L'avantage de décomposer une telle équation en équations paramétriques nous donne la flexibilité de travailler mathématiquement avec les équations individuelles. De plus, il n'y a pas de paramétrage spécifique qui corresponde à une équation. On peut trouver autant de paramètres que l'on veut, tant qu'ils satisfont l'équation.

Tout comme un cercle peut être décrit à l'aide de coordonnées polaires, une parabole peut également être exprimée à l'aide de coordonnées polaires. Les coordonnées polaires ne sont rien d'autre que des paramètres. En effet, les coordonnées polaires sont un cas particulier d'équations paramétriques.

Propriété réfléchissante de la parabole

Toute l'analyse mathématique que nous avons abordée jusqu'à présent est mise en application dans le monde réel, dans un large éventail de sujets.

Supposons un point \N(P\N) sur la parabole avec un foyer \N(F\N), laissez \N(I\N) être la ligne tangente à la parabole à \N(P\N). La propriété de réflexion stipule que l'angle \(\theta_1\) qui se trouve entre le segment de droite \(PF\) et la ligne tangente \(I\) est égal à l'angle \(\theta_2\). \(\theta_2\) est l'angle entre la ligne \(I\) et la ligne passant par \(P\) et parallèle à l'axe des x. Cette propriété a de nombreuses applications :

Fig. 3. Une parabole avec sa propriété de réflexion.

Comme indiqué précédemment, le réflecteur d'un radiotélescope a une forme obtenue en faisant tourner la parabole autour de son axe, c'est-à-dire une parabole en trois dimensions. On peut supposer qu'une onde radio provenant d'une partie éloignée du système solaire ou de la galaxie est parallèle à l'axe de la parabole. Et la propriété susmentionnée de la parabole permet à l'onde de converger vers le foyer.

Fig. 4. Coupe transversale d'un radiotélescope et celle d'un phare de véhicule.

Dans les phares de tous les véhicules, cette propriété réfléchissante est utilisée. L'ampoule est placée au foyer de la parabole. Elle est placée de telle sorte que lorsque la lumière émane du réflecteur, les rayons se propagent dans une direction parallèle à l'axe de la parabole.

Forme du sommet d'une parabole

Par analogie, rappelle-toi qu'un cercle a une équation que nous appelons la forme du centre d'un cercle, où nous représentons un cercle directement par les coordonnées de son centre, c'est-à-dire \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\).

De même, nous avons également une forme pour la parabole, connue sous le nom deforme du sommet d'une parabole, qui représente la parabole directement par les coordonnées de son centre.

Une parabole, dont le centre est donné par \((h,k)\), est représentée par l'équation suivante :

$$y=a(x-h)^2+k$$.

On voit qu'en utilisant uniquement les coordonnées du centre et d'un point de la parabole, on peut obtenir l'équation d'une parabole. Nous pouvons également faire l'inverse ; en utilisant une équation donnée d'une parabole, nous pouvons la convertir sous la forme ci-dessus et ensuite déterminer les coordonnées du sommet.

Note que l'équation ci-dessus représente la classe des paraboles dont le grand axe est parallèle à l'axe des y. En remplaçant \(x\) par \(y\), nous obtenons une équation complémentaire qui représente les paraboles alignées dans la direction de l'axe des x.

Exemples sur les paraboles