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La formule quadratique et le discriminant

Q: Qu'est-ce que la formule quadratique ?

La formule quadratique est utilisée pour trouver les solutions d'une équation quadratique ax² + bx + c = 0 : x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Q: Qu'est-ce que le discriminant ?

Le discriminant, noté Δ, est calculé par b² - 4ac et permet de déterminer le nombre et la nature des solutions d'une équation quadratique.

Q: Comment utiliser le discriminant pour résoudre une équation quadratique ?

Utiliser le discriminant : si Δ > 0, deux solutions réelles ; si Δ = 0, une solution réelle ; si Δ < 0, deux solutions complexes.

Q: Pourquoi le discriminant est-il important en mathématiques ?

Le discriminant est important car il indique combien de solutions réelles ou complexes une équation quadratique possède.

Jusqu'à présent, nous avons utilisé des techniques telles que la représentation graphique, la factorisation et l'application de la propriété de la racine carrée pour trouver des solutions exactes à certaines équations quadratiques. Nous avons également appris à résoudre des équations quadratiques en complétant le carré.

C'est parti

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Last Updated: 01.01.1970
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Bien que certaines de ces méthodes semblent être la meilleure option pour résoudre n'importe quel type d'équation quadratique, elles peuvent s'avérer assez difficiles si des fractions ou des décimales sont impliquées dans l'équation quadratique donnée. Mais ne crains rien ! Il existe une solution pour résoudre toute forme d'équation quadratique exprimée selon la définition ci-dessus. Cette solution est connue sous le nom de formule quadratique.

La formule quad ratique est un outil important utilisé pour déterminer les solutions de n'importe quelle équation quadratique. Nous pouvons appliquer ce concept lorsque nous résolvons des équations quadratiques qui ne peuvent pas être factorisées par des méthodes de factorisation standard.

Note que nous pouvons utiliser la formule quadratique pour trouver les solutions de n'importe quelle forme d'équation quadratique, même celles qui peuvent être factorisées.

La formule quadratique

Avant de nous plonger dans ce sujet, rappelons d'abord la forme standard d'une équation quadratique.

La forme standard d'une équation quadratique est la suivante $a x^{2} + b x + c = 0,$ où $a \neq 0 .$

En gardant cela à l'esprit, présentons maintenant la formule quadratique.

Pour une équation quadratique de la forme où les solutions sont données par la formule quadratique,

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Remarque que la formule quadratique comporte le signe"±" . Cela signifie que la formule produit deux solutions, à savoir

$x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a n d x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Étant donné que la formule quadratique nous indique les racines d'une équation quadratique donnée, nous pouvons facilement localiser ces points et tracer le graphique avec plus de précision.

Dérivation de la formule quadratique

La formule quadratique est obtenue en complétant le carré. Cette section explique sa dérivation étape par étape comme suit.

Étant donné la forme générale d'une équation quadratique $a x^{2} + b x + c = 0$ :

Étape 1 : Divise l'expression par a

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

Étape 2 : Soustrais $\frac{c}{a}$ de chaque côté

$x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$

Étape 3 : Complète le carré

$x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} \Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$

Étape 4 : factorise le côté gauche et simplifie le côté droit

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$

Étape 5 : Racine carrée de chaque côté

N'oublie pas le signe "±" !

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \Rightarrow x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Étape 6 : Soustrais $\frac{b}{2 a}$ de chaque côté

$x = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} - \frac{b}{2 a}$

Étape 7 : Simplifie l'expression

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Remarque : cette méthode pour compléter le carré est expliquée en détail dans la rubrique Compléter le carré. Cette discussion contient des exemples clairs qui montrent comment cette dérivation est appliquée à une équation quadratique donnée. Jette-y un coup d'œil si tu souhaites approfondir cette question !

Le discriminant

Dans les sections suivantes, nous allons examiner les propriétés des racines pour des équations quadratiques données. Nous ferons connaissance avec un nouveau concept appelé le discriminant. Le discriminant joue un rôle crucial dans la compréhension de la nature des racines d'une équation quadratique.

Avant de nous pencher sur l'idée d'un discriminant, nous devons nous familiariser avec plusieurs termes importants pour faciliter notre compréhension tout au long de cette discussion. Commençons par définir une racine rationnelle et une racine irrationnelle.

Une racine rationnelle est une solution qui peut être exprimée comme un quotient de deux nombres entiers.

Elles sont représentées sous la forme $\frac{p}{q}$ où p et q sont des entiers où p est la constante du polynôme et q le coefficient directeur.

Une racine irrationnelle est une solution qui ne peut pas être exprimée sous la forme d'un quotient de deux entiers. Elles sont souvent représentées par des décimales ou des surds qui ne se répètent pas à l'infini.

Ensuite, nous définirons ce que signifie un carré parfait. Ce concept est crucial lorsque nous commençons à utiliser la formule quadratique, car il détermine si les racines de notre équation quadratique donnée sont rationnelles ou irrationnelles, comme nous le verrons bientôt !

Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un nombre entier, c'est-à-dire le produit d'un nombre entier par lui-même. Il se présente sous la forme suivante $p \times p = p^{2}$ où p est un nombre entier. Essentiellement , $\sqrt{p^{2}} = p$ .

Les exemples incluent 9 (³²), 16 (⁴²), 25 (⁵²), etc.

Maintenant que nous avons trié nos définitions clés, passons au concept de discriminant et à sa relation avec les propriétés des racines.

Le discriminant et les propriétés des racines

Pour trouver le nombre de racines d'une équation quadratique donnée, nous utiliserons le discriminant. Nous pouvons également déterminer le type de racines que l'expression contient.

Le discriminant d'un polynôme quadratique est utilisé pour trouver le nombre et le type de solutions d'une équation quadratique. Il est décrit par la formule suivante

$D = b^{2} - 4 a c .$

Remarque qu'il s'agit de la composante à l'intérieur de la racine carrée dans la formule quadratique.

La condition d'un discriminant a trois cas.

Cas 1 : D > 0

Lorsque le déterminant est supérieur à zéro, ou en d'autres termes, b2^-4ac > 0, nous obtenons deux racines réelles distinctes. On peut encore les classer dans les catégories suivantes.

Si b2^-4ac est un carré parfait, nous avons deux racines rationnelles réelles ;
Si b2^-4ac n'est pas un carré parfait, nous avons deux racines irrationnelles réelles.

Le graphique de ce cas est illustré ci-dessous.

Discriminant case when D > 0, StudySmarter Originals

Cas du discriminant lorsque D > 0, StudySmarter Originals

Cas 2 : D = 0

Lorsque le déterminant est égal à zéro, ou en d'autres termes, b2^- 4ac = 0, nous obtenons une seule racine réelle. C'est ce qu'on appelle une racine répétée. Le graphique correspondant à ce cas est illustré ci-dessous.

Cas discriminant lorsque D = 0, StudySmarter Originals

Cas du déterminant lorsque D = 0, StudySmarter Originals

Cas 3 : D < 0

Lorsque le déterminant est inférieur à zéro, ou autrement dit, b2^-4ac < 0, nous obtenons deux racines complexes conjuguées. Cela signifie que notre solution est de la forme a + bi où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. Le graphique de ce cas est représenté ci-dessous.

Discriminant case when D < 0, StudySmarter Originals Cas du discriminant lorsque D < 0, StudySmarter Originals

Rappelle que l'unité imaginaire est $i = \sqrt{- 1} o r i^{2} = - 1$

Utilisation de la formule quadratique et du discriminant pour trouver les racines

Dans cette section, nous allons examiner quelques exemples pratiques qui démontrent l'application de la formule quadratique et du discriminant pour rechercher les solutions d'une équation quadratique donnée.

Deux racines rationnelles réelles

Résous l'équation quadratique suivante.

$x^{2} - 12 x - 28 = 0$

Calcule le discriminant et identifie le nombre et le type de racines que cette expression contient. Ensuite, utilise la formule quadratique pour évaluer ses solutions.

Solution

Étape 1: Identifie a, b et c

a = 1, b = - 12 a n d c = - 28

Étape 2: Calcule le discriminant

$D = b^{2} - 4 a c = {(- 12)}^{2} - 4 (1) (- 28) \Rightarrow D = 144 + 112 \Rightarrow D = 256$

Comme D > 0, il y a deux racines réelles distinctes.

Étape 3: Trouver les solutions

En utilisant la formule quadratique, nous obtenons

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 12) \pm \sqrt{256}}{2 (1)}$

Note que la composante à l'intérieur de la racine carrée est D, ou en d'autres termes $\sqrt{b^{2} - 4 a c} = \sqrt{D}$

$\Rightarrow x = \frac{12 \pm 16}{2}$

Ici, $b^{2} - 4 a c = D = 256$ est un carré parfait, nous obtenons donc une paire de racines rationnelles

$x = \frac{12 - 16}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 a n d x = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Les solutions sont donc $x = - 2 a n d x = 14$ .

Le graphique de cette équation quadratique est représenté ci-dessous. Les points verts représentent les solutions de l'expression.

Exemple 1, StudySmarter Originals

Deux racines réelles et irrationnelles

Résous l'équation quadratique suivante.

$2 x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Calcule le discriminant et identifie le nombre et le type de racines que cette expression contient. Ensuite, utilise la formule quadratique pour évaluer leurs solutions.

Solution

Étape 1: Identifie a, b et c

a = 2, b = 4 a n d c = - 5

Étape 2: Calcule le discriminant

$D = {(4)}^{2} - 4 (2) (- 5) \Rightarrow D = 16 + 40 \Rightarrow D = 56$

Comme D > 0, il y a deux racines réelles distinctes.

Étape 3: Trouve les solutions

En utilisant la formule quadratique, nous obtenons

$x = \frac{- (4) \pm \sqrt{56}}{2 (2)} \Rightarrow x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{14}}{4}$

Ici, $b^{2} - 4 a c = D = 56$ n'est pas un carré parfait, nous obtenons donc une paire de racines irrationnelles

$x = \frac{- 4 - 2 \sqrt{14}}{4} = - 1 - \frac{\sqrt{14}}{2} = - 2.87 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s) a n d x = \frac{- 4 + 2 \sqrt{14}}{4} = - 1 + \frac{\sqrt{14}}{2} = 0.87 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Les solutions sont donc $x = - 2.87 a n d x = 0.87$ .

Le graphique de cette équation quadratique est représenté ci-dessous. Les points verts représentent les solutions de l'expression.

Exemple 2, StudySmarter Originals

Note que tu peux garder les racines sous la forme exacte et que les décimales sont une réponse approximative.

Une racine réelle et répétée

Résous l'équation quadratique suivante.

$x^{2} + 22 x + 121 = 0$

Calcule le discriminant et identifie le nombre et le type de racines que cette expression contient. Ensuite, utilise la formule quadratique pour évaluer leurs solutions.

Solution

Étape 1: Identifie a, b et c

a = 1, b = 22 a n d c = 121

Étape 2 : Calcule le discriminant

$D = {(22)}^{2} - 4 (1) (121) \Rightarrow D = 484 - 484 \Rightarrow D = 0$

Comme D = 0, il y a une seule racine réelle distincte.

Étape 3: Trouve les solutions

En utilisant la formule quadratique, nous obtenons

$x = \frac{- (22) \pm \sqrt{0}}{2 (1)}$

En notant que $\sqrt{0} = 0$

$\Rightarrow x = \frac{- 22}{2} \Rightarrow x = - 11$

La solution est donc $x = - 11$ .

Le graphique de cette équation quadratique est tracé ci-dessous. Les points verts représentent les solutions de l'expression.

Exemple 3, StudySmarter Originals

Deux racines complexes

Résous l'équation quadratique suivante.

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Calcule le discriminant et identifie le nombre et le type de racines que cette expression contient. Ensuite, utilise la formule quadratique pour évaluer leurs solutions.

Solution

Étape 1: Identifie a, b et c

$a = 1, b = - 4 a n d c = 13$

Étape 2: Calcule le discriminant

$D = {(- 4)}^{2} - 4 (1) (13) \Rightarrow D = 16 - 52 \Rightarrow D = - 36$

Comme D < 0, il y a deux racines complexes conjuguées.

Étape 3: Trouve les solutions

En utilisant la formule quadratique, nous obtenons

$x = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{- 36}}{2 (1)}$

En notant que $\sqrt{- 1} = i$

$\Rightarrow x = \frac{4 \pm i \sqrt{36}}{2} \Rightarrow x = \frac{4 \pm 6 i}{2}$

En simplifiant, on obtient

$\Rightarrow x = 2 \pm 3 i$

Les solutions sont donc $x = 2 - 3 i a n d x = 2 + 3 i$ .

Le graphique de cette équation quadratique est représenté ci-dessous. Les points verts représentent les solutions de l'expression.

Exemple 4, StudySmarter Originals

Tu remarqueras qu'il n'y a pas de solutions sur ce graphique. C'est parce que les solutions sont imaginaires et ne peuvent pas être représentées dans le plan cartésien standard. Le plan cartésien est représenté par des nombres réels, pas par des nombres imaginaires ! Dans ce cas, nous pouvons essentiellement "supposer" la forme du graphique en nous basant sur le coefficient du terme ^x2 et sur l'ordonnée à l'origine donnée par l'équation quadratique initiale.

Discriminant d'une équation cubique

Dans cette section, nous allons examiner le discriminant d'une équation cubique et identifier les types de racines que l'expression possède, compte tenu de la valeur de son discriminant.

Pour une équation cubique de la forme (générale)

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ ,

où a ≠ 0, le discriminant est décrit par la formule suivante

$D = 18 a b c d + b^{2} c^{2} - 4 b^{3} d - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2}$ .

La formule d'évaluation du discriminant des équations cubiques peut être assez longue. Les questions, où cette formule peut être appliquée, sont souvent rares dans ce syllabus. Cependant, il peut être utile de savoir comment on procède pour plus de clarté.

Tout comme dans le cas des quadratiques, le discriminant des équations cubiques est soumis à trois conditions.

Cas 1 : D > 0

Lorsque le discriminant est supérieur à zéro, on obtient trois racines réelles (distinctes).

Disons que nous avons l'équation cubique $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ .

Ici, le discriminant est $D = 4 > 0$ .

Nous avons donc trois racines réelles distinctes. En factorisant cette expression, on obtient

$(x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0$

Les racines sont donc $x = 1, x = 2 a n d x = 3$ .

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 5, StudySmarter Originals

Cas 2 : D = 0

Cas 2(a) : Si le discriminant est égal à zéro et que ^b2 = 3ac, on obtient trois racines réelles répétées (racine triple distincte).

Disons que nous avons l'équation cubique $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ .

Ici, le discriminant est $D = 0$ .

Plus loin, ${(- 3)}^{2} = 9 = 3 (1) (3) = 9$ .

Nous avons donc trois racines réelles répétées. En factorisant cette expression, on obtient

${(x - 1)}^{3} = 0$

Les racines sont donc $x = 1$ .

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 6, StudySmarter Originals

Cas 2(b) : Si le discriminant est égal à zéro et que ^b2 ≠ 3ac, on obtient deux racines réelles répétées (racine double distincte) et une racine réelle (distincte).

Disons que nous avons l'équation cubique $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ .

Ici, le discriminant est $D = 0$ .

Plus loin, ${(- 4)}^{2} = 16 \neq 3 (1) (5) = 15$ .

Nous avons donc deux racines réelles répétées et une racine réelle. En factorisant cette expression, on obtient

${(x - 1)}^{2} (x - 2) = 0$

Les racines sont donc $x = 1 a n d x = 2$ .

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 7, StudySmarter Originals

Cas 3 : D < 0

Lorsque le discriminant est inférieur à zéro, nous obtenons une racine réelle (distincte) et une paire de racines complexes conjuguées.

Disons que nous avons l'équation cubique $x^{3} - x^{2} + 16 x - 16 = 0$ .

Ici, le discriminant est $D = - 18496 < 0$ .

Nous avons donc une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. En factorisant cette expression, on obtient

$(x - 1) (x^{2} + 16) = 0$

Les racines sont donc $x = 1, x = 4 i a n d x = - 4 i$ .

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 8, StudySmarter Originals

La formule quadratique et le discriminant - Principaux enseignements

La formule quadratique est utilisée pour déterminer les solutions d'une équation quadratique donnée.
Pour une équation quadratique de la forme, $a x^{2} + b x + c = 0,$ la formule quadratique est $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Le discriminant est utilisé pour trouver le nombre et le type de solutions d'une équation quadratique. Il est donné par la formule D = ^b2 - 4ac.
Les conditions du discriminant sont résumées dans le tableau suivant.

Valeur du discriminant	Type et nombre de racines	Graphique
D > 0, D est un carré parfait	2 racines rationnelles réelles	Graphique lorsque D > 0, Aishah Amri - StudySmarter Originals
D > 0, D n'est pas un carré parfait	2 racines irrationnelles réelles
D = 0	1 Racine réelle répétée	Graphique lorsque D = 0, Aishah Amri, StudySmarter Originals
D < 0	2 racines complexes conjuguées	Graphique lorsque D = 0, Aishah Amri, StudySmarter Originals

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Questions fréquemment posées en La formule quadratique et le discriminant

Qu'est-ce que la formule quadratique ?

La formule quadratique est utilisée pour trouver les solutions d'une équation quadratique ax² + bx + c = 0 : x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Qu'est-ce que le discriminant ?

Le discriminant, noté Δ, est calculé par b² - 4ac et permet de déterminer le nombre et la nature des solutions d'une équation quadratique.

Comment utiliser le discriminant pour résoudre une équation quadratique ?

Utiliser le discriminant : si Δ > 0, deux solutions réelles ; si Δ = 0, une solution réelle ; si Δ < 0, deux solutions complexes.

Pourquoi le discriminant est-il important en mathématiques ?

Le discriminant est important car il indique combien de solutions réelles ou complexes une équation quadratique possède.

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