Théorème de l'emplacement des racines
Considère l'équation suivante :
y = (x-2) (x + 4) (x-6)
Le graphique suivant montre la courbe correspondante.
Graphique de la fonction y = (x-2) (x + 4) (x-6)
D'après le graphique ci-dessus, on peut voir que les points d'intersection de la courbe avec l'axe des X sont à x = -4, x = 2 et x = 6. Ainsi, les racines de l'équation donnée sont -4, 2 et 6.
Regarde maintenant les points du graphique marqués A (correspondant à x = 1) et B (correspondant à x = 4). A se trouve au-dessus de l'axe des X, et B se trouve en dessous de l'axe des X. Étant donné que le graphique est continu entre A et B (il y a une ligne ininterrompue reliant A et B sur le graphique), cela implique qu'il doit nécessairement y avoir au moins une racine entre A et B. Pour que la courbe passe d'au-dessus de l'axe des X à en dessous, elle doit traverser l'axe des X à un moment donné.
Le fait que le graphique soit continu dans l'intervalle entre A et B est ici une condition nécessaire. Si le graphique était discontinu, rien n'obligerait la ligne à croiser l'axe des X. Par exemple, tu pourrais avoir une fonction qui diverge à une asymptote verticale dans l'intervalle donné.
Nous pouvons généraliser la discussion ci-dessus pour obtenir le théorème de localisation des racines :
Si la fonction f (x) est continue sur l'intervalle [a, b] et que f (a) et f (b) ont des signes opposés, alors f (x) a au moins une racine, x, qui se trouve entre a et b, c'est-à-dire a < x < b.
La satisfaction de la condition ci-dessus signifie qu'il existe au moins une racine entre \(\x = a\) et \(\x = b\). Cependant, cela ne signifie pas nécessairement qu'il n'y a qu'une seule racine entre \(\x = a\) et \(\x = b\). Par exemple, considérons les points C et D du graphique ci-dessus. C et D remplissent la condition selon laquelle ils sont de signes opposés (la valeur de la fonction est positive en C et négative en D), mais nous pouvons voir sur le graphique qu'il y a trois racines entre C et D et non pas une seule.
Inversement, ce n'est pas parce que deux points se trouvent du même côté de l'axe des X (c'est-à-dire que la valeur de f (x) a le même signe pour deux valeurs de x) qu'il n'y a pas nécessairement de racines entre eux. Considère les points A et C sur le graphique. Tous deux sont au-dessus de l'axe des X, c'est-à-dire que la valeur de f (x) est positive à ces deux points. Cependant, nous voyons qu'il y a deux racines distinctes (à \(\x = 2\) et \(\x = 6\)) entre ces deux points.
Applications du théorème de l'emplacement des racines
L'application du théorème de localisation des racines ne peut pas être utilisée directement pour trouver la ou les racines exactes d'une fonction. Cependant, il peut être très utile pour estimer l'emplacement approximatif des racines d'une fonction. Dans de nombreuses méthodes, le théorème de localisation des racines est appliqué pour trouver une première approximation des racines d'une fonction. L'application successive du théorème est utilisée pour se rapprocher de façon itérative de la ou des racines de la fonction. Consulte notre article sur les méthodes itératives pour plus de détails.
Dans la section suivante, nous allons résoudre quelques exemples de problèmes sur l'emplacement des racines.
Problèmes sur l'emplacement des racines
Exemple 1
Montre que la fonction f(x) = x³ - x + 5 a au moins une racine entre x = -2 et x = -1.
Solution 1
f(-2) = -2³ - (-2) + 5 = -1
f(-1) = -1³ - (-1) + 5 = 5
Puisque f(-2) est négative et f(-1) positive, selon le théorème de localisation des racines, cela implique qu'il y a au moins une racine de f(x) entre -2 et -1.
Exemple 2
Etant donné f (x) = x³ - 4x² + 3x + 1, montre que f (x) a une racine entre 1,4 et 1,5.
Solution 2
f (1,4) = 1,4³ - 4 x 1,4² + 3 x 1,4 + 1 = 0,104
f (1.5) = 1.5³ - 4 x 1.5² + 3 x 1.5 + 1 = -0.125
Puisque f(1,4) est positive et que f(1,5) est négative, selon le théorème de localisation des racines, cela implique qu'il existe au moins une racine de f(x) entre 1,4 et 1,5.
Exemple 3
Pour une fonction quadratique f(x), f(2) = 3,6, f(3) = -2,2, f(4) = -0,1, f(5) = 0,9.
D'après les informations ci-dessus, peut-on conclure qu'il existe une racine entre
a) 2 et 3 ?
b) 3 et 4 ?
c) 4 et 5 ?
Solution 3
a) Nous voyons qu'il y a un changement de signe entre f(2) (positif) et f(3) (négatif). On peut donc dire qu'il y a au moins une racine de f(x) entre 2 et 3.
b) Nous constatons qu'il n'y a pas de changement de signe entre f(3) (négatif) et f(4) (négatif). S'il devait y avoir une racine entre f(3) et f(4), il faudrait qu'il y en ait au moins deux puisque le signe devrait changer pour devenir positif puis redevenir négatif. Mais nous savons que les équations quadratiques ont au plus deux racines, et nous avons déjà trouvé un emplacement différent pour une racine. Cela signifie qu'il n'y a pas de racine de f(x) entre 3 et 4.
c) Nous voyons qu'il y a un changement de signe entre f(4) (négatif) et f(5) (positif). Nous pouvons donc dire que la racine restante de la quadratique f(x) se trouve entre 4 et 5.
Emplacement des racines - Principaux enseignements
- Une racine de la fonction f(x) est une valeur de x pour laquelle f(x) = 0.
- Le graphique correspondant à y = f(x) croise l'axe des X aux points correspondant à l'emplacement des racines de la fonction.
- Le théorème de l'emplacement des racines stipule que : Si la fonction f(x) est continue sur l'intervalle [a, b] et que f (a) et f (b) sont de signes opposés, alors f(x) a au moins une racine, x, qui se trouve entre a et b, c'est-à-dire a < x < b.
- La satisfaction du théorème de localisation des racines signifie qu'il y a au moins une racine entre x = a et x = b. Cependant, cela ne signifie pas nécessairement qu'il n'y a qu'une seule racine entre x = a et x = b.
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