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Dans cet article, nous allons définir ce que sont les variables en algèbre, et comment identifier et travailler avec les variables dans les expressions et les équations algébriques. Nous explorerons également l'ordre des opérations avec les variables et les concepts de variables dépendantes et indépendantes, en te montrant des exemples pratiques en cours de route.
Commençons par examiner l'origine des variables.
Introduction aux variables en algèbre
Lorsque tu dois résoudre des problèmes mathématiques, tu rencontres parfois des valeurs inconnues, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent changer. Au17e siècle, René Descartes a eu une idée géniale : représenter les inconnues dans les équations par \(x\N), \N(y\N) et \N(z\N), et les connues par \N(a\N), \N(b\N) et \N(c\N).1 L'idée était d'utiliser les lettres comme s'il s'agissait de nombres, afin de pouvoir trouver des solutions générales à des problèmes dont toutes les valeurs n'étaient pas connues. Cela a facilité la tâche des mathématiciens, en leur évitant de perdre du temps et de l'énergie à trouver toutes les solutions possibles.
Que sont les variables en algèbre ?
En algèbre, lesvariables sont des lettres utilisées pour représenter des valeurs inconnues qui peuvent changer.
Voyons quelques exemples dans la section ci-dessous.
Exemples de variables en algèbre
Les lettres les plus courantes utilisées comme variables en algèbre sont \N(x, y, z, a, b, m, n, p,\N) et \N(q,\N). Parmi celles-ci, les plus populaires sont \N(x) et \N(y). En sciences, \N(t\N) et \N(d\N) sont des variables très courantes utilisées pour désigner respectivement le temps et la distance.
Voici quelques exemples de variables :
a) Tu peux définir une variable \(h\) comme le nombre d'heures que tu passes sur Internet par jour.
\[h = \text{nombre d'heures passées sur Internet par jour}\]
b) Une variable \(m\) comme le nombre de briques de lait vendues par jour dans ton magasin local.
\[m = \text{nombre de briques de lait vendues par jour}\]
c) Une variable \(d\) comme le nombre de jours avant tes prochaines vacances.
\[d = \text{nombre de jours avant les vacances}\]
Les variables dans les expressions algébriques
Les variables sont d'une importance capitale en algèbre. Lorsque tu as un problème mathématique impliquant des valeurs inconnues ou changeantes, tu peux utiliser des variables pour les représenter dans des expressions algébriques, également connues sous le nom d'expressions variables. Rappelons ce que sont les expressions algébriques.
Lesexpressions al gébriques sont des calculs qui contiennent une combinaison de nombres, de variables et de symboles d'opérations.
Les expressions algébriques contiennent au moins une variable, et c'est ce qui les différencie des expressions arithmétiques. La figure 1 montre un exemple d'expression algébrique et ses différents composants.
Fig. 1. Exemple d'une expression algébrique.
Remarque que lorsque tu vois un nombre à côté d'une variable dans une expression algébrique, comme \(3x\) dans l'exemple ci-dessus, il représente une multiplication. Dans ce cas, \(3x\) signifie \(3\) fois la valeur de \(x\). Cela permet d'éviter toute confusion entre le symbole de multiplication \( \N-times \N) et la variable \N(x\N) couramment utilisée.
Un autre concept important que tu dois comprendre lorsque tu travailles avec des expressions algébriques est celui des termes.
Unterme peut être simplement un nombre (constant) ou une combinaison d'un nombre et d'une ou plusieurs variables.
Une expression algébrique est une combinaison de ces termes, séparés par des symboles d'opération.
Dans l'exemple ci-dessus,
\[3x + 1\]
\(3x) est le premier terme, où \N(3) est le coefficient et \N(x) est la variable,
\N(1 \NFlèche droite) est le second terme, qui est une constante.
Rappelle-toi qu'un coefficient est un nombre qui est multiplié par une variable. Si une variable n'a pas de coefficient, on suppose qu'elle vaut 1.
Évaluer une expression algébrique
La présence d'une variable dans une expression signifie que la valeur de l'expression sera différente selon la valeur de la variable utilisée pour l'évaluer.
Si tu as l'expression algébrique \(4x + 5\), et que tu l'évalues lorsque \(x = 2\). Le résultat sera le suivant.
\[4x + 5 = 4 \cdot \textbf2 + 5 = 8 + 5 = 13\]
Si tu l'évalues ensuite lorsque \(x = 3\), le résultat sera différent, comme tu peux le voir ci-dessous.
\4x + 5 = 4 \cdot \textbf3 + 5 = 12 + 5 = 17\]
Lis notre article sur les expressions linéaires pour en savoir plus sur ce sujet.
Variables dans les équations algébriques
Les équations algébriques se distinguent des expressions algébriques parce qu'elles contiennent un signe égal. Tu peux voir un exemple d'équation algébrique montrant tous ses composants dans la figure 2 ci-dessous.
Fig. 2. Exemple d'une équation algébrique.
Remarque que dans une équation algébrique, tu auras un côté gauche et un côté droit de l'équation. Le côté gauche de l'équation correspond au terme ou à la combinaison de termes du côté gauche du signe égal, et le côté droit de l'équation correspond au terme ou à la combinaison de termes du côté droit du signe égal.
Les deux côtés de l'équation doivent être égaux. Par conséquent, tu résous les équations algébriques pour trouver la valeur de la variable qui rend l'équation vraie.
Voyons un exemple.
Mike a commandé une chemise et une paire de chaussures. Il a dépensé un total de 100 $, et la chemise lui a coûté 45 $. Ceci peut être représenté par l'équation mathématique suivante :
\[45 + x = 100,\]
où :
\(x \Rightarrow\) est la variable qui représente la quantité que nous ne connaissons pas encore, qui est le coût des chaussures.
Nous pouvons résoudre \(x\) pour trouver le coût des chaussures. Pour cela, tu dois soustraire \(45\) des deux côtés de l'équation.
\N-\N-45 + x &= 100 \N-\N- \N- \Ncancel{45} - \N- \N- \Ntextbf{45}} + x &= 100 - \textbf{45} \\N-x &= 55\N-\N-]
Le coût des chaussures est de \(55 $).
Équations linéaires à deux variables
Les équations linéaires peuvent comporter plus d'une variable. Rappelons ce que sont les équations linéaires.
Les équationslinéaires sont des équations algébriques où le degré des variables est 1.
Le degré d'une variable est le nombre en exposant à côté de la variable. Par exemple, dans \(x^2\), le degré de \(x\) est \(2\). Dans \(x\), le degré est \(1\), généralement omis dans \(x^1\).
Les équations linéaires à deux variables peuvent être écrites sous la forme standard suivante :
\[ax + by + c = 0,\N]
où :
\(a\) et \(b\) \(\Rightarrow\) sont des nombres réels et les coefficients des variables \(x\) et \(y\),
\(c \Rightarrow\) est une constante.
Voici un exemple d'équation linéaire à deux variables sous forme standard :
\[-2x + y -1 = 0,\N-]
où :
\N(a = -2\N), \N(b = 1\N) et \N(c = -1\N).
Tu peux aussi trouver des équations linéaires écrites sous la forme de l'ordonnée à l'origine de la pente comme suit :
\N- [y = mx + b,\N]
où :
\N(m\N) \N(\Ndroite) est la pente,
\N(b \NFlèche droite) est l'ordonnée à l'origine.
\(y = 2x + 1\), est une équation linéaire à deux variables écrite sous forme de pente et d'ordonnée à l'origine, et elle représente graphiquement une ligne droite.
où :
\(m = 2\), et \(b = 1\).
Lis nos explications sur l'écriture d'équations linéaires et la résolution d'équations linéaires pour plus de détails et d'exemples.
Ordre des opérations avec les variables
L'ordre standard des opérations \(PEMDAS\), que tu utilises pour résoudre les opérations arithmétiques, s'applique également à la résolution des expressions algébriques. Rappelons ce que signifie l'acronyme \(PEMDAS\) :
\N(P \NFlèche droite \N) Parenthèses
\N(E \NFlèche droite \N) Exposants
\N(M \NFlèche droite) Multiplication
\N- (D \NFlèche droite \N) Division
\N- (A \NRightarrow \N) Addition
\N- (S \NFlèche droite \N) Soustraction
On résout d'abord les parenthèses, puis les exposants, suivis de la multiplication et de la division (effectuées dans l'ordre de gauche à droite), et enfin de l'addition et de la soustraction, également effectuées dans l'ordre de gauche à droite.
Si tu ne suis pas l'ordre correct des opérations, tu obtiendras un résultat erroné.
Lorsque tu résoudras des expressions algébriques, tu devras combiner des termes similaires. Lorsque deux termes ont des variables différentes, ils ne sont pas considérés comme des "termes similaires".
Les termessimilaires sont des termes de même nature, en fonction de leurs variables et de leurs puissances. Par exemple, les constantes sont toujours des termes semblables à d'autres constantes.
Voici quelques exemples pour te donner un peu de pratique.
a) Simplifie l'expression algébrique \(4x + 2x + 5(2^2 + 1)\), et évalue-la lorsque \(x = 2\).
En suivant les règles de \(PEMDAS\), tu dois d'abord résoudre l'opération à l'intérieur des parenthèses. À l'intérieur des parenthèses, tu as un exposant et une addition, alors résolvons-les dans cet ordre.
\N- [4x + 2x + 5(4 + 1)\N]
\N- [4x + 2x + 5 \cdot 5\N]
Ensuite, tu dois résoudre la multiplication,
\N- [4x + 2x + 25\N]
Tu peux maintenant combiner(ajouter ou soustraire) des termes semblables. Dans ce cas, \(4x\) et \(2x\) sont des termes similaires car ils ont la même variable \(x\).
\[6x + 25\quad \text{C'est l'expression algébrique simplifiée}\]
Nous pouvons maintenant l'évaluer lorsque \(x = 2\),
\[6x + 25 = 6 \cdot 2 + 25 = 12 + 25 = \textbf{37}\]
b) Simplifie l'expression algébrique \(4x + 2y + 3(x + 2)\), et évalue-la lorsque \(x = 1\) et \(y = 3\).
Encore une fois, tu dois d'abord résoudre l'opération à l'intérieur des parenthèses. Cependant, \(x\N) et \N(2\N) ne sont pas des termes semblables, tu ne peux donc pas les additionner. Pour résoudre les parenthèses dans ce cas, tu dois les développer, en multipliant \(3\) par chacun des termes à l'intérieur des parenthèses.
\N- [4x + 2y + 3x + 6\N]
Ensuite, tu dois combiner (ajouter ou soustraire) les termes semblables,
\N- [7x + 2y + 6\N]
Et enfin, tu peux l'évaluer pour les valeurs données des variables \(x\N) et \N(y\N).
\[7x + 2y + 6 = 7 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 6 = 7 + 6 + 6 = \textbf{19}\N]
Variables dépendantes et indépendantes
Les variables en algèbre peuvent être dépendantes ou indépendantes, selon que leur valeur dépend ou non de la valeur d'une autre variable.
Examinons chaque cas à tour de rôle.
Lesvariables indépendantes sont des variables qui ne dépendent pas de la valeur d'une autre variable.
En voici un exemple. Réfléchis au scénario suivant.
Si tu es payé \(10$) de l'heure pour ton travail. Le salaire que tu recevras chaque mois dépendra du nombre d'heures que tu travailleras dans le mois.
Cela peut être représenté par l'équation algébrique suivante :
\[s = 10h,\]
où :
\N(s \Nflèche droite \N) salaire mensuel,
\N(h \Nflèche droite \N) nombre d'heures travaillées dans le mois.
Dans ce cas, \(h\) est la variable indépendante, car elle ne dépend d'aucune autre variable. Tu contrôles le nombre d'heures que tu travailles.
Définissons maintenant ce que sont les variables dépendantes.
Lesvariables dépendantes sont des variables dont la valeur dépend de la valeur d'autres variables.
Revenons à notre scénario.
Dans l'équation algébrique,
\N[s = 10h,\N]
La variable dépendante est \(s\), car le montant que tu recevras comme salaire mensuel dépendra de la valeur de la variable \(h\).
Par exemple,
Si tu travailles \(80\) heures \((h = 80)\), alors ton salaire mensuel sera,
\[s = 10h = 10 \cdot 80 = \textbf{\$800}\]
Si tu ne parviens à travailler que \(55\N) heures \N((h = 55)\N), ton salaire mensuel sera de ,
\[s = 10h = 10 \cdot 55 = \textbf{\$550}\]
Les variables en algèbre - Principaux enseignements
- En algèbre, les variables sont des lettres utilisées pour représenter des valeurs inconnues qui peuvent changer.
- Les expressions algébriques sont des calculs qui contiennent une combinaison de nombres, de variables et de symboles d'opérations.
- Les expressions algébriques contiennent au moins une variable, et c'est ce qui les différencie des expressions arithmétiques.
- Les équations algébriques se distinguent des expressions algébriques parce qu'elles contiennent un signe égal.
- L'ordre standard des opérations \(PEMDAS\), que tu utilises pour résoudre les opérations arithmétiques, s'applique également à la résolution des expressions algébriques.
- En algèbre, les variables peuvent être dépendantes ou indépendantes, selon que leur valeur dépend ou non de la valeur d'une autre variable.
Références
- Sorell, Tom (2000). Descartes : Une très courte introduction. New York : Oxford University Press.
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