Résolution des équations rationnelles

Résoudre $\frac{4}{x+2}=\frac{8}{4x-2}$

Solution :

Étapes pour résoudre l'équation rationnelle :

Ici, nous avons une $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ Nous pouvons donc résoudre cette équation par une multiplication croisée.

• Multiplication croisée : Nous pouvons multiplier 4 avec$4x-2$et 8 avec $(x+2)$

$(x+2)\times 8=4\times (4x-2)$

• Propriété distributive :

$8x+16=16x-8$

• Soustraire $8x$ de chaque côté :

$16=8x-8$

• Ajoute 8 à chaque côté :

$24=8x$

• Divise chaque côté par 8 :

$x=3$

Pour voir si la solution fonctionne, il faut la brancher sur l'équation.

$\frac{4}{3+2}=\frac{8}{4\times 3-2}$

$\frac{4}{5}=\frac{8}{12-2}$

Si nous divisons le côté droit par 2 :

$\frac{4}{5}=\frac{4}{5}$

Cette égalité montre que la solution fonctionne bien !

Résoudre $\frac{8}{3x-2}=\frac{2}{x-1}$

Solution :

Pour résoudre l'équation, il faut effectuer des multiplications croisées, car elle se présente à nouveau sous la forme de. $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Étapes pour résoudre l'équation rationnelle :

• Multiplication croisée : Nous devons multiplier 8 par $(x-1)$et 2 avec $(3x-2)$

$8\times (x-1)=2\times (3x-2)$

• Propriété distributive :

$8x-8=6x-4$

• Soustrais 6x de chaque côté :

$2x-8=-4$

• Ajoute 8 à chaque côté :

$2x=4$

• Divise chaque côté par 2 :

$x=2$

Maintenant, ajoutons x = 2 à l'équation rationnelle pour voir si cela fonctionne.

$\frac{8}{3\times 2-2}=\frac{2}{2-1}$

$\frac{8}{6-2}=\frac{2}{1}$

$\frac{8}{4}=2$

Comme tu peux le voir, si nous pouvons obtenir la même valeur de chaque côté lorsque la solution est branchée, cela signifie que cela fonctionne comme dans ce cas.

Quelle est la solution de $\frac{3}{x}+\frac{5}{4}=\frac{8}{x}$?

Solution :

Étapes pour résoudre l'équation rationnelle :

Dans cet exemple, les dénominateurs sont x, 4 et encore x. Le plus petit dénominateur commun peut donc être déterminé comme étant la multiplication de x et de 4, soit4x. Nous devons utiliser l'ACL pour multiplier l'équation de chaque côté afin de trouver la solution.

• Multiplie chaque côté par l'ACL qui est $4x$: $4x(\frac{3}{x}+\frac{5}{4})=4x\left(\frac{8}{x}\right)$

• Nous devons distribuer $4x$ à chaque côté et le multiplier avec les valeurs entre parenthèses.

$(4x\times \frac{3}{x})+(4x\times \frac{5}{4})=(4x\times \frac{8}{x})$

$(4\cancel{x}\times \frac{3}{\cancel{x}})+(\cancel{4}x\times \frac{5}{\cancel{4}})=(4\cancel{x}\times \frac{8}{\cancel{x}})$

$(4\times 3)+\left(5x\right)=(4\times 8)$

$12+5x=32$

• Simplifie : $12+5x=32$

  Pour simplifier, nous devrions soustraire 12 de chaque côté :

$\cancel{12}+5x-\cancel{12}=32-12$

$5x=20$

• Diviser chaque côté par 5 :

$\frac{5x}{5}=\frac{20}{5}$

La solution de l'équation rationnelle est donc $x=4$La solution de l'équation rationnelle est donc 12, mais nous devons être sûrs qu'elle fonctionne. Donc, une fois de plus, nous devrions introduire cette solution dans l'équation :

$\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{8}{4}$

$\frac{8}{4}=\frac{8}{4}$

Puisque nous avons à nouveau l'égalité, cette solution semble fonctionner.

Résous l'équation à l'aide de l'écran LCD : $\frac{1}{2x}+\frac{3}{x+7}=\frac{-1}{x}$

Solution :

Étapes pour résoudre l'équation rationnelle :

Nous devons d'abord déterminer ce qu'est l'ACL dans ce cas. Nous voyons que les dénominateurs sont2x, ce qui revient à dire x fois 2, $x+7$et x. Puisqu'il y a de toute façon x dans2x, nous pouvons prendre x et $x+7$ pour déterminer l'IVC en les multipliant.

L'ACL est donc la suivante $x\times (x+7)$.

Pour résoudre l'équation rationnelle, nous devons multiplier chaque côté par l'IVC.

• Multiplie chaque côté par l'ACL qui est $x(x+7)$: $x(x+7)(\frac{1}{2x}+\frac{3}{x+7})=x(x+7)\left(\frac{-1}{x}\right)$

• Propriété distributive : Nous devons distribuer l'ACL à chaque côté et la multiplier avec les valeurs entre parenthèses.

$(x\times (x+7)\times \frac{1}{2x})+(x\times (x+7)\times \frac{3}{x+7})=(x\times (x+7)\times \frac{-1}{x})$

• Nous pouvons simplifier cela :

$(\cancel{x}\times (x+7)\times \frac{1}{2\cancel{x}})+(x\times (\cancel{x+7})\times \frac{3}{\cancel{x+7}})=(\cancel{x}\times (x+7)\times \frac{-1}{\cancel{x}})$

$\frac{x+7}{2}+3x=-1\times (x+7)$

• Nous devrions répartir le signe moins sur le côté droit :

$\frac{x+7}{2}+3x=-x-7$

• Pour faciliter la résolution de l'équation, nous pouvons multiplier chaque côté par 2 :

$2\times \left(\frac{x+7}{2}\right)+2\times 3x=2\times (-x-7)$

• Nous devrions répartir 2 dans les parenthèses avec la multiplication :

$\cancel{2}\times \left(\frac{x+7}{\cancel{2}}\right)+2\times 3x=2\times (-x-7)$

$x+7+6x=-2x-14$

$7x+7=-2x-14$

• Nous pouvons ajouter $2x$ à chaque côté pour simplifier la valeur x :

$7x+7+2x=-2x-14+2x$

$7x+7+2x=\cancel{-2x}-14+\cancel{2x}$

$9x+7=-14$

• Nous pouvons soustraire 7 de chaque côté pour simplifier à nouveau :

$9x+7-7=-14-7$

$9x=-21$

• Diviser chaque côté par 9 pour ne pas toucher à la valeur x :

$\frac{9x}{9}=\frac{-21}{9}$

$x=\frac{-21}{9}=\frac{-7}{3}$

La solution de l'équation rationnelle est alors $x=\frac{-7}{3}$. Voyons si cela fonctionne dans l'équation :

$\frac{1}{2\times \left(\frac{-7}{3}\right)}+\frac{3}{\frac{-7}{3}+7}=\frac{-1}{\frac{-7}{3}}$

$\frac{1}{\frac{-14}{3}}+\frac{3}{\frac{-7}{3}+\frac{21}{3}}=\frac{3}{7}$

$\frac{-3}{14}+\frac{3}{\frac{14}{3}}=\frac{3}{7}$

$\frac{-3}{14}+\frac{9}{14}=\frac{3}{7}$

$\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$

Nous avons l'égalité, ce qui signifie que notre solution fonctionne.

Résoudre $2-\frac{16}{x-5}=\frac{6}{x}$

Solution :

Ici, nous avons les dénominateurs $(x-5)$et x. La multiplication de ceux-ci nous donnera l'ACL qui est $x\times (x-5)$. Pour trouver les solutions.

• Multiplie chaque côté par l'ACL :

$x\times (x-5)\times (2-\frac{16}{x-5})=x\times (x-5)\times \frac{6}{x}$

• Distribue l'ACL entre les parenthèses :

$(2\times x\times (x-5\left)\right)-(x\times (x-5)\times \frac{16}{x-5})=x\times (x-5)\times \frac{6}{x}$

• On peut faire une simplification :

$(2\times x\times (x-5\left)\right)-(x\times \cancel{(x-5)}\times \frac{16}{\cancel{x-5}})=\cancel{x}\times (x-5)\times \frac{6}{\cancel{x}}$

• Fais les multiplications :

$2x^2-10x-16x=6x-30$

• Soustraire $6x$ de chaque côté pour simplifier :

$2x^2-32x=-30$

• Ajoute 30 à chaque côté :

$2x^2-32x+30=0$

• Écris sous forme standard : $2x^2-32x+30=0$

• Divise par 2 :

$\frac{\cancel{2}{x}^2}{\cancel{2}}-\frac{32x}{2}+\frac{30}{2}=0$

$x^2-16x+15=0$

• À ce stade, nous devrions factoriser l'équation pour trouver les solutions. Ce qui est important, c'est que nous devons trouver deux valeurs qui composent 15, factoriser également. $x^2$ . L'addition relative devrait donner la valeur centrale de l'équation qui est $-16x$.

$$\begin{gathered} x^2-16x+15=0 \\ x\iff -15 \\ x\iff -1 \end{gathered}$$

Nous pouvons diviser ^x2 par x fois x, et 15 par - 15 et - 1 . Lorsque nous multiplions x par - 15 , et l'autre x par - 1, et que nous les additionnons, nous devrions obtenir $-16x$ ce qui est satisfait de cette façon.

Par conséquent, nous pouvons écrire l'équation comme suit : $(x-15)\times (x-1)=0$

Les valeurs qui rendent les parenthèses nulles sont nos solutions !

$$\begin{gathered} x-15=0\to x=15 \\ x-1=0\to x=1 \end{gathered}$$

Vérifions si ces deux solutions fonctionnent toutes les deux :

• Pour $x=15$

$2-\frac{16}{15-5}=\frac{6}{15}$

$2-\frac{16}{10}=\frac{6}{15}$

$\frac{2\times 10-16}{10}=\frac{6}{15}$

$\frac{20-16}{10}=\frac{6}{15}$

$\frac{4}{10}=\frac{6}{15}$

Divise le côté gauche par 2, et le côté droit par 3 :

$\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$

Donc, $x=15$ est l'une des solutions.

• Pour $x=1$ :

$2-\frac{16}{-4}=6$

$2+4=6$

, qui est à nouveau la solution.

Résous l'équation $\frac{x+3}{x-3}+\frac{x}{x-5}=\frac{x+5}{x-5}$

Solution :

Étapes pour résoudre l'équation rationnelle :

Nous pouvons résoudre cet exemple avec la méthode de l'ACL puisque l'équation n'est pas sous la forme de.

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Mais comment trouver l'ACL ? Nous devons regarder les dénominateurs pour cela : $(x-3)$,$(x-5)$ et encore $(x-5)$. Le plus petit dénominateur commun serait donc la multiplication de $(x-3)$ et $(x-5)$. Pour trouver les solutions, nous devons multiplier chaque côté par le LCD.

• Multiplie chaque côté par l'ACL qui est $(x-3)(x-5)$:

• Distribue l'ACL entre les parenthèses :

• Simplifie :

$(\cancel{(x-3)}\times (x-5)\times (\frac{x+3}{\cancel{x-3}}\left)\right)+\left(\right(x-3)\times \cancel{(x-5)}\times (\frac{x}{\cancel{x-5}}\left)\right)=\left(\right(x-3)\times (\cancel{x-5})\times (\frac{x+5}{\cancel{x-5}}\left)\right)$

$\left(\right(x-5)\times (x+3\left)\right)+(x\times (x-3\left)\right)=\left(\right(x-3)\times (x+5\left)\right)$

• Fais les multiplications :

$(x^2-2x-15)+(x^2-3x)=(x^2+2x-15)$

• Fais les additions :

$2x^2-5x-15=x^2+2x-15$

• Croise les valeurs de la partie droite avec celles de la partie gauche :

$2x^2-5x-15-x^2-2x+15=0$

• Simplifie :

$x^2-7x=0$

• Puisque x est commun dans l'équation, nous pouvons factoriser l'équation comme : $x\times (x-7)=0$

• Pour trouver les solutions, nous devons trouver les valeurs qui rendent les multiplicateurs nuls dans l'équation, c'est-à-dire $x=0$ et $x=7$

Lorsque $x=0$ et $x=7$ sont tous deux introduits dans l'équation, on peut voir qu'ils fonctionnent tous les deux et qu'ils sont tous les deux les solutions de l'équation :

Pour $x=0$ :

$-1=-1$

Pour $x=7$:

$\frac{7+3}{7-3}+\frac{7}{7-5}=\frac{7+5}{7-5}$

$\frac{10}{4}+\frac{7}{2}=\frac{12}{2}$

$\frac{10}{4}+\frac{14}{4}=6$

$\frac{24}{4}=6$

Résoudre $\frac{4}{x-1}=\frac{8x^2}{x^2-1}-\frac{x}{x+1}$

Solution:

Nous pouvons résoudre ce type d'équation avec la méthode de l'ACL. Lorsque nous regardons les dénominateurs, ils sont $x-1$, $x^2-1$ qui est la multiplication de $x-1$ et $x+1$. Le plus petit dénominateur commun doit donc être la multiplication de $x-1$ et $x+1$ ce qui correspond à $(x-1)\times (x+1)$. Chaque côté de l'équation doit être multiplié par le LCD pour trouver les solutions.

Étapes pour résoudre l'équation rationnelle :

• Multiplie chaque côté par l'ACL :

• Simplifie :

$\left(\cancel{x-1}\right)\times (x+1)\times \frac{4}{\cancel{x-1}}=\left(\cancel{x-1}\right)\times \left(\cancel{x+1}\right)\times \left(\frac{8x^2}{\cancel{x^2-1}}\right)-(x-1)\times \left(\cancel{x+1}\right)\times \left(\frac{x}{\cancel{x+1}}\right)$

$4\times (x+1)=8x^2-x\times (x-1)$

• Propriété distributive :

$4x+4=8x^2-x^2+x$

• Soustraire $4x+4$ de chaque côté :

$4x+4-4x-4=7x^2+x-4x-4$

$7x^2-3x-4=0$

Nous devons factoriser l'équation pour trouver des solutions. Nous pouvons diviser 7x2^{comme la} multiplication de 7x et x, et - 4 comme la multiplication de + 4 et - 1. Le but ici est de trouver la valeur du milieu qui est - 3x.

$$\begin{gathered} 7x^2-3x-4=0 \\ 7x\iff +4 \\ x\iff -1 \end{gathered}$$

En effectuant des multiplications croisées et des additions de ce type, nous pouvons obtenir la valeur du milieu.

• Facteur : $(7x+4)\times (x-1)=0$

Les solutions seront $x=-\frac{4}{7}$ ou $x=1$

Cependant, lorsque$x=1$est substitué à l'équation, il en résulte une division par zéro qui donne un résultat indéfini. Donc , $x=-\frac{4}{7}$reste la seule solution qui fonctionne. $x=1$ est la solution étrangère !

Résous l'équation et vérifie qu'il n'y a pas de solutions étrangères : $\frac{18}{x^2-3x}-\frac{6}{x-3}=\frac{5}{x}$

Solution :

Nous pouvons résoudre cet exemple avec la méthode de l'ACL. Lorsque nous regardons les dénominateurs, ils sont : $x^2-3x$ qui est la multiplication de $x-3$ et x. Le plus petit dénominateur commun est donc $x\times (x-3)$. Les solutions peuvent être trouvées en multipliant l'équation avec la méthode LCD.

Étapes pour résoudre l'équation rationnelle :

• Multiplie chaque côté par l'ACL qui est $x\times (x-3)$:

$x\times (x-3)\times (\frac{18}{x^2-3x}-\frac{6}{x-3})=x\times (x-3)\times \left(\frac{5}{x}\right)$

• Distribue l'ACL dans les parenthèses :

$(x\times (x-3)\times (\frac{18}{x^2-3x}\left)\right)-(x\times (x-3)\times (\frac{6}{x-3}\left)\right)=x\times (x-3)\times \left(\frac{5}{x}\right)$

• Simplifie :

$(\cancel{x}\times (\cancel{x-3})\times (\frac{18}{\cancel{x^2-3x}}\left)\right)-(x\times (\cancel{x-3})\times (\frac{6}{\cancel{x-3}}\left)\right)=\cancel{x}\times (x-3)\times \left(\frac{5}{\cancel{x}}\right)$

$18-6x=5\times (x-3)$

$18-6x=5x-15$

• Soustraire $18-6x$ de chaque côté :

$18-6x-18+6x=5x-15-18+6x$

$0=11x-33$

• Ajoute 33 à chaque côté :

$11x=33$

• Divise chaque côté par 11 :

$x=3$

Pour vérifier s'il y a des solutions étrangères, il faut brancher la solution trouvée dans l'équation. Cependant, lorsque $x=3$ est inséré, l'équation est indéfinie parce qu'il y a $x-3$ dans les dénominateurs. Il n'y a donc pas de solution à l'équation !

Les ventes totales S (en millions de dollars) d'un ordinateur portable peuvent être modélisées par

où $t$ est le nombre de consommateurs (en milliers). Pour combien de consommateurs les ventes totales d'ordinateurs ont-elles été d'environ 6 millions de dollars ?

Solution :

Pour résoudre cette équation, il faut insérer 6 dans $S\left(t\right)$ puisqu'il représente les ventes, car$S\left(t\right)$ représente les ventes totales et il est indiqué 6 millions de dollars dans l'exemple. Nous devons résoudre l'équation pour trouver les valeurs $t$ et vérifier ensuite si elles se trouvent dans le domaine donné.

Marche à suivre pour résoudre l'équation rationnelle :

• Écris l'équation :

$6=\frac{8t^2+20}{4t^2-10}$

• Pour résoudre l'équation, nous pouvons croiser les multiplications :

• Propriété distributive :

$24t^2-60=8t^2+20$

• Soustraire $8t^2+20$ de chaque côté :

$16t^2-80=0$

• Ajoute 80 à chaque côté :

$16t^2=80$

• Divise chaque côté par 16 :

$\frac{\cancel{16}{t}^2}{\cancel{16}}=\frac{80}{16}$

$t^2=5$

• Prends les racines carrées de chaque côté : $\pm 2.24\approx t$

Puisque -2,24 n'est pas dans le domaine ($0\le t\le 7$), la seule solution reste +2,24.

Ainsi, les ventes totales des ordinateurs environ 6 millions de dollars pour 2240 consommateurs.