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Équations paramétriques et vectorielles d'une ligne en 3D
Avant d'aborder les formes paramétriques et vectorielles d'une ligne en 3D, il est important de bien comprendre le fonctionnement des vecteurs.
Vecteurs de position et de direction
Un vecteur est un objet mathématique qui possède à la fois une direction et une magnitude. Ils peuvent être écrits sous deux formes :
Forme du vecteur colonne : \N( \Ndébut{bmatrix} x \Ny \Nz \Nfin{bmatrix}. \N)
Forme de vecteur unitaire : \( x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N)
Fig. 1. Un vecteur peut être considéré comme une flèche qui pointe d'un endroit à un autre.
Un vecteur de position est un vecteur représentant un point dans l'espace, tout comme les coordonnées, tandis qu'un vecteur de direction représente un mouvement. Si tu te déplaces selon un vecteur de direction à partir de l'origine, tu atteindras le point de son vecteur de position correspondant.
Les vecteurs peuvent être additionnés et soustraits en ajoutant ou en soustrayant les composants individuels. Sous forme de colonne, cela signifie qu'il faut ajouter les premières entrées de chaque vecteur pour la première entrée du nouveau vecteur, et ajouter les deuxièmes entrées de chaque vecteur pour la deuxième entrée du nouveau vecteur, et ainsi de suite. Sous forme de vecteur unitaire, il suffit d'ajouter et de soustraire les termes similaires comme tu le ferais avec n'importe quelle autre équation algébrique.
Les vecteurs peuvent également être multipliés par des scalaires, en multipliant chacun des composants individuels par le scalaire. Pour un vecteur colonne, cela signifie simplement multiplier chaque entrée par le scalaire. Pour un vecteur sous forme de vecteur unitaire, il suffit de développer les parenthèses de la manière habituelle. Pour plus d'informations, voir Core Vectors.
Équation paramétrique d'une ligne en 3D
Les équations paramétriques d'une ligne droite en 3 dimensions sont :\[ \begin{align} x & = a_1 + t b_1 \\Ny & = a_2 + t b_2 \Nz & = a_3 + t b_3 \Nend{align} \]
où
\[ \N- début{bmatrix} a_1 \N- a_2 \N- a_3 \N- fin{bmatrix} \N]
est le vecteur position d'un point sur la ligne, et
\[\N- b_1 \N- b_2 \N- b_3 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
est le vecteur de direction de la ligne et \N(t\N) est une variable scalaire.
À partir de cette définition paramétrique, on peut obtenir une forme vectorielle pour une ligne droite en 3D.
Équation vectorielle d'une ligne en 3D
Si tu définis
\[ \vec{r} = \begin{bmatrix} x \\ y\\ z\end{bmatrix}, \vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{bmatrix}, \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} \]
alors la forme paramétrique peut être écrite en une simple équation vectorielle, connue sous le nom de forme vectorielle d'une ligne en 3D :
\[ \vec{r} = \vec{a} + t \vec{b}, \]
qui peut s'écrire sous forme de vecteur colonne comme suit :
\[ \begin{bmatrix} x \\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} + t \N- b_1 \N- b_2 \N- b_3 \N- end{bmatrix}. \]
Équation cartésienne d'une ligne en 3D
Il existe également une équation cartésienne pour une ligne en 3 dimensions. Avec les mêmes paramètres que pour la définition paramétrique, l'équation cartésienne pour une ligne en 3D est :
\[ \frac{ x - a_1}{b_1} = \frac{y-a_2}{b_2} = \frac{z-a_3}{b_3}. \]
Cette formule ne fonctionne que si les composantes du vecteur de direction ne sont pas nulles.
L'équation cartésienne d'une ligne en 3D peut être dérivée en utilisant la forme paramétrique de la ligne en 3D. La forme paramétrique d'une ligne en 3D est :
\[ \begin{align} x & = a_1 + t b_1 \\ y & = a_2 + t b_2 \\ z & = a_3 + t b_3. \Nend{align} \]
Soustrais le terme \(a\) de chacune des équations pour obtenir :
\[ \begin{align} x - a_1 & = t b_1 \\ y - a_2 & = t b_2 \\ z - a_3 & = t b_3. \Nend{align} \]
Maintenant, en supposant que tous les termes sont non nuls, divise par le terme de chaque équation :
\[ \begin{align} \frac{x-a_1}{b_1} &= t \frac{y-a_2}{b_2} &= t \frac{z - a_3}{b_3} &= t. \end{align} \]
En mettant toutes ces équations égales entre elles, tu obtiendras la forme cartésienne :
\[ \frac{ x - a_1}{b_1} = \frac{y-a_2}{b_2} = \frac{z-a_3}{b_3}. \]
Cette méthode te permet de voir qu'une paire d'équations cartésiennes définit une ligne droite en 3D. Cela se produit si l'une des valeurs de \(b\) est 0. Si, par exemple, \( b_1\) est 0, les équations :
\N[ \Nfrac{y-a_2}{b_2} = \Nfrac{z-a_3}{b_3},\Nquad x = a_1\N]].
définira la ligne. Cette méthode ne fonctionne pas si deux des valeurs de \(b\) sont 0, car il ne reste alors que \(t\) dans une seule équation, et tu ne peux donc pas rendre les équations égales entre elles. Dans ce cas, la forme cartésienne n'existe pas.
Équation d'une ligne droite en 3D passant par deux points
Étant donné deux points \( \vec{a}, \N) et \( \vec{b}, \N), la forme vectorielle d'une ligne droite entre eux sera :
\N[ \Nvec{r} = \Nvec{a} + t (\Nvec{a} - \Nvec{b}). \N]
C'est parce que le vecteur de direction entre deux vecteurs de position est la soustraction de l'un des vecteurs à l'autre. Le vecteur que tu utilises comme vecteur de position n'a pas d'importance, ni l'ordre dans lequel tu effectues la soustraction pour le côté vecteur de direction. Tout ce qui compte, c'est de savoir quelles valeurs de \(t\) correspondent à quels points de la ligne.
Lignes obliques, parallèles et sécantes
Dans l'espace 2D, si deux lignes différentes ne se croisent pas, elles doivent être parallèles. Dans l'espace 3D, il est possible que des lignes non parallèles ne se croisent pas non plus : ces lignes sont appelées lignes obliques.
Deux lignes sont obliques si elles ne sont pas parallèles et ne se croisent pas.
Fig. 2. Ces 2 droites ne se croisent pas mais ne sont pas non plus parallèles. Elles sont donc forcément obliques.
Voici un exemple de lignes obliques. Deux lignes en 3D seront parallèles si leurs vecteurs de direction sont des multiples scalaires l'un de l'autre.
Fig. 3. Ces lignes ne se croisent pas mais vont dans la même direction, elles doivent donc être parallèles.
Pour savoir si des lignes se croisent, tu peux les mettre à égalité, ce qui donne trois équations simultanées à deux variables. Si toutes ces équations sont résolues pour les mêmes valeurs, les lignes se coupent. S'il y a des contradictions, les lignes ne se croisent pas et doivent être parallèles ou obliques.
Fig. 4. Ces lignes se croisent.
Voyons quelques exemples dans lesquels tu dois déterminer si les lignes sont obliques, parallèles ou se croisent. Le premier exemple donne les lignes sous forme euclidienne.
Détermine si les lignes suivantes se croisent. Si elles se croisent, trouve le point d'intersection. Si elles ne se croisent pas, détermine si elles sont obliques ou parallèles.
\[ \begin{align} \c{r}_1 : \frac{x-2}{2} & = \frac{y+4}{3} = z-8 \vec{r}_2 : \frac{x+1}{6} & = \frac{y}{9} = \frac{z-9}{3} \N-END{align} \]
Solution
La première étape consiste à déterminer si elles sont parallèles. En effet, il est beaucoup plus rapide de déterminer si des lignes sont parallèles que de déterminer si elles se coupent ou non. Pour déterminer si elles sont parallèles, tu dois trouver les vecteurs de direction, ou le vecteur \(\vec{b}\) de tes formules.
Si tu regardes la formule euclidienne pour une ligne, tu verras que les vecteurs de direction constituent le dénominateur des fractions, donc \(b_1\) est le dénominateur du terme \(x\), \(b_2\) est le dénominateur du terme \(y\), et \(b_3\) est le dénominateur du terme \(z\). Par conséquent, le vecteur de direction de la première ligne est :
\[ \N- Début{bmatrix} 2 \N- 3 \N- 1 \N- Fin{bmatrix} \N].
et le vecteur de direction de la deuxième ligne est :
[\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Tu peux voir que si tu multiplies le premier vecteur de direction par 3, tu obtiendras le deuxième vecteur de direction. Cela signifie que les deux lignes doivent être parallèles, puisque les vecteurs de direction pointent dans la même direction.
Le prochain exemple donnera les lignes sous forme de vecteur.
Détermine si les lignes suivantes se croisent. Si elles se croisent, trouve le point d'intersection. Si elles ne se croisent pas, détermine si elles sont obliques ou parallèles.
\[ \begin{align} \vec{r}_1 & = \begin{bmatrix} 2 \\N -4 \N 3 \Nend{bmatrix} + t \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{bmatrix} 3 \N 11 \N -2 \Nend{bmatrix} \\ \vec{r}_2 & = \begin{bmatrix} 1 \\N- 6 \N- 3 \Nfin{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 4 \\\N- 1 \N -2 \Nend{bmatrix}. \N- \N- \N- \N- \N- \N{align} \]
Solution
Tout d'abord, tu peux dire que les lignes ne sont pas parallèles puisque les vecteurs de direction ne sont pas des multiples l'un de l'autre. Cela signifie qu'elles doivent soit se croiser, soit être obliques. Pour le déterminer, pose d'abord les équations égales entre elles :
\[ \N- Début{bmatrix} 2 \\N -4 \N 3 \Nfin{bmatrix} + t \N- Début{bmatrix} 3 \N-11 \N -2 \Nfin{bmatrix} = \Ndébut{bmatrix} 1 \\N-6 \N-3 \Nend{bmatrix} + s \begin{bmatrix}4 \\ 1\\ -2 \end{bmatrix}. \]
Tu obtiendras ainsi trois équations :
\[\N- 2 + 3t = 1 + 4s & \Nquad \Nimplies\Nquad 3t - 4s = -1 \N- 4 + 11t = 6 + s & \Nquad \Nimplies \Nquad 11t - s = 10 \N- 3 -2t = 3 -2s & \Nquad \Nimplies \Nquad t = s. \Nend{align} \]
Tu dois décider quelles sont les deux équations que tu vas résoudre en premier. Ici, il semble plus facile d'utiliser la troisième équation puisqu'elle se présente déjà sous une forme très simple. Pour cet exemple, utilisons donc les deuxième et troisième équations. En insérant la troisième équation dans la deuxième équation, tu obtiendras :
\[ \N- 11t - t &= 10 \N- 10 t &= 10 \N- t &= 1.\Nend{align}]. \]
Puisque tu as de la troisième équation que \N( t = s, \N) il doit être que \N(s = 1 \N) aussi. La solution de tes équations simultanées est donc \N(t = s = 1.\N).
Maintenant, pour vérifier si les lignes se croisent, introduis ces valeurs dans la première équation. Si l'équation est vraie, les lignes se coupent. Si elle est fausse, les lignes ne se croisent pas. En vérifiant, tu vois que
\[ \N- 3t - 4 s &= 3 - 4 \N- &= -1, \N-]
ce qui est le résultat requis. Les lignes doivent donc se croiser. Pour trouver le point d'intersection, il suffit de brancher \N(t) ou \N(s) sur les équations des lignes vectorielles correspondantes. En insérant \(t=1\) dans la première équation, on obtient :
\[ \begin{align} \vec{r_1} & = \begin{bmatrix} 2 \\N -4 \N 3 \Nfin{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \N-11 \N -2 \Nend{bmatrix} \\N- & = \N- Début{bmatrix} 5 \N- 7 \N- 1 \N-end{bmatrix} .\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{align} \]
Les droites se croisent donc au point \N( (5, 7, 1). \)
Voyons un dernier exemple de question de ce type, cette fois-ci avec la droite sous forme paramétrique.
Détermine si les lignes suivantes se croisent. Si elles se croisent, trouve le point d'intersection. Si elles ne se croisent pas, détermine si elles sont obliques ou parallèles.
Ligne 1 :
\[ \begin{align} x & = 11 - 10t \\ y & = 2 - 7t \\ z & = 3. \Nend{align} \]
Ligne 2 :
\[ \begin{align} x & = 1 + 2s \\ y & = 1 + 6s \\ z & = 1 - 2 s. \end{align} \]
Solution
Détermine d'abord si les lignes sont parallèles. Comme il ne s'agit pas d'un vecteur, tu dois créer les vecteurs de direction pour pouvoir le vérifier. Les vecteurs de direction seront créés en utilisant le coefficient des termes scalaires \( t\N) et \N(s\N).
Le vecteur de direction pour la ligne 1 est :
\[ \N- début{bmatrix} -10 \N- 7 \N- 0 \N-fin{bmatrix}, \N].
et le vecteur de direction pour la ligne 2 est :
\[ \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{bmatrix}. \]
Il est impossible que ces lignes soient parallèles parce qu'aucun scalaire ne peut faire en sorte que le \(0\) de la dernière position du premier vecteur de direction devienne \(-2\). Puisque ces lignes ne sont pas parallèles, elles doivent être soit obliques, soit se croiser. Pour le savoir, commence par mettre chacune des équations paramétriques à égalité :
\11 - 10t = 1 + 2s & \quad \implies \quad -10t - 2s = -10 \\n- 2 - 7t = 1 + 6s & \quad \implies \quad -7t -6s = -1 \n- 3 = 1 - 2s & \quad \implies\quad s = -1. \N-END{align} \]
Encore une fois, tu dois décider quelles sont les deux équations à résoudre en premier. Encore une fois, utilisons les deuxième et troisième équations. En substituant la troisième équation à la deuxième, tu obtiendras :
\N[\N- 7t + 6 &= -1\N- t &= \Nfrac{5}{7}. \Nend{align} \N].
Maintenant que tu as à la fois \N( t \N) et \N(s \N), tu peux les substituer à l'équation \N(-10t - 2s = -10 \N). Si c'est vrai, les lignes se croisent, et si c'est faux, les lignes doivent être obliques, puisque tu as montré qu'elles ne sont pas parallèles. Puisque
\N-[ \N-{align} -10t - 2s &= -10 \Ncdot \Nfrac{5}{7}]. - 2 \cdot -1 \cdot &= -\frac{50}{7} + 2 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{64}{7} \N- & \Nneq -10, \Nend{align} \]
les lignes doivent être obliques.
Équation d'une ligne parallèle à l'axe \(x\) en 3D
Pour créer une ligne parallèle à l'axe des x, tu as besoin d'un vecteur de direction parallèle à l'axe des x. Il s'agit simplement du vecteur unitaire standard, \(\vec{i}.\N-) Par conséquent, pour tout vecteur de position \( \vec{a},\N-) l'équation vectorielle pour une ligne passant par \(\vec{a}\N-) qui est parallèle à l'axe \N(x\N-) est :
\N[ \Nvec{r} = \Nvec{a} + t \Nvec{i}.\N].
Les équations paramétriques de cette ligne seront :
\[ \begin{align} x & = a_1 + t \\ y & = a_2 \\ z & = a_3. \Nend{align} \]
Comme les composantes \N(y \N) et \N(z\N) du vecteur de direction sont \N(0\N), il n'y a pas de forme cartésienne pour cette ligne.
Équation d'une ligne parallèle à l'axe \(z\) en 3D
La recherche d'une ligne parallèle à l'axe des zéros en 3D fonctionne exactement de la même manière que la ligne parallèle à l'axe des x de la section précédente, mais en remplaçant \N(\Nvec{i} \N) par \N(\Nvec{k}. \Par conséquent, pour tout vecteur de position \N( \Nvec{a},\N) l'équation vectorielle pour une ligne passant par \N(\Nvec{a}\N) qui est parallèle à l'axe \N(z) est :
\N[ \Nvec{r} = \Nvec{a} + t \Nvec{k}.\N].
Les équations paramétriques de cette ligne seront :
\[ \begin{align} x& = a_1 \\ y & = a_2 \\ z& = a_3+t. \Nend{align} \]
Comme les composantes \N(x) et \N(y) du vecteur de direction sont \N(0), il n'y a pas de forme cartésienne pour cette ligne.
Équation d'une ligne en 3D - Principaux enseignements
- Une ligne en 3D peut être définie de 3 façons différentes :
- Forme paramétrique : \N( \N- x & = a_1 + t b_1 \N- y & = a_2 + t b_2 \N- z & = a_3 + t b_3 \N- end{align}) \)
- Forme vectorielle : \( \begin{bmatrix} x \\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} + t \N- b_1 \N- b_2 \N- b_3 \N- end{bmatrix}. \)
- Forme cartésienne : \( \dfrac{ x - a_1}{b_1} = \dfrac{y-a_2}{b_2} = \dfrac{z-a_3}{b_3}, \) en supposant qu'aucune des valeurs \(\vec{b} \r) n'est \(0\r).
- Deux lignes sont parallèles si l'un des vecteurs de direction est un multiple scalaire de l'autre.
- Deux droites se coupent si tu peux définir les équations paramétriques de deux droites égales l'une à l'autre, les résoudre simultanément et n'obtenir aucune contradiction.
- Deux droites sont obliques si elles ne sont pas parallèles et ne se coupent pas.
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