Différentiation Implicite

Les fonctions implicites sont des fonctions qui contiennent deux variables inconnues (x et y) dans lesquelles la variable dépendante n'est pas isolée d'un côté de l'équation. Parfois, en raison de la complexité des équations, il n'est pas facile de réarranger l'équation de sorte que y puisse être résolu en termes de x pour effectuer une différenciation normale. La différenciation implicite est une méthode qui permet de différencier y par rapport à x (\(\frac{dy}{dx}\)) sans avoir à résoudre y.

C'est parti Inscris-toi gratuitement
Différentiation Implicite Différentiation Implicite

Crée des supports d'apprentissage sur Différentiation Implicite avec notre appli gratuite!

  • Accès instantané à des millions de pièces de contenu
  • Fiches de révision, notes, examens blancs et plus encore
  • Tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens
Inscris-toi gratuitement

Des millions de fiches spécialement conçues pour étudier facilement

Inscris-toi gratuitement

Convertis des documents en flashcards gratuitement avec l'IA

Tables des matières
Table des mateères

    La différenciation implicite peut également être utilisée pour décrire la pente et la concavité des courbes qui sont définies par les équations paramétriques. Ces types d'équations décrivent souvent des courbes de fonctions implicites. Les dérivées peuvent alors être utilisées pour construire les équations des tangentes et des droites normales des courbes.

    Comment effectue-t-on la différenciation implicite ?

    Pour les fonctions explicites de la forme \(y = ax+\)... nous effectuons une différenciation standard en utilisant la règle de la chaîne. Cependant, si les fonctions sont écrites implicitement sous la forme \(x + y = a\), nous utilisons alors une variante de la règle de la chaîne en raison de l'hypothèse selon laquelle y peut être exprimée comme une fonction de x.

    • Nous différencions toutes les variables des deux côtés de l'équation (côté gauche et côté droit) par rapport à x. Cependant, pour les termes y, nous les multiplions par \(\frac{dy}{dx}\).

    • Après avoir différencié, nous résolvons \(\frac{dy}{dx}\).

    Un cercle est décrit par l'équation ci-dessous. Trouve la dérivée du cercle.

    \N- [x^2 + y^2 = 49\N]

    Solution :

    Nous différencions d'abord chaque partie de l'équation. Cependant, pour le terme y, nous devons également le multiplier par dy/dx.

    \[\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(49)\]

    \N- [2x + 2y \Nfrac{dy}{dx} = 0\N]

    \N- [\Nfrac{dy}{dx} = - \Nfrac{2x}{2y}\N]

    Trouve \(\frac{dy}{dx}\) si

    \N- [x^5 + y^2 - x \Ncdot y = 9\N]

    Solution :

    \[\frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(9) = 0]

    Dans cet exemple, nous avons également la multiplication de deux variables, ce qui signifie que nous devons également inclure la règle du produit pour différencier le terme xy .La formule de la règle du produit est la suivante.

    \[\frac{d}{dx}(uv) = v\frac{d}{dx}(u) + u\frac{d}{dx}(v)\]

    La formule de la dérivée du terme xy est donc :

    \[\frac{d}{dx}(xy) = y\frac{d}{dx}(x) + x\frac{d}{dx}(y)\N].

    Si nous suivons la procédure ci-dessous, nous obtenons :

    \[5x^4 + 2y \frac{dy}{dx} - (1y + x\frac{dy}{dx}) = 0\].

    \N- [5x^4 + 2y\frac{dy}{dx} - y -x\frac{dy}{dx} = 0\N]

    \[\frac{dy}{dx}(2y - x) = y - 5x^4\]

    Et en résolvant pour \(\frac{dy}{dx}\) :

    \[\frac{dy}{dx} = \frac{y-5x^4}{2y-x}\]

    Différenciation implicite d'ordre supérieur.

    Pour la différenciation d'ordre supérieur, nous procédons de la même manière ; cependant, pour trouver la dérivée seconde, nous devons différencier la dérivée première, et pour trouver la dérivée troisième, nous devons différencier la dérivée seconde, et ainsi de suite. Nous pouvons généraliser cela en utilisant la formule.

    Ici, n est l'ordre de la dérivée.

    \[\frac{d^ny}{dx^n} = \frac{d}{dx} (\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}})\]

    Pour différencier des fonctions implicites, nous continuons avec les règles de différenciation implicite mentionnées plus tôt afin de trouver d'abord la dérivée d'ordre inférieur. Pour trouver les dérivées d'ordre supérieur, nous devons également appliquer la formule ci-dessus.

    Trouve la dérivée seconde de l'expression suivante.

    \N- [x^2 + 2y = 3\N]

    Différenciation par rapport à x :

    \[2x + 2\frac{dy}{dx} = 0\]

    \N- [\Nfrac{dy}{dx} = -x\N]

    Différenciant à nouveau par rapport à x :

    \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{d^2y}{dx^2} = -1\N-]

    Comment trouver l'équation de la tangente d'une courbe en utilisant la différenciation implicite ?

    Nous pouvons trouver l'équation d'une tangente - qui est une ligne droite - en utilisant la procédure de différenciation implicite pour trouver la pente d'une courbe. Si le point de tangence est connu, l'équation d'une ligne droite peut être trouvée à l'aide de la formule ci-dessous, où x1,y1 sont les coordonnées du point et a est la pente ou la dérivée de la courbe.

    \N- [y - y_1 = a(x-x_1)\N]

    Une courbe a une équation comme ci-dessous.

    \N- [x^3 + x^2 + xy = 3\N]

    Trouve l'équation de la tangente au point où x = 1.

    Nous commençons par trouver le point de tangence. Nous pouvons le faire en substituant la coordonnée donnée, pour trouver la coordonnée y possible.

    \N- 1^3 + 1^2 + 1y = 3 \NFlèche droite y = 1\N]

    Pour déterminer l'équation de la tangente, nous avons également besoin de la pente de la courbe au point de tangence.

    \[\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^2)+ \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx} (3)\]

    \(3x^2 + 2x + y+ x\frac{dy}{dx} = 0 \frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 2x -y}{x} = \frac{-3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 -1}{1} = 6\)

    Nous pouvons construire l'équation de la tangente à l'aide de la formule donnée.

    \N(y-y_1 = a(x-x_1) \NFlèche droite y-1 = 6(x-1) \NFlèche droite y = -6x + 7\N)

    Comment trouver l'équation de la normale à une courbe à l'aide de la différenciation implicite ?

    De la même façon, nous suivons le même processus pour trouver l'équation de la normale à une courbe. Cependant, la pente de la normale est toujours l'inverse négatif de la pente de la tangente de la courbe, comme le montre la formule ci-dessous où N et T indiquent respectivement la pente de la normale et de la tangente.

    \(pente_N \cdot pente_T = -1\)

    Trouve la pente de la normale à la courbe donnée dans l'exemple précédent.

    Solution :

    En poursuivant l'exemple précédent, la pente de la normale peut être trouvée en utilisant la dérivée qui a été trouvée.

    \(\frac{dy}{dx} = -6\)

    En utilisant la formule de la pente de la normale à la courbe, la pente de la normale est la réciproque négative de la pente de la courbe puisqu'elle est perpendiculaire à la courbe. La pente de la normale est donc de 1/6. En utilisant la formule de construction d'une ligne droite, l'équation de la normale est la suivante.

    \(y - y_1 = \frac{dy}{dx}(x - x_1)\)

    \(y -1 = \frac{1}{6}(x -1) \Flèche droite y = \frac{x}{6} + \frac{5}{6}\)

    Différenciation implicite - Principaux enseignements

    • La différenciation implicite est une méthode utilisée lorsque les deux variables inconnues sont utilisées dans une équation qui n'est pas isolée d'un côté de l'équation.

    • Tous les termes sont différenciés et le terme y doit être multiplié par \(\frac{dy}{dx}\).

    • La différenciation implicite d'ordre supérieur est utilisée lorsqu'une dérivée de second ou de troisième ordre est nécessaire. La dérivée d'ordre inférieur est différenciée pour trouver l'ordre de dérivée requis.

    • L'équation d'une tangente et d'une normale à une courbe décrite par des équations implicites peut être trouvée en utilisant la dérivée implicite et les coordonnées.

    Questions fréquemment posées en Différentiation Implicite
    Qu'est-ce que la différentiation implicite?
    La différentiation implicite est une méthode pour trouver la dérivée d'une fonction lorsque les variables sont imbriquées de manière complexe.
    Quand utilise-t-on la différentiation implicite?
    On utilise la différentiation implicite lorsqu'on ne peut pas isoler facilement la variable dépendante dans une équation.
    Comment différencie-t-on implicitement une équation?
    Pour différencier implicitement une équation, on dérive chaque terme de l'équation par rapport à x tout en appliquant la règle de la chaîne.
    Quelles sont les applications de la différentiation implicite?
    La différentiation implicite est utile dans des domaines comme la physique et l'économie, où les relations entre variables sont souvent complexes.

    Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

    Lance-toi dans tes études
    1
    À propos de StudySmarter

    StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

    En savoir plus
    Équipe éditoriale StudySmarter

    Équipe enseignants Mathématiques

    • Temps de lecture: 7 minutes
    • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
    Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

    Sauvegarder l'explication

    Inscris-toi gratuitement

    Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !

    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    La première appli d'apprentissage qui a réunit vraiment tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.

    • Fiches & Quiz
    • Assistant virtuel basé sur l’IA
    • Planificateur d'étude
    • Examens blancs
    • Prise de notes intelligente
    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    Obtiens un accès illimité avec un compte StudySmarter gratuit.

    • Accès instantané à des millions de pièces de contenu.
    • Fiches de révision, notes, examens blancs, IA et plus encore.
    • Tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.
    Second Popup Banner