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Quelle est la définition de la trigonométrie triangulaire ?
Tout d'abord, voyons ce qu'est la trigonométrie triangulaire.
Latrigonométrie des triangles est un sujet de mathématiques qui étudie la relation entre les longueurs des côtés et les angles d'un triangle.
Tu as peut-être déjà entendu parler des identités triangulaires et des identités trigonométriques, et tu t'es demandé quelle était la différence.
Une identité triangulaire est une règle qui est vraie pour tous les triangles. Cela inclut des règles telles que :
- la somme des angles d'un triangle est égale à \(180^\circ\), également connue sous le nom de \(\pi /2\) radians ; et
- la somme de deux côtés quelconques est plus longue que la longueur du côté restant.
D'autre part, les identités trigonométriques sont celles qui ne sont vraies que pour les triangles droits. Il s'agit notamment de choses telles que :
- la loi des sinus ;
- la loi des cosinus ;
- le théorème de Pythagore ;
- et bien d'autres encore !
Formules de trigonométrie des triangles
Les formules de trigonométrie peuvent t'aider à trouver les longueurs de côté et les angles manquants dans les triangles. Il existe différentes formules qui sont utilisées en fonction des informations que l'on t'a données sur le triangle.
Tout d'abord, voyons comment on étiquette généralement un triangle rectangle.
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le côté qui a la plus grande longueur sur le triangle.
Choisis un angle et donne-lui un nom. Dans ce cas, l'image ci-dessous lui donne le nom de \(\Ntheta\N)\N(\N)\N(\N). Le côté opposé est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle \N(\Ntheta\N).
Le côté adjacent est le côté qui est à côté, adjacent à l'angle \(\theta\).
Fig. 1. Étiquetage d'un triangle.
SOHCAHTOA
Dans la trigonométrie des triangles, il existe différentes règles (également appelées identités trigonométriques) que tu peux suivre pour te permettre d'utiliser les fonctions trigonométriques correctes. Lorsque tu regardes un triangle rectangle, tu peux étiqueter chaque côté pour t'aider à identifier la meilleure fonction à utiliser. Il existe un acronyme appelé SOHCAHTOA qui peut t'aider à te souvenir de la fonction à utiliser.
SOH - Sineequals Oppositeover Hypotenuse( sinuségal à l'opposésur l'hypoténuse)
CAH - Cosinuségal à Adjacentsur Hypoténuse
TOA - Tangenteégale à l'opposéesur l'adjacente
SOHCAHTOA ne s'applique qu'aux triangles droits !
Formules et SOHCAHTOA
Une fois que tu as étiqueté ton triangle, tu es en mesure d'identifier la meilleure fonction à utiliser pour t'aider à trouver des informations sur le triangle rectangle, ainsi que les informations à substituer dans la formule. Tu trouveras ci-dessous les six fonctions trigonométriques de base et la formule pour chacune d'entre elles :
\[ \begin{align} \sin \theta &= \frac {\mbox{opposite}}{mbox{hypoténuse}} \\ \cos \theta &= \frac{\mbox{adjacent}}{\mbox{hypotenuse}}\\ \tan \theta &= \frac {\mbox{opposite}} {\mbox{adjacent}} \c \c \theta &= \frac{\mbox{hypotenuse}}{\mbox {opposite}}\c \sec \theta &= \frac {\mbox{hypotenuse}}{\mbox{adjacent}} \\ \cot \theta &= \frac{\mbox{adjacent}}{\mbox{opposite}}\end{align} \]
Pour chaque fonction, tu peux voir que tu dois entrer des informations dans le triangle droit étiqueté pour trouver la valeur de la fonction.
La façon dont la formule est utilisée peut être décomposée en plusieurs étapes :
Étape 1 : Étiquette le triangle.
Étape 2 : Choisis la bonne fonction.
Étape 3 : Introduis tes variables dans le triangle et résous ce dont tu as besoin.
Bien sûr, il est plus facile de voir comment utiliser ces choses dans un exemple.
Trouve la valeur de la fonction Sinus pour l'angle \( \theta\).
Fig. 2. Recherche d'un angle dans un triangle.
Réponds :
Passons en revue les différentes étapes.
Étape 1 : Identifie le triangle.On t'a donné l'hypoténuse et l'opposée, alors identifie-les sur le schéma.
Fig. 3. Triangle étiqueté avec l'hypoténuse et les côtés opposés.
Étape 2 : Choisis la bonne fonction.
Lorsqu'on t'a donné l'opposé et l'hypoténuse, tu as tout ce qu'il faut pour utiliser la fonction sinus.
\[ \sin \theta = \frac{\mbox{opposé}} {\mbox{hypoténuse}} \]
Étape 3 : Introduis tes variables dans le triangle et résous \(\sin \theta \).
Dans ce cas, le côté opposé est \N 6 \N ; \Ntext{cm}\N et l'hypoténuse est \N 8 \N ; \Ntext{cm}\N ; tu as donc
\[ \sin \theta = \frac {6} {8} = \frac{3}{4}. \]
Qu'en est-il de la surface d'un triangle ?
Aire des triangles et trigonométrie
La surface d'un triangle est une façon de parler de l'espace à l'intérieur des trois côtés du triangle. Jette un coup d'œil à l'aire d'un triangle pour plus d'informations et d'exemples !
Applications de la trigonométrie du triangle rectangle
La trigonométrie du triangle rectangle peut être appliquée à de nombreux scénarios de la vie réelle. Elle peut être utilisée pour aider les gens à comprendre les distances. La hauteur des arbres ou la distance entre le haut et le bas d'une falaise peut être mesurée à l'aide de la trigonométrie si tu connais les angles. Ces angles sont connus sous le nom d'angle d'élévation ou d'angle de dépression.
L'angle d'élévation est l'angle entre une ligne horizontale et un objet situé au-dessus de cette ligne.
Prenons un exemple.
Supposons que tu aies un arbre et que tu veuilles savoir quelle est sa hauteur. À partir de la base de l'arbre, tu t'éloignes de 100 mètres et, à l'aide de ton rapporteur, tu mesures l'angle qui te sépare du sommet de l'arbre à partir de ta position actuelle, qui est de 60 degrés. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Réponse :
Le sommet de l'arbre se trouve au-dessus de ta position, ce problème implique donc un angle d'élévation. En fait, dans cet exemple, l'angle d'élévation jusqu'au sommet de l'arbre est de \ (60\) degrés. Comme on ne te donne pas de diagramme, tu devras dessiner le tien et l'étiqueter.
Fig. 4. Position de toi par rapport à l'arbre.
Étape 1 : La distance qui te sépare de l'arbre est de \ (100\) pieds et l'angle d'élévation est de \ (60\) degrés. On te demande de trouver la hauteur de l'arbre, qui est le côté opposé. Pour plus de commodité, donne à ce côté le nom de \(h\).
Étape 2 : Choisis la bonne fonction.
Dans l'image ci-dessus, tu as l'angle et le côté adjacent, et on te demande de trouver le côté opposé. Cela implique la fonction tangente ! Rappelle-toi que
\[ \tan \theta = \frac{\mbox{opposé}} {\mbox{adjacent}}. \]
Étape 3 : Introduis tes variables dans le triangle et résous \N(h\N).
Introduis ce que tu sais,
\N[ \Ntan 45 = \Nfrac{h} {100}. \N]
Tu peux utiliser ce que tu sais sur les fonctions trigonométriques pour obtenir ceci
\[ \tan 45 = \frac{\sqrt{3}}{3} ,\]
donc
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{100}\]
et
\[ h = 100 \frac{\sqrt{3}}{3} \, \text{ft}. \]
C'est une réponse exacte. On te demandera peut-être de trouver approximativement la hauteur de l'arbre, tu pourras donc entrer cette valeur dans une calculatrice pour trouver que
\N[ h \Napprox 57.7 \N, \Ntext{ft}.\N]
Et l'angle de dépression ?
L'angle de dépression est l'angle entre une ligne horizontale et un objet situé sous la ligne.
Prenons un exemple.
Tu as fait de l'escalade aujourd'hui ! Ton camion est garé au pied de la falaise, à environ 200 mètres de la base de la falaise. C'est une falaise relativement abrupte, il s'agit donc d'une ascension verticale. Une fois que tu as atteint le sommet de la falaise, tu estimes que l'angle de dépression par rapport à ton camion est d'environ 30 degrés. À quelle distance penses-tu être ?
Réponse :
Étape 1 : Il est utile de faire un dessin ! Inscris les informations que tu connais, comme le fait que ton camion se trouve à \ (200\) yards de la base de la falaise et que l'angle de dépression est d'environ \(30\) degrés. Pour plus de commodité, appelle la hauteur de la falaise \(h\).
Fig. 5. Triangle te montrant en haut de la falaise et l'emplacement de ton camion.
Étape 2 : Choisis la bonne fonction.
Tu veux savoir quelle est la hauteur de la falaise, autrement dit quelle est la valeur de \(h\) ? Si tu regardes l'emplacement de l'angle, tu as le côté opposé à \ (200\) yards, et tu veux connaître le côté adjacent. Cela signifie que tu dois utiliser la fonction tangente.
Étape 3 : Introduis tes variables dans le triangle et résous \(h\).
En utilisant le fait que
\[ \tan \theta = \frac{\mbox{opposé}} {\mbox{adjacent}}, \]
tu peux mettre les informations dont tu disposes pour obtenir
\[ \tan 30 = \frac{200} {h}. \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n]
Tu peux utiliser ce que tu sais sur les fonctions trigonométriques pour obtenir ceci
\[ \tan 30 = \frac{\sqrt{3}}{3} ,\]
donc
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{200}{h}\]
et
\[\begin{align} h &= \frac{200}{ \dfrac{\sqrt{3}}{3}}]. \N- &= \frac{200\cdot3}{\sqrt{3}} \N- &= \frac{600}{\sqrt{3}} \N-, \N-text{yd}. \N- [Fin{align}\N]
Si tu n'aimes pas la racine carrée dans le dénominateur, tu peux multiplier le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{3}\) pour obtenir :
\[\begin{align} h &= \frac{600}{\sqrt{3}} \\N- &= \frac{600\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} \N- &= \Nfrac{600\sqrt{3}}{3} \N- &= 200\sqrt{3} \N-, \N-text{yd}. \N- [Fin{align}\N-]
C'est une réponse exacte. On te demandera peut-être de déterminer approximativement à quelle hauteur tu penses être, et tu pourras alors entrer cette valeur dans une calculatrice pour obtenir la réponse suivante
\N[ h \Napprox 346 \N, \Ntext{yd}.\N]]
Bien sûr, il n'y a jamais assez d'exemples !
Exemples de trigonométrie des triangles
Parfois, on te demandera de trouver les valeurs des six fonctions trigonométriques pour un angle donné.
Trouve les valeurs des six fonctions trigonométriques autour de l'angle \(\theta\).
Fig. 6. Trouver les six valeurs trigonométriques d'un angle.
Comme d'habitude, tu dois d'abord étiqueter le triangle droit.
Fig. 7. Triangle dont l'angle et les côtés sont étiquetés.
Tu peux ensuite utiliser SOHCHATOA pour trouver les valeurs de trois des fonctions trigonométriques pour l'angle \(\theta\).
SOH :
\[ \begin{align} \sin \theta &= \frac {\mbox{opposite}}{mbox{hypoténuse}} \\N- &= \frac{8}{10} \N- \N- &= \N-{4}{5}. \ND{align}\N- [\N-]
CAH :
\[\begin{align} \cos \theta &= \frac{\mbox{adjacent}}{\mbox{hypoténuse}}\ &= \frac{6}{10} \N- &= \Nfrac{3}{5}.\N- [end{align}\N]
TOA :
\N- [\N- Début{align} \tan \theta &= \frac {\mbox{opposite}} {\mbox{adjacent}} \\N- &= \frac{8}{6} \N- \N- \N- \N- &= \N-{4}{3}. \N-END{align} \]
Puis pour les trois autres,
Cosecant :
\[ \begin{align} \csc \theta &= \frac{\mbox{hypoténuse}}{\mbox {opposite}}\ &= \frac{10}{8}. \\N- &= \frac{5}{4}. \n-{align} \]
Secant :
\[ \begin{align} \sec \theta &= \frac {\mbox{hypoténuse}}{\mbox{adjacent}} \N- &= \frac{10}{6} \N- \N- &= \N-{5}{3}. \Nend{align} \]
Cotangente :
\[ \begin{align} \cot \theta &= \frac{\mbox{adjacent}}{\mbox{opposé}} \\N- &= \Nfrac{6}{8} \N- \N- \N- &= \Nfrac{3}{4}. \Nend{align} \]
Parfois, on te demandera de trouver un côté manquant.
Trouve \(x\).
Fig. 8. Triangle avec un angle donné et un côté opposé.
Étape 1 : Identifie le triangle. C'est déjà fait !
Étape 2 : Choisis la bonne fonction.
Les informations dont tu disposes sont un angle et le côté opposé, et ce que tu veux trouver est l'hypoténuse. Cela signifie que tu vas utiliser la fonction sinus.
Étape 3 : Introduis les variables du triangle et résous \(x\).
En utilisant la partie SOH de SOHCAHTOA, tu sais que
\[\sin \theta = \frac{\mbox{opposite}}{\mbox {hypotenuse}} .\]
En ajoutant ce que tu sais, tu obtiens
\[\sin 55 = \frac{16}{x} ,\]
donc
\[ x = \frac{ 16}{\sin 55} \N, \text{cm}. \N]
Si l'on te demande de trouver la valeur approximative de \(x\) à deux décimales près, la réponse sera
\N[ x = 19,53 \N, \Ntext{cm}.\N]
On te demandera parfois de "résoudre" un triangle. Il s'agit en fait de trouver tous les angles et tous les côtés.
Résous le triangle \(\Delta ABC\).
Fig. 9. Résous le triangle.
Réponds :
Ce triangle est déjà étiqueté de façon utile ! Tu sais que l'angle au coin \N(B\N) est \N(90^\Ncirculaire), tu as deux des côtés et un des autres angles. Il ne te reste plus qu'à trouver la longueur du côté (x) et la mesure de l'angle (y).
Commençons par trouver \(x\). C'est l'hypoténuse, l'angle au coin \N(A\N) est \N(50^\Ncirculaire), et le côté adjacent a une longueur \N(5\N, \Ntext{cm}\N). Tu dois donc utiliser la formule suivante\[\cos \theta = \frac{\mbox{adjacent}}{\mbox{hypoténuse}}.\]
Branche ce que tu sais,
\[ \Ncos 50= \Nfrac{5}{x}, \N]
donc
\[ x = \frac{5}{\cos 50} \N, \text{cm}.\N]
Trouvons ensuite \N(y\N). Pour cela, tu peux utiliser une simple soustraction puisque tu sais que la somme de tous les angles d'un triangle est égale à \N(180°\N). Cela te donne
\[ 180 = y + 55 + 90\]
Donc en résolvant pour \N(y\N),
\NY = 35^\circ .\N]
Triangle de trigonométrie - Principaux enseignements
- La trigonométrie des triangles étudie la relation entre les angles et les côtés d'un triangle.
- Il existe 6 fonctions différentes utilisées en trigonométrie : le sinus, le cosinus, la tangente, la cosécante, la sécante et la cotangente.
- L'acronyme SOHCAHTOA peut être utilisé pour te rappeler quelle fonction est appropriée pour résoudre un triangle droit.
SOH - Sinus égal à Opposé à Hypoténuse
CAH - Cosinus égal Adjacent sur Hypoténuse
TOA - Tangente égale Opposé sur Adjacent
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