Plus petit dénominateur commun

Imagine que tu organises un dîner de Thanksgiving et que tout le monde décide de te donner une fraction de sa pizza. Peux-tu déterminer la quantité de pizza en ta possession? Pour y parvenir, il faut comprendre le concept du plus petit dénominateur commun. C'est ce que tu apprendras ci-après.

C'est parti Inscris-toi gratuitement
Plus petit dénominateur commun Plus petit dénominateur commun

Crée des supports d'apprentissage sur Plus petit dénominateur commun avec notre appli gratuite!

  • Accès instantané à des millions de pièces de contenu
  • Fiches de révision, notes, examens blancs et plus encore
  • Tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens
Inscris-toi gratuitement

Des millions de fiches spécialement conçues pour étudier facilement

Inscris-toi gratuitement

Convertis des documents en flashcards gratuitement avec l'IA

Tables des matières
Table des mateères

    Cet article explorera la définition du plus petit dénominateur commun, ainsi que des exemples d'application de ce concept.

    Qu'est-ce que le plus petit dénominateur commun ?

    Dans une liste de fractions, le plus petit dénominateur commun (PDC) est le plus petit multiple commun aux dénominateurs des fractions. On l'appelle souvent le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs.

    Cela semble compliqué, mais ce n'est pas vraiment le cas. Jetons un coup d'œil à un exemple :

    Le plus petit dénominateur commun de \( \frac{2}{3}\) et \( \frac{3}{4}\) est \(12\), puisque \(12\) est un multiple des deux dénominateurs \((3\) et \(4),\) et c'est le plus petit multiple de ces nombres que tu puisses trouver.

    Lorsqu'une liste de fractions est donnée et que l'on doit déterminer l'ACL, on cherche le plus petit nombre suffisamment grand pour être divisé par chaque dénominateur de la liste sans qu'il y ait de reste.

    Qu'est-ce qu'un dénominateur commun ?

    Un dénominateur commun est un nombre qui peut être divisé par d'autres dénominateurs sans qu'il y ait de reste. Ce nombre est un multiple d'autres dénominateurs.

    Tu considères les fractions34 et 56: leur dénominateur commun doit être divisible par les deux dénominateurs (4 et 6) sans qu'il y ait de reste. Ainsi, pour trouver leur dénominateur commun, tu dois considérer des multiples de chaque dénominateur.

    Les multiples de 4 sont : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...

    Les multiples de 6 sont : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...

    Parmi les multiples des deux dénominateurs énumérés ci-dessus, les multiples communs sont 12, 24, 36... C'est vrai car lorsque ces nombres sont divisés par les dénominateurs 4 et 6, ils n'ont pas de reste.

    Cependant, les multiples d'un nombre sont infinis. Imagine le nombre de nombres qui s'écriraient comme des multiples de 4 et 6, nous serions probablement à court de papiers. Les mathématiciens ont donc imaginé le plus petit dénominateur commun ou le plus petit multiple commun, qui utilise uniquement le plus petit nombre qui est un multiple parmi un ensemble de nombres.

    Ainsi, le plus petit dénominateur commun entre 4 et 6 est 12.

    Comment trouver le plus petit dénominateur commun ?

    Il existe quatre méthodes pour trouver le plus petit dénominateur commun :

    1. Règles de l'ACL

    2. Liste des multiples

    3. Produit des facteurs premiers

    4. Produit de facteurs premiers combinés.

    Règles simples pour trouver l'ACL

    L'une des façons de résoudre le LCM ou le LCD est d'appliquer les règles du LCD. Remarque que ces règles ne s'appliquent de préférence qu'à un ensemble de deux nombres. Elles peuvent également être utilisées dans une liste de nombres supérieurs à deux mais peuvent être plus complexes si elles ne sont pas bien appliquées.

    Voici les règles de l'ACL :

    Dénominateurs égaux

    Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, l'ACL est ce dénominateur.

    Un dénominateur les domine tous

    Si un nombre parmi un ensemble de dénominateurs est un multiple de tous les autres nombres de cet ensemble, le LCM est ce multiple.

    Dénominateurs premiers

    L'ACL d'un ensemble de dénominateurs qui sont des nombres premiers est le produit de ces nombres premiers. Tu dois t'assurer que ces dénominateurs sont des nombres premiers.

    Pas de facteurs communs

    L'ACL d'une liste de dénominateurs qui n'ont pas de facteur commun est le produit de ces dénominateurs. Tu dois t'assurer qu'aucun nombre ne peut diviser n'importe quelle paire sans qu'il y ait un reste.

    L'astuce du facteur commun

    S'il existe un facteur commun entre un ensemble de deux nombres, l'ACL s'obtient en suivant les deux étapes suivantes :

    1. Divise l'un des deux nombres par leur facteur commun le plus élevé pour obtenir le premier résultat.
    2. Multiplie ton premier résultat par l'autre nombre. Ce résultat devient l'ACL.

    Exemples de règles du plus petit dénominateur commun

    Dénominateurs égaux - exemple

    Par exemple, l'ACL entre les fractions 32 et 12 est de 2 car le dénominateur des fractions est le même.

    Un seul dénominateur les régit tous - exemple

    L'IVC entre 34, 12, et 320 est 20. En effet, dans la liste des dénominateurs de 2, 4 et 20, nous avons que 2 et 4 sont des facteurs de 20. Ainsi, 20 est un multiple de 2 et de 4, donc 20 est l'ACL.

    Dénominateurs premiers - exemple

    L'IVC entre 23 et 15 est 15. Ces dénominateurs 3 et 5 sont des nombres premiers. Ainsi ,

    3×5=15

    15 est l'ACL ici.

    Pas de facteurs communs - exemple

    L'écran LCD entre 79 et 310 est de 90. Les dénominateurs 9 et 10 ne sont pas des nombres premiers. Plus important encore, il n'y a pas de facteur commun entre ces deux nombres. L'ACL est donc

    9×10=90

    L'épineux avec un facteur commun - exemple

    L'ACL entre 38 et 720 est 40. Le facteur commun le plus élevé entre 8 et 20 est 4. Divise 8 par 4 et ta première réponse est 2. Multiplie ensuite ton premier résultat, qui est deux, par l'autre nombre, 20,

    2×20=40

    L'ACL, dans ce cas, est donc 40.

    Dans certains cas, il se peut que tu ne puisses pas comprendre quelle règle de l'ACL tu dois appliquer. Dans ce cas, les méthodes suivantes pour trouver le plus petit dénominateur commun d'une liste de fractions sont très utiles.

    Méthode de la liste des multiples

    Dans cette méthode, tu dois dresser une liste de multiples de chaque dénominateur. Ensuite, tu choisis le plus petit multiple commun parmi tous les multiples énumérés - c'est-à-dire le nombre le plus à gauche qui apparaît dans les deux listes. Pour appliquer cette méthode, tu dois connaître la table de multiplication

    Trouve l'ACL de 12, 34 et 56.

    Solution :

    Étape 1. Quels sont les dénominateurs ?

    Les dénominateurs sont 2, 4 et 6.

    Étape 2. Écris le multiple de ces nombres.

    Les multiples de 2 sont 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

    Les multiples de 4 sont 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 , 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...

    Les multiples de 6 sont 0, 6, 12, 18, 24 , 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...

    Tu remarqueras que 12 et 24 sont des multiples communs de 2, 4 et 6. Mais nous voulons le plus petit multiple commun. Notre plus petit multiple commun est donc 12. Cela signifie que notre ACL est 12 .

    Quand utiliser la méthode des listes de multiples

    Note que la méthode des listes de multiples est mieux utilisée lorsque

    1. Les nombres impliqués sont petits, quelque chose entre 2 et 12, par exemple, 2, 3, 4, 5, 6, 7.... 12. Au-delà de 12, il devient difficile d'écrire les multiples !

    2. Il n'y a pas plus de 3 fractions.

    Plus techniquement, le nombre d'éléments d'un ensemble s'appelle la cardinalité de l'ensemble. La méthode des listes s'applique donc mieux aux ensembles de fractions dont la cardinalité est inférieure ou égale à 3.

    Par exemple, trouver l'ACL entre 25 et 27 ou entre 12, 13 et 34. Cela permettrait de réduire les erreurs et le temps passé à trouver l'ACL.

    Trouve l'ACL entre 25 et 27

    Solution :

    Étape 1. Quels sont les dénominateurs ?

    Les dénominateurs sont 5 et 7

    Étape 2. Écris le multiple de ces nombres.

    Les multiples de 5 sont 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, ...

    Les multiples de 7 sont 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, ...

    D'après ce qui précède, il est clair que l'ACL est 35.

    Trouve l'ACL entre12, 13 et 34.

    Solution :

    Étape 1. Quels sont les dénominateurs ?

    Les dénominateurs sont 2, 3 et 4.

    Étape 2. Écris le multiple de ces nombres.

    Les multiples de 2 sont 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

    Les multiples de 3 sont 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 , 27, 30, 33, 36, ...

    Les multiples de 4 sont 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...

    Tu remarqueras que 12 et 24 sont des multiples communs de 2, 4 et 6. Mais nous voulons le plus petit multiple commun. Notre plus petit multiple commun est donc 12. Cela signifie que notre ACL est 12.

    3. La différence entre deux nombres quelconques d'une liste n'est pas supérieure à 10.

    Tous ces éléments doivent être pris en compte avant d'appliquer cette méthode , car elle t'aide à rester dans la fourchette de ta table de multiplication.

    Méthode du produit des facteurs premiers

    La méthode du produit des facteurs premiers consiste à écrire chaque nombre d'un ensemble comme le produit de ses facteurs premiers. Rappelle-toi qu'un facteur premier est un nombre premier qui divise un autre nombre sans qu'il y ait de reste.

    Trouve l'ACL entre 1124 et 710.

    Solution :

    Étape 1 : écris les dénominateurs.

    Les dénominateurs sont 24 et 10.

    Étape 2 : Exprime chaque dénominateur comme un produit de son facteur premier. Pour y parvenir, tu dois suivre quelques sous-étapes simples.

    Sous-étape A : Dessine un tableau à colonnes avec le dénominateur dans la deuxième colonne.

    24

    Sous-étape B : Utilise le plus petit facteur du dénominateur et divise le nombre progressivement jusqu'à ce que tu arrives à 1. N'oublie pas que le facteur est écrit dans la première colonne.

    2

    24

    12

    2

    24

    2

    12

    6

    2

    24

    2

    12

    2

    6

    3

    2

    24

    2

    12

    2

    6

    3

    3

    1

    Sous-étape C : Ecris tous les facteurs de la première colonne sous forme de produit.

    2

    24

    2

    12

    2

    6

    3

    3

    1

    Répète la même étape pour l'autre dénominateur et tu obtiendras :

    2

    10

    5

    5

    1

    Étape 3 : dispose ces facteurs premiers multipliés et entoure les facteurs similaires.

    Plus petit dénominateur commun Troisième étape de la méthode du facteur premier pour trouver le LCD StudySmarterTroisième étape de la méthode des facteurs premiers pour trouver l'ACL, StudySmarter Originals

    Cela signifie que le facteur commun entre 24 et 10 est 2.

    Étape 4 : Multiplie le reste des facteurs qui ne sont pas encerclés par ton facteur commun.

    Plus petit dénominateur commun Quatrième étape de la méthode du facteur premier pour trouver le LCD StudySmarter

    Quatrième étape de la méthode des facteurs premiers pour trouver l'ACL, StudySmarter Originals

    Notre ACL est donc ;

    2×5×2×2×3=120

    Méthode combinée du produit des facteurs premiers

    Variante de la méthode du produit des facteurs premiers, la méthode du produit des facteurs premiers combinés exige que tu trouves les facteurs premiers des dénominateurs dans un seul tableau. Une fois que tu es familiarisé avec la technique, cette méthode a l'avantage d'être plus concise.

    Trouve l'ACL entre 1124 et 710.

    Solution :

    Étape 1. Écris les dénominateurs.

    Les dénominateurs sont 24 et 10.

    Étape 2. Crée un tableau dont le nombre de colonnes correspond au nombre de dénominateurs. Dans ce cas, le nombre de colonnes est de 3 (une de plus que le nombre de dénominateurs). Laisse la première colonne pour les facteurs.

    24

    10

    Étape 3. Utilise le plus petit facteur premier pour diviser les dénominateurs. Note qu'un facteur peut ne pouvoir diviser qu'un seul dénominateur et ne pas réussir à diviser les autres. Dans les cas où le facteur ne peut pas diviser l'un des nombres de la colonne des dénominateurs, écris simplement le même nombre dans la cellule en dessous. Il suffit que ce facteur divise au moins l'un des dénominateurs. C'est plus facile en essayant d'abord les petits nombres comme 2, 3, ... N'oublie pas que le facteur est écrit dans la première colonne.

    2

    24

    10

    12

    5

    Note que dans ce cas, 2 peut diviser à la fois 24 et 10 sans reste.

    2

    24

    10

    2

    12

    5

    6

    5

    Note que 2 peut diviser 12 mais ne peut pas diviser 5. Nous ramenons donc toujours 5 dans la cellule ci-dessous.

    2

    24

    10

    2

    12

    5

    2

    6

    5

    3

    5

    2

    24

    10

    2

    12

    5

    2

    6

    5

    3

    3

    5

    1

    5

    2

    24

    10

    2

    12

    5

    2

    6

    5

    3

    3

    5

    5

    1

    5

    1

    1

    Étape 4 : Écris tous les facteurs de la première colonne sous forme de produit.

    2

    24

    10

    2

    12

    5

    2

    6

    5

    3

    3

    5

    5

    1

    5

    1

    1

    Une fois qu'il ne te reste plus que des 1 dans la dernière ligne, tu peux calculer l'ACL comme le produit des facteurs de la première colonne.

    L'ACL entre les dénominateurs 24 et 10 est alors de

    2×2×2×3×5=120

    La méthode du produit des facteurs premiers combinés est la meilleure méthode pour un grand ensemble de dénominateurs.

    Applications de l'écran LCD

    Comme nous l'avons déjà mentionné, le plus petit dénominateur commun est utilisé pour simplifier les fractions impliquant des additions et des soustractions. De même, il est également utilisé pour ranger les fractions dans l'ordre croissant et décroissant. Prenons quelques exemples pour mieux comprendre ses applications.

    LCD dans les fractions

    Simplifie

    12-14

    Solution :

    Étape 1. Trouve l'ACL des dénominateurs.

    En utilisant la méthode des règles de l'ACL, ladeuxième règle dit que si l'un des dénominateurs est un multiple des autres dénominateurs, alors l'ACL est ce multiple.4 est un multiple de 2, donc l'ACL entre 2 et 4 est 4.Étape 2. Utilise l'IVC comme dénominateur général. Divise ensuite l'IVC par chaque dénominateur et multiplie par le numérateur.

    12-14=1×(4÷2)-1×(4÷4)4

    Étape 3. Résous l'arithmétique.

    1×(2)-1×(1)4==2-14=14

    Simplifie

    35+57+128

    Solution :

    Étape 1 : Trouve l'ACL des dénominateurs.

    Utilise la méthode du produit des facteurs premiers combinés.

    2

    5

    7

    28

    2

    5

    7

    14

    5

    5

    7

    7

    7

    1

    7

    7

    1

    1

    1


    L'écran à cristaux liquides de 35, 57 et 128 est le produit des nombres de la première colonne, c'est-à-dire

    2×2×5×7=140.

    Étape 2: Utilise la LCD comme dénominateur général. Ensuite, divise l'ACL par chaque dénominateur et multiplie par le numérateur.

    35+57+128=3×(140÷5)+5×(140÷7)+1×(140÷28)140

    Étape 3: Résous l'arithmétique.

    3×(28)+5×(20)+1×(5)140==84+100+5140=189140

    Étape 4 : Vois si un nombre peut se diviser par le numérateur et le dénominateur pour simplifier ta fraction.

    Divise le numérateur et le dénominateur par 7.

    id="5205216" role="math" 189÷7140÷7=2720 =1720

    LCD dans la comparaison des fractions

    Grâce à l'utilisation de l'écran LCD, il est désormais possible de comparer des fractions pour savoir lesquelles sont plus grandes ou plus petites. C'est à partir de cette connaissance que les fractions peuvent être classées par ordre croissant ou décroissant.

    Classe les fractions suivantes dans l'ordre décroissant :25' 16, 320 et 18
    Solution :Pour classer les fractions dans l'ordre décroissant, tu dois écrire les fractions de la plus grande à la plus petite.Étape 1. Trouve l'ACL des fractions données.En utilisant la méthode des facteurs premiers combinés, nous obtenons ;

    2

    6

    20

    8

    5

    2

    3

    10

    4

    5

    2

    3

    5

    2

    5

    3

    3

    5

    1

    5

    5

    1

    5

    1

    5

    1

    1

    1

    1

    L'ACL des dénominateurs 6, 20, 8 et 5 est

    2×2×2×3×5=120.

    Étape 2 : Utilise l'ACL comme dénominateur général. Divise ensuite l'IVC par chaque dénominateur et multiplie par le numérateur séparément.

    16=1×(120÷6)120=1×(20)120=20120320=3×(120÷20)120=3×(6)120=1812018=1×(120÷8)120=1×(15)120=1512025=2×(120÷5)120=2×(24)120=48120

    Étape 3 : N'utilise que les numérateurs en gras. Classe-les maintenant du plus grand au plus petit.

    48, 20, 18 et 15, ce qui donne

    25' 16, 320 et 18

    Plus petit dénominateur commun - Principaux enseignements

    • Le plus petit dénominateur commun (PDC) est le plus petit multiple commun à un ensemble de dénominateurs.
    • Quatre méthodes peuvent être utilisées pour trouver le DMC : les règles du DMC, la liste des multiples, le produit des facteurs premiers et le produit des facteurs premiers combinés.
    • L'ACL s'applique lors de l'addition et de la soustraction de fractions. De même, elle est utilisée pour classer les fractions par ordre croissant ou décroissant.
    Questions fréquemment posées en Plus petit dénominateur commun
    Qu'est-ce que le plus petit dénominateur commun (PPCM) ?
    Le plus petit dénominateur commun (PPCM) est le plus petit nombre entier positif divisible par deux ou plusieurs dénominateurs.
    Comment trouver le PPCM de deux nombres ?
    Pour trouver le PPCM, il faut calculer les multiples de chaque nombre et identifier le plus petit multiple commun.
    Quelle est l'utilité du PPCM en mathématiques ?
    Le PPCM facilite les opérations sur les fractions, comme les additions et les soustractions, en utilisant un dénominateur commun.
    Quelle est la différence entre PPCM et PGCD ?
    Le PPCM est le plus petit multiple commun, tandis que le PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand nombre qui divise deux nombres sans reste.

    Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

    Lance-toi dans tes études
    1
    À propos de StudySmarter

    StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

    En savoir plus
    Équipe éditoriale StudySmarter

    Équipe enseignants Mathématiques

    • Temps de lecture: 13 minutes
    • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
    Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

    Sauvegarder l'explication

    Inscris-toi gratuitement

    Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !

    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    La première appli d'apprentissage qui a réunit vraiment tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.

    • Fiches & Quiz
    • Assistant virtuel basé sur l’IA
    • Planificateur d'étude
    • Examens blancs
    • Prise de notes intelligente
    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    Obtiens un accès illimité avec un compte StudySmarter gratuit.

    • Accès instantané à des millions de pièces de contenu.
    • Fiches de révision, notes, examens blancs, IA et plus encore.
    • Tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.
    Second Popup Banner