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\[\mathbf{2}\times 10=\mathbf{5}\times 4=\mathbf{10}\times 2=20\]
\[\mathbf{2}\times 25=\mathbf{5}\times 10=\mathbf{10}\times 5=50\]
En examinant notre dérivation ci-dessus, nous pouvons déduire que les nombres 2, 5 et 10 partagent deux multiples, à savoir 20 et 50. Ces nombres partagés sont appelés multiples communs. Cet article présente une méthode permettant d'identifier les multiples communs d'un ensemble donné de nombres.
Récapitulation : Les multiples
Pour nous familiariser avec ce sujet, faisons un rapide tour d'horizon de notre précédent sujet sur les multiples.
Un multiple d'un nombre entier non nul \N(A\N) est un nombre entier non nul \N(C\N) qui peut être obtenu en le multipliant par un autre nombre, disons \N(B\N).
En d'autres termes, \N(C\N) est un multiple de \N(A\N) si \N(C\N) figure dans la table de multiplication de \N(A\N).
Le multiple d'un nombre, disons \N(A\N), est donné par la formule générale,
\[\text{Multiple de}\ a=a\times z\]
où \(z\in\mathbb{Z}\). En d'autres termes ,
si \(A\times B=C\) alors \(A\) et \(B\) sont des diviseurs (ou facteurs) de \(C\),
ou \N- C\Nest un multiple de \N- A\N (et aussi de \N- B\N).
Pour trouver un ensemble particulier de multiples pour un nombre donné, nous pouvons utiliser la table de multiplication.
Comme dans notre exemple ci-dessus, les nombres 20 et 50 sont des multiples de 2, 5 et 10. Le tableau suivant présente d'autres multiples de 2, 5 et 10.
Nombre | 6 premiers multiples non nuls |
2 | 2, 4, 6, 8, 10, 12 |
5 | 5, 10, 15, 20, 25, 30 |
20 | 20, 40, 60, 80, 100, 120 |
Tu trouveras une explication plus approfondie des multiples dans la rubrique intitulée Multiples.
Définition d'un multiple commun et méthode
Définissons maintenant un multiple commun.
Un multiple commun est un multiple partagé entre deux nombres (ou plus).
L'identification d'un ou de plusieurs multiples communs pour un ensemble donné de nombres est assez simple. Étant donné un ensemble de nombres, il te suffit d'exécuter deux étapes :
Étape 1 : dresse la liste des multiples de chaque nombre donné dans l'ensemble ;
Étape 2: choisis tous les multiples identiques partagés dans les listes écrites à l'étape 1.
Rappelle-toi qu'il existe un nombre infini de multiples pour tout nombre entier. En gardant cette propriété à l'esprit, une restriction peut être introduite à l'étape 1. Dans la plupart des cas, la question définira un intervalle pour lequel les multiples communs sont satisfaits pour un ensemble donné de nombres.
Par exemple, tu peux recevoir des questions qui utilisent la phrase "trouve les deux premiers multiples communs de 2 et 3" ou "liste les multiples communs de 2 et 3 entre 1 et 10". Cependant, une restriction d'intervalle n'est pas nécessaire ici. Mais on peut affirmer sans risque de se tromper qu'aucun individu ne peut dresser à la main la liste de tous les multiples communs d'un ensemble donné de nombres. Cela prendrait des tonnes d'encre et de papier !
Remarque importante : bien que zéro soit en effet un multiple commun pour n'importe quel ensemble de nombres, tu ne dresseras généralement la liste que des multiples communs non nuls (nous y reviendrons dans la section suivante).
Voici un exemple de recherche de multiples communs pour un ensemble donné de nombres.
Fais la liste de tous les multiples communs (non nuls) de 9, 12 et 15 entre 1 et 100.
Solution
La restriction d'intervalle ici est que nous devons énumérer les multiples de 9, 12 et 15 entre 1 et 100. Nous commencerons par énumérer ces multiples à l'aide du tableau ci-dessous.
| Nombre | Multiples entre 1 et 100. |
| 9 | 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 |
| 12 | 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 |
| 15 | 15, 30, 45, 60, 75, 90 |
En regardant le tableau ci-dessus, il n'y a pas de multiples communs visibles de 9, 12 et 15 pour cet intervalle. Cependant, tu peux en déduire les idées suivantes :
- Les multiples communs de 9 et 12 sont 36 et 72 pour cet intervalle ;
- Les multiples communs de 9 et 15 sont 45 et 90 pour cet intervalle ;
- Le multiple commun de 12 et 15 est 60 pour cet intervalle.
Voici un autre exemple travaillé.
Donne la liste des 2 premiers multiples communs non nuls de 5 et de 17.
Solution
La restriction d'intervalle ici est que nous devons énumérer les 2 premiers multiples non nuls de 5 et 17.
Parfois, l'énumération des multiples peut être assez fastidieuse, surtout lorsque les nombres sont très éloignés les uns des autres. Comme dans notre cas, la différence entre 5 et 17 est assez grande, et la liste des multiples de 5 peut prendre un certain temps jusqu'à ce que nous en trouvions un qui soit également un multiple de 17.
Dans ce genre de situation, il est conseillé d'énumérer les multiples du plus grand nombre et de vérifier si ces multiples sont aussi des multiples du plus petit nombre. Pour ce faire, nous vérifions qu'ils sont divisibles l'un par l'autre (cela sera expliqué plus en détail dans la section suivante).
Pour cet exemple, écrivons les quelques premiers multiples non nuls de 17.
Multiples de 17 : 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170, 187,...
À partir de cette liste, on peut observer que 85 et 170 sont bien divisibles par 5 puisque \(5 fois 17=85\) et \(5 fois 34=170\). Ainsi, les 2 premiers multiples communs non nuls de 5 et 17 sont 85 et 170.
Voyons encore un exemple avant de passer à la section suivante.
Fais la liste de tous les multiples communs de 11 et 13 compris entre 130 et 300.
Solution
La restriction d'intervalle ici est que nous devons énumérer les multiples de 11 et 13 entre 130 et 300. Comme précédemment, nous commencerons par énumérer ces multiples à l'aide du tableau ci-dessous.
| Nombre | Multiples entre 130 et 300 |
| 11 | 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 220, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297 |
| 13 | 130, 143, 156, 169, 182, 195, 208, 221, 234, 247, 260, 273, 286, 299 |
D'après le tableau ci-dessus, observe qu'il y a deux multiples communs de 11 et 13 entre 130 et 300, à savoir 143 et 286.
Le concept de multiple commun est principalement utilisé pour trouver le plus petit multiple commun (ou LCM) entre un ensemble donné de nombres. Il s'agit du plus petit multiple commun partagé entre deux (ou plusieurs) nombres. Tu trouveras une discussion approfondie sur ce sujet dans l'article : Le plus petit commun multiple.
Essaie toi-même : Réponds aux questions suivantes.
- Quels sont les deux premiers multiples communs non nuls de 16 et 27 ?
- Quels sont les multiples communs de 9 et 12 entre 22 et 140 ?
Solutions
Question 1 : 432, 864
Question 2 : 36, 72, 108
Propriétés des multiples communs
Avant de passer à d'autres exemples impliquant des multiples communs, établissons quelques propriétés importantes des multiples communs.
Propriété | Exemple |
Un ensemble de nombres peut avoir plus d'un multiple commun. | 6 est un multiple commun de 3 et 6. Cependant, ce n'est pas le seul multiple commun de 3 et 6. Les nombres 12, 18 et 24 sont également d'autres multiples communs de 3 et 6. |
Un ensemble de nombres peut avoir un nombre infini de multiples communs. | Les multiples communs de 5 et 8 comprennent 40, 80, 120, 160, ... Les valeurs ne cesseront d'augmenter et la liste s'allongera à l'infini. |
Le multiple commun d'un ensemble de nombres est toujours supérieur ou égal à chacun des nombres eux-mêmes (à l'exclusion de 0). | Les multiples communs de 2 et 4 entre 1 et 10 sont 4 et 8. Remarque que le multiple 4 est plus grand que le nombre donné 2 mais égal au nombre donné 4. Le multiple 8, par contre, est plus grand que les deux nombres 2 et 4. |
L'ensemble des nombres donnés divise le multiple commun sans laisser de reste. Ces nombres sont appelés les facteurs. | Un multiple commun de 8 et de 17 est 136. La division de 136 par chacun de ces nombres ne produira pas de reste puisque \(8\Nfois 17=136\N) et \N(17\Nfois 8=136\N). |
Tout nombre entier non nul est un multiple de 0 puisque tout nombre entier non nul multiplié par 0 est égal à 0. Dans la plupart des cas, nous ne considérerons que les multiples communs non nuls. | Puisque \(7\times 0=0\) et \(9\times 0=0\) alors 0 est un multiple commun de 7 et 9. |
Exemples de multiples communs
Nous terminerons ce sujet en examinant quelques exemples plus travaillés concernant les multiples communs.
Fais la liste de tous les multiples communs de 6, 8 et 10 compris entre 1 et 100.
Solution
Pour commencer, nous allons énumérer les multiples de chaque nombre donné entre 1 et 100. Cette liste est présentée dans le tableau ci-dessous.
| Nombre | Multiples entre 1 et 100 |
| 6 | 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96 |
| 8 | 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 |
| 10 | 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 |
D'après le tableau ci-dessus, nous constatons qu'il n'y a pas de multiples communs de 6, 8 et 10 entre 1 et 100. Cependant, nous pouvons effectivement conclure les relations suivantes :
- Les multiples communs de 6 et 8 sont 24, 48, 72 et 96 pour cet intervalle.
- Les multiples communs de 6 et 10 sont 30, 60 et 90 pour cet intervalle.
- Les multiples communs de 8 et 10 sont 4 et 80 pour cet intervalle.
Passons maintenant à un autre exemple.
Fais la liste des 4 premiers multiples communs non nuls de 2, 7 et 14.
Solution
Tout d'abord, remarque que 2 est relativement situé loin de 7 et 14 sur la droite numérique. Il est donc judicieux d'énumérer les multiples de 7 et de 14 et de comparer leurs multiples communs. À partir de là, tu vérifieras si ces multiples communs sont également divisibles par 2.
Multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,...
Multiples de 14 : 14, 28, 42, 56, 70,...
Remarque que les 4 premiers multiples communs non nuls de 7 et 14 sont 14, 28, 42 et 56.Ces quatre nombres sont pairs, ce qui signifie qu'ils sont également divisibles par 2. Ainsi, les 4 premiers multiples communs non nuls de 2, 7 et 14 sont 14, 28, 42 et 56 .
Nous allons examiner un dernier exemple faisant intervenir des multiples communs.
Donne la liste des 3 premiers multiples communs non nuls de 3 et 19.
Solution
La différence entre 3 et 19 est assez importante. Par conséquent, comme pour notre exemple précédent, nous n'allons énumérer que les multiples de 19 et vérifier s'ils sont également divisibles par 3.
Multiples de 19 : 19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190,...
Dans cette liste, nous constatons que les nombres 57, 114 et 171 sont également divisibles par 3 puisque \(3 fois 19=57\), \(3 fois 138=114\) et \(3 fois 57=171\). Par conséquent, les 3 premiers multiples communs non nuls de 3 et 19 sont 57, 114 et 171.
Exemples du monde réel impliquant des multiples communs
Voici une question intéressante : pouvons-nous appliquer les multiples communs dans des situations de la vie réelle ? En fait, c'est possible ! Dans cette section, nous allons présenter deux exemples de scénarios du monde réel qui résument tout ce que nous avons appris au cours de cette discussion.
Polly et Hannah décident de rendre visite à tour de rôle à leur ami, Ben, à l'hôpital. Polly propose de rendre visite à Ben tous les 3 jours tandis qu'Hannah lui rend visite tous les 5 jours. Si toutes deux ont rendu visite à Ben aujourd'hui, combien de temps s'écoulera-t-il avant qu'elles ne le revoient le même jour ?
Solution
Ici, nous devons simplement trouver le premier multiple commun non nul des jours 3 et 5. Nous prendrons aujourd'hui comme premier multiple des jours 3 et 5, ce qui correspond au jour 0. N'oublie pas que tout nombre entier non nul est un multiple de 0 puisque tout nombre entier non nul multiple de 0 est égal à 0 (propriété 5 des multiples communs).
Écrivons maintenant les multiples communs de 3 et de 5 :
Multiples de 3 : 2, 6, 9, 12, 15, 18,...
Multiples de 5 : 5, 10, 15, 20,...
D'après ces deux listes, nous constatons que 15 est le premier multiple commun non nul de 3 et de 5. Par conséquent, la prochaine fois que Polly et Hannah rendront visite à Ben ensemble, ce sera le 15e jour.
Voici le dernier exemple du monde réel pour ficeler cet article.
Rory et Tana font du jogging autour d'une piste de course circulaire. Rory met 12 minutes pour faire un tour tandis que Tana met 16 minutes. Si les deux quittent le point de départ en même temps, écris les deux prochaines fois où ils repasseront tous les deux ensemble au point de départ.
Solution
En utilisant une approche similaire à celle de l'exemple précédent, nous devons trouver les deux premiers multiples communs non nuls des minutes 12 et 16. Si l'on considère que la première fois qu'ils quittent le point de départ est la minute 0, nous pouvons maintenant dresser la liste des multiples de 12 et de 16.
Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108,...
Multiples de 16 : 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,...
En regardant les listes ci-dessus, tu remarqueras que 48 et 96 sont les deux premiers multiples communs non nuls de 12 et 16. Ainsi, Rory et Tana passeront à nouveau le départ ensemble aux minutes 48 et 96.
Multiples communs - Points clés
- Un multiple commun est un multiple qui est partagé entre deux nombres.
- Pour trouver les multiples communs d'un ensemble donné de nombres :
- Fais la liste des multiples de chaque nombre donné dans l'ensemble ;
- Choisis les multiples identiques partagés dans les listes écrites à l'étape 1.
Propriétés importantes des multiples communs :
Un ensemble de nombres peut avoir plus d'un multiple commun
Un ensemble de nombres peut avoir un nombre infini de multiples communs.
Le multiple commun d'un ensemble de nombres est toujours supérieur ou égal à chacun des nombres eux-mêmes.
L'ensemble de nombres donné divise le multiple commun sans laisser de reste.
Tout nombre entier non nul est un multiple de 0 puisque tout nombre entier non nul multiplié par 0 est égal à 0.
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