Analyse Fonctionnelle: 'Méthodes', 'Applications'

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Définition de l'analyse fonctionnelle

L'analyse fonctionnelle est une branche des mathématiques qui étudie les fonctions en recherchant le comportement d'une fonction donnée et en identifiant les relations et les hypothèses qui peuvent en découler.

Tout au long de ce sujet, nous ne traiterons que des fonctions réelles à une variable. À la fin de cet article, tu devrais te familiariser avec les concepts suivants :

Identifier le domaine et l'étendue d'une fonction
Reconnaître les fonctions paires et impaires
Trouver les ordonnées x et y d'une fonction

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Avant de nous plonger dans ce sujet, rappelons d'abord la définition d'une fonction.

Une fonction est une expression, également appelée règle, qui définit la relation entre une variable (entrée indépendante) et une autre variable (sortie dépendante). Elle est communément désignée par y = f(x) où x et y sont liés de telle sorte que pour chaque valeur de x, il existe une valeur unique de y qui obéit à la règle f.

Tu trouveras ci-dessous un exemple de fonction.

Disons que nous avons la fonction $f : ℝ \mapsto ℝ$ définie par

f (x) = x + 2

Celle-ci décrit une fonction qui prend un nombre, une entrée, et ajoute 2. Par exemple, pour une entrée x = 1, nous avons une sortie f(1) = 3. De même, pour une entrée x = 4, nous avons une sortie f(4) = 6.

Le domaine et l'étendue

Pour tracer une fonction, il est essentiel de connaître la "taille" des variables. C'est ce que l'on appelle le domaine et l'étendue d'une fonction. Ces deux termes sont expliqués ci-dessous.

Le domaine d'une fonction, f, est l'ensemble de toutes les valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Les éléments du domaine sont représentés par une variable indépendante, ou valeur d'entrée, qui ne dépend d'aucune autre quantité mais varie librement. Elle est souvent désignée par x.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs résultantes que f prend, correspondant aux valeurs d'entrée d'une fonction. Les éléments de l'intervalle dépendent des valeurs du domaine et sont parfois appelés valeur de sortie.

La notation générale du domaine et de l'étendue d'une fonction est la suivante

$D o m a i n (f) = \{x : x \in A, A \in ℝ\}$

$R a n g e (f) = {f (x) : x \in D o m a i n (f)}$

Note que $ℝ$ ci-dessus représente l'ensemble de toutes les valeurs réelles qui représentent l'intervalle $(- \infty, \infty)$ . Voici une représentation visuelle d'un domaine et d'un intervalle en ce qui concerne une fonction. Rappelle l'exemple de la fonction f que nous avions introduit plus tôt.

Représentation graphique d'un domaine, d'un intervalle et d'une fonction, StudySmarter Originals

Cette représentation suggère qu'une fonction fonctionne comme une machine qui transforme les éléments du domaine, les entrées, en éléments du codomaine. Les sorties réelles de cette "machine de transformation" seront les éléments du domaine, les sorties.

Il existe de nombreux types de fonctions à considérer dans le domaine des mathématiques. Nous avons les fonctions polynomiales, les fonctions exponentielles, les fonctions trigonométriques, etc. Dans les sections suivantes, nous résumerons les formules générales utilisées pour trouver le domaine et l'étendue associés à chaque type de fonction (généralement vus dans ce syllabus).

Domaine et étendue des fonctions polynomiales

Nous allons tout d'abord noter les trois types de polynômes que nous utiliserons souvent tout au long de ce sujet.

fonctions linéaires, $f (x) = a x + b$
fonctions quadratiques, $f (x) = a x^{2} + b x + c$
fonctions cubiques, $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

Le domaine de toute fonction polynomiale est l'ensemble de tous les nombres réels, IR.

L'étendue d'une fonction linéaire et cubique est également l'ensemble de tous les nombres réels, IR.

L'étendue d'une fonction quadratique de la forme $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$ est

$R a n g e (f) = {f (x) \geq k, i f a > 0}$ ou $R a n g e (f) = {f (x) \leq k, i f a < 0}$ .

Trouve le domaine de la fonction $f (x) = 3 x - 1$ .

Solution

Il s'agit d'une fonction linéaire. Par conséquent, le domaine et l'étendue de cette fonction sont l'ensemble de tous les nombres réels, IR. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 1, StudySmarter Originals

Domaine et étendue des fonctions de racine carrée

Pour la fonction standard de racine carrée, $f (x) = \sqrt{x}$ , le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels, IR et l'étendue est f(x) ≥ 0.

Pour une fonction racine carrée générale de la forme $f (x) = \sqrt{g (x)}$ , où g(x) est une fonction de x, le domaine est l'ensemble des fonctions où g(x) ≥ 0 et l'étendue est f(x) ≥ 0.

Détermine le domaine et l'étendue de la fonction. $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

Solution

Le domaine est l'ensemble des valeurs où la composante à l'intérieur de la racine carrée est supérieure ou égale à zéro, autrement dit,

x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

Ainsi, le domaine est l'ensemble des valeurs où x est supérieur ou égal à 1. L'étendue est f(x) ≥ 0, pour x ≥ 1. Le graphique est représenté ci-dessous.

Exemple 2, StudySmarter Originals

Domaine et étendue des fonctions de racine cubique

Pour toute fonction contenant une racine cubique, qu'il s'agisse de la forme standard $f (x) = \sqrt[3]{x}$ ou la forme générale $f (x) = \sqrt[3]{g (x)}$ le domaine et l'étendue sont tous deux l'ensemble de tous les nombres réels, IR.

Quels sont le domaine et l'étendue de la fonction $f (x) = \sqrt[3]{2 - x}$ .

Solution

Le domaine et l'étendue de toute fonction racine cubique sont l'ensemble de tous les nombres réels, IR. En traçant le graphique de cette fonction, nous constatons que le domaine et l'étendue satisfont effectivement l'ensemble de tous les nombres réels, IR.

Exemple 3, StudySmarter Originals

Domaine et étendue des fonctions exponentielles

Pour une fonction exponentielle de la forme $f (x) = a^{x}$ où a est un nombre réel quelconque, le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels, IR.

L'étendue donnera toujours des valeurs réelles positives, c'est-à-dire que f(x) > 0.

Etant donné le graphique de la fonction $f (x) = e^{x}$ ci-dessous, détermine son domaine et son étendue.

Exemple 4, StudySmarter Originals

Solution

En observant le graphique ci-dessus, nous constatons que le domaine correspond à l'ensemble des nombres réels. L'étendue est f(x) > 0.

Domaine et étendue des fonctions logarithmiques

Pour une fonction logarithmique de la forme $f (x) = \log_{a} x$ où a est un nombre réel quelconque, le domaine est x > 0 tandis que l'étendue est l'ensemble de tous les nombres réels.

La fonction $f (x) = \log_{e} x$ peut aussi s'écrire $f (x) = \ln (x)$ . Elle est également connue sous le nom de fonction logarithme naturel. Quels sont le domaine et l'étendue de cette fonction ?

Solution

Le domaine est ici x > 0. L'intervalle, quant à lui, est l'ensemble de tous les nombres réels, IR. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 5, StudySmarter Originals

Domaine et étendue des fonctions rationnelles

Les fonctions rationnelles sont des fonctions qui peuvent être représentées par une fraction rationnelle. Elle est généralement désignée par $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}$ , où p et q sont tous deux des fonctions polynomiales de x et q(x) ≠ 0.

Le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels sauf pour lesquels le dénominateur est égal à zéro, soit . ${x \in ℝ | q (x) \neq 0}$ .

L'étendue est ici la même que le domaine de l'inverse de cette fonction rationnelle f ou autrement dit , $R a n g e (f) = D o m a i n (f^{- 1})$ .

Étant donné la fonction $f (x) = \frac{3 - x}{x + 5}$ trouve le domaine et l'étendue.

Solution

Nous allons d'abord essayer de trouver le domaine de cette fonction. Pour trouver la valeur exclue du domaine de la fonction, égalise le dénominateur à zéro et résous x.

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$

Ainsi, le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels sauf x = -5, ${x \in ℝ | x \neq - 5}$ . En d'autres termes, le graphique n'est pas défini à x = -5. Ensuite, trouvons l'étendue en évaluant l'inverse de cette fonction. Soit y = f(x). Maintenant, en interchangeant les x et les y de notre fonction donnée, nous obtenons

$x = \frac{3 - y}{y + 5}$

En résolvant pour y, on obtient

$x (y + 5) = 3 - y \Rightarrow x y + 5 x = 3 - y \Rightarrow x y + y = 3 - 5 x \Rightarrow y (x + 1) = 3 - 5 x \Rightarrow y = \frac{3 - 5 x}{x + 1}$

L'inverse de f est donc

$f^{- 1} (x) = \frac{3 - 5 x}{x + 1}$

La valeur exclue du domaine de cette fonction inverse peut être trouvée en égalant le dénominateur à zéro et en résolvant pour x. Ainsi,

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$

Le domaine de cette fonction inverse est l'ensemble des nombres réels à l'exception de x = -1. Cependant, dans ce cas, ce domaine est l'étendue de notre fonction, f(x). Ainsi, l'intervalle de la fonction donnée est ${y \in ℝ | y \neq - 1}$ . Le graphique n'est pas défini à y = -1. Le graphique est tracé ci-dessous.

Exemple 6, StudySmarter Originals

Dans le graphique ci-dessus, les lignes (en rouge) x = -5 et y = -1 représentent la région pour laquelle la fonction n'est pas définie.

Domaine et étendue des fonctions trigonométriques

Observe le graphique des fonctions sinus (ligne verte) et cosinus (ligne bleue), f(x) = sin(x) et f(x) = cos(x), ci-dessous.

Graphique des sinus et des cosinus, StudySmarter Originals

Graphique du sinus et du cosinus, StudySmarter Originals

Remarque que la valeur des fonctions oscille entre -1 et 1 et qu'elle est définie pour tous les nombres réels. Ainsi, pour chaque fonction sinus et cosinus, le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels, R et l'étendue est -1 ≤ f(x) ≤ 1. Ici, l'étendue peut également être désignée par [-1, 1].

Fonctions paires et impaires

Les fonctions paires et impaires sont des fonctions qui satisfont à une règle de symétrie particulière. Pour vérifier si une fonction est paire ou impaire, il suffit de substituer x à la fonction donnée et d'observer si elle satisfait à la condition de fonction paire ou impaire, que nous établirons ci-dessous. Nous allons examiner ces deux types de fonctions et identifier leurs propriétés respectives.

Fonction paire

Une fonction f est paire lorsque

$f (- x) = f (x)$ ,

pour tout x dans le domaine de la fonction.

D'un point de vue géométrique, le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire que la fonction reste inchangée lorsqu'elle est réfléchie autour de l'axe des ordonnées. Les propriétés des fonctions paires sont les suivantes :

La somme de deux fonctions paires est paire ;
La différence entre deux fonctions paires est paire ;
Le produit de deux fonctions paires est pair ;
Le quotient de deux fonctions paires est pair ;
La dérivée d'une fonction paire est impaire ;
La composition de deux fonctions paires est paire ;
La composition d'une fonction paire et d'une fonction impaire est paire.

Prenons un exemple.

Détermine si la fonction suivante est paire.

$f (x) = x^{2} + 2$

Solution

Substituons -x dans notre fonction comme ci-dessous.

$f (- x) = {(- x)}^{2} + 2 \Rightarrow f (- x) = x^{2} + 2 \Rightarrow f (- x) = f (x)$

Puisque $f (- x) = f (x)$ nous concluons que cette fonction est bien une fonction paire. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 7, StudySmarter Originals

Remarque que la courbe est réfléchie autour de l'axe des y.

Fonction impaire

Une fonction f est impaire lorsque

$f (- x) = - f (x)$ ,

pour tout x dans le domaine de la fonction.

D'un point de vue géométrique, le graphique d'une fonction impaire présente une symétrie de rotation par rapport à l'origine. Essentiellement, la fonction reste inchangée lorsqu'elle est tournée de ^180o autour de l'origine. Tu trouveras ci-dessous les propriétés des fonctions impaires :

La somme de deux fonctions impaires est impaire ;
La différence entre deux fonctions impaires est impaire ;
Le produit de deux fonctions impaires est pair ;
Le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire est impair ;
Le quotient de deux fonctions impaires est pair ;
Le quotient d'une fonction paire et d'une fonction impaire est impair ;
La dérivée d'une fonction impaire est paire ;
La composition de deux fonctions impaires est impaire.

Voici un exemple.

Vérifie si la fonction suivante est impaire.

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{4}$

Solution

En introduisant -x dans la fonction donnée, on obtient

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{3} - 2 (- x)}{4} \Rightarrow f (- x) = \frac{{- x}^{3} + 2 x}{4} \Rightarrow f (- x) = - (\frac{x^{3} - 2 x}{4}) \Rightarrow f (- x) = - f (x)$

Puisque $f (- x) = - f (x)$ on en déduit que cette fonction est impaire. Tu trouveras ci-dessous un croquis du graphique.

Exemple 8, StudySmarter Originals

Remarque que la courbe est réfléchie par rapport à l'origine.

Une fonction peut-elle être à la fois paire et impaire ?

Il n'y a qu'une seule fonction qui réponde à ce critère : la fonction constante identiquement nulle, f(x) = 0. Le domaine et l'étendue sont l'ensemble de tous les nombres réels, IR.

Note que la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire n'est ni paire ni impaire, sauf si l'une des fonctions est égale à zéro sur un domaine donné.

Il est également possible d'avoir des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires. Voici un exemple qui le montre.

Observe la fonction suivante.

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x$

Si nous substituons -x à cette fonction, nous obtenons une fonction complètement différente puisque

$f (- x) = 2 {(- x)}^{2} + 3 (- x) \Rightarrow f (- x) = 2 x^{2} - 3 x$

En traçant le graphique de f(x), observe que le graphique n'est pas réfléchi par rapport à l'axe des y et qu'il ne présente pas non plus de symétrie de rotation par rapport à l'origine. Cela signifie que le graphique n'est ni pair ni impair.

Exemple 9, StudySmarter Originals

Fonctions périodiques

Les fonctions périodiques sont utilisées pour décrire les fonctions trigonométriques en particulier en raison de la présence d'oscillations et d'ondes dans leurs graphiques.

Une fonction périodique est une fonction qui se répète sur des intervalles réguliers (ou périodes). Une fonction, f est périodique, P si

$f (x + P) = f (x)$ ,

pour toutes les valeurs de x dans le domaine de la fonction. Ici, [...] $P \neq 0$ est une constante.

Une fonction qui n'est pas périodique est dite apériodique. Voici un exemple de ce type de fonction.

Revenons à notre fonction sinus de la section précédente.

Exemple 10, StudySmarter Originals

Observe maintenant le graphique ci-dessus. La fonction se répète sur des intervalles de longueur $2 π$ $Cela implique$ que la fonction sinus est périodique avec une période, $P = 2 π$ puisque

$\sin (x + 2 π) = \sin (x)$

pour toutes les valeurs de x.

Points d'interception

Les points d'interception d'une fonction sont les points où la fonction croise les axes du graphique. Tu trouveras ci-dessous un exemple explicite des deux points d'interception à prendre en compte lors de la représentation graphique de fonctions en deux dimensions.

L'ordonnée à l'origine est le point où la fonction f traverse l'axe des x. Pour trouver l'ordonnée à l'origine, il suffit de résoudre f(x) = 0.

L'ordonnée à l 'origine est un point où la fonction f croise l'axe des ordonnées. Pour trouver l'ordonnée à l'origine, remplace x = 0 par f(x).

Les points d'ordonnée à l'origine sont importants pour déduire le changement de signe de la courbe pour une fonction donnée. Prenons un exemple.

Étant donné la fonction ci-dessous, trouve ses ordonnées x et y.

$f (x) = x^{2} - 7 x - 8$

Solution

Nous commençons par trouver les ordonnées à l'origine. Pour ce faire, nous allons assimiler la fonction à zéro, f(x) = 0.

$x^{2} - 7 x - 8 = 0$

En factorisant cette expression, nous obtenons

$(x - 8) (x + 1) = 0$

En utilisant la propriété du produit nul et en résolvant pour x, nous obtenons

$x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$

Ainsi, les ordonnées x sont x = -1 et x = 8. Cherchons maintenant l'ordonnée à l'origine. En remplaçant x = 0 dans notre fonction, on obtient

$f (0) = {(0)}^{2} - 7 (0) - 8 = - 8$

L'ordonnée à l'origine est donc y = -8. Le graphique est affiché ci-dessous.

Exemple 11, StudySmarter Originals

Remarque qu'entre les ordonnées x, x = -1 et x = 8, la fonction tombe en dessous de l'axe des x, ce qui signifie que l'intervalle dans ce domaine est négatif. Cependant, l'étendue avant x = -1 et après x = 8 est positive.

Points d'intersection

Disons qu'on nous donne une paire de fonctions, f et g. On nous demande de trouver le(s) point(s) où les deux fonctions se rencontrent. C'est ce qu'on appelle le point d'intersection. Ce point est défini ci-dessous.

Supposons que nous ayons deux fonctions définies par f et g. Le(s) point(s) d'intersection de ces deux graphiques est(sont) la(les) valeur(s) de x pour laquelle(lesquelles)

$f (x) = g (x)$ .

La valeur exacte des points d'intersection peut être trouvée en résolvant algébriquement l'expression ci-dessus. Tu trouveras ci-dessous un exemple qui illustre cette méthode.

Étant donné les fonctions f (en bleu) et g (en rouge) ci-dessous.

$f (x) = x^{2} - x g (x) = 2 x + 1$

Déduis-en leurs points d'intersection. Les deux fonctions sont représentées sur le même graphique ci-dessous.

Exemple 12, StudySmarter Originals

Solution

En regardant le graphique ci-dessus, nous voyons qu'il y a deux points d'intersection pour cette paire de fonctions. Nous devons mettre en équation f(x) = g(x) et résoudre x pour trouver les coordonnées x de ces points d'intersection.

$f (x) = g (x) \Rightarrow x^{2} - x = 2 x + 1 \Rightarrow x^{2} - x - 2 - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Observe que nous ne pouvons pas factoriser l'équation dans la dernière ligne ci-dessus. Pour résoudre x, nous devons utiliser la formule quadratique.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 (1) (- 1)}}{2 (1)} \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Nous avons donc deux valeurs de x, à savoir $x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} a n d x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ . Nous laisserons notre solution sous cette forme radicale.

Pour trouver les coordonnées y correspondantes, il suffit de substituer ces valeurs x trouvées dans l'une ou l'autre des fonctions données, f ou g. Pour plus de simplicité, nous utiliserons la fonction g pour trouver nos valeurs y.

$g (\frac{3 - \sqrt{13}}{2}) = 2 (\frac{3 - \sqrt{13}}{2}) + 1 = 3 - \sqrt{13} + 1 = 4 - \sqrt{13} \Rightarrow g (\frac{3 - \sqrt{13}}{2}) = 4 - \sqrt{13}$

$g (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}) = 2 (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}) + 1 = 3 + \sqrt{13} + 1 = 4 + \sqrt{13} \Rightarrow g (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}) = 4 + \sqrt{13}$

Les points d'intersection sont donc

$(\frac{3 - \sqrt{13}}{2}, 4 - \sqrt{13}) a n d (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}, 4 + \sqrt{13})$

Autres composants pour l'esquisse de graphique

Jusqu'à présent, nous avons examiné les informations de base nécessaires pour esquisser le graphique d'une fonction donnée. Dans les rubriques suivantes de cette section, nous allons nous familiariser avec d'autres éléments fondamentaux qui peuvent être utiles lors de l'esquisse de graphiques de fonctions. Il s'agit notamment de :

Trouver les limites d'une fonction.
Identifier les asymptotes. Ceci est expliqué dans la rubrique Asymptotes.
Localiser les points maximum et minimum d'une courbe. Tu trouveras cette information ici : Maxima et Minima
Utiliser les dérivées pour trouver les points critiques et les points de flexion. Un aperçu détaillé de ce sujet se trouve ici : Trouver les maxima et les minima à l'aide des dérivés

En se familiarisant avec ces méthodes, l'esquisse des graphiques peut être beaucoup plus simple et précise.

Analyse fonctionnelle - Principaux enseignements

Le thème de l'analyse fonctionnelle examine les fonctions en étudiant leurs comportements et leurs tendances.
Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs résultantes que f prend, en fonction du domaine.
Une fonction est paire lorsque $f (- x) = f (x)$ pour tout x.
Une fonction est impaire lorsque $f (- x) = - f (x)$ pour tout x.
Une fonction est périodique si $f (x + P) = f (x)$ pour tout x.
L'ordonnée à l'origine est un point où la fonction croise l'axe des x, f(x) = 0.
L'ordonnée à l'origine est un point où la fonction croise l'axe des ordonnées, f(0).
Le point d'intersection de deux graphiques est la valeur de x où $f (x) = g (x)$ .

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Questions fréquemment posées en Analyse Fonctionnelle

Qu'est-ce que l'analyse fonctionnelle en mathématiques ?

L'analyse fonctionnelle est une branche des mathématiques qui étudie les espaces vectoriels avec des structures (topologiques, métriques) et les opérateurs linéaires y agissant.

Quels sont les concepts clés de l'analyse fonctionnelle ?

Les concepts clés incluent les espaces de Banach, les espaces de Hilbert, les opérateurs linéaires, et les normes.

À quoi sert l'analyse fonctionnelle ?

L'analyse fonctionnelle sert à résoudre des problèmes dans les équations différentielles, la physique quantique, et diverses autres disciplines des sciences.

Qu'est-ce qu'un espace de Banach ?

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet, ce qui signifie que toute suite de Cauchy converge dans cet espace.

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