Théorème ASA

Théorème d'ASA en géométrie

En géométrie, deux triangles sont congruents lorsque tous les côtés d'un triangle sont respectivement égaux à tous les côtés d'un autre triangle. Ou bien les trois angles des deux triangles doivent être respectivement égaux. Mais avec le critère ASA, nous pouvons montrer les triangles congruents à l'aide de deux angles et d'un côté de chaque triangle.

Le théorème ASA, comme son nom l'indique, considère que deux angles et un côté d'un triangle sont respectivement égaux à un autre triangle. On prend ici deux angles adjacents et le côté inclus entre ces angles. Mais il ne faut pas oublier qu'ASA n'est pas la même chose qu'AAS. En effet, ASA prend le côté inclus des deux triangles, alors que dans AAS, le côté choisi est le côté non inclus des deux angles.

Triangles ASA, StudySmarter Originals

Théorème de similitude et de congruence de l'ASA

Nous pouvons facilement trouver des triangles similaires et des triangles congruents à l'aide du théorème de similarité et de congruence de l'ASA.

Théorème de similitude ASA

Nous savons que si deux triangles sont semblables, alors tous les côtés correspondants sont en proportionnalité et toutes les paires correspondantes sont congruentes d'après la définition des triangles semblables. Cependant, pour s'assurer de la similitude de deux triangles, nous n'avons besoin que d'informations sur deux angles grâce au théorème de similitude d'ASA.

Mathématiquement, nous représentons ce théorème par la formule suivante : si $\angle A=\angle X,\angle B=\angle Y,$ alors $△ABC~△XYZ.$ Et$\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}.$

ASA triangles de similitude, StudySmarter Originals

En général, la similitude ASA est plus connue sous le nom de théorème de similitude AA, car il n'y a rien d'autre à vérifier en raison d'un seul rapport de côtés. De plus, lorsque deux mesures d'angle sont données, nous pouvons facilement trouver le troisième angle en tant que mesure totale de l'angle isid="5311387" role="math" $180°$. Nous pouvons donc facilement vérifier l'égalité des angles correspondants de deux triangles et déterminer la similitude des deux triangles.

Théorème de congruence ASA

Le théorème de congruence ASA signifie Angle-Côté-Angle et donne la relation de congruence entre deux triangles.

Mathématiquement, on dit que si$\angle B\cong \angle M,BC\cong MN,\angle C\cong \angle N,$ then id="5311388" role="math" $△ABC\cong △LMN.$

Comme les angles et les côtés sont congruents, ils seront également égaux. Donc$\angle B=\angle M,BC=MN,\angle C=\angle N,$alors$△ABC\cong △LMN.$

Triangles congruents ASA, StudySmarter Originals

Preuve du théorème ASA

Voyons maintenant la preuve du théorème de l'ASA pour la similitude et la congruence.

Preuve du théorème de similitude de l'ASA

Pour deux triangles $△ABC$ et $△XYZ,$ l'énoncé du théorème de similitude d'ASA indique que $\angle A=\angle X,\angle B=\angle Y.$

À prouver : $△ABC~△XYZ.$ Et $\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}.$

Triangle ASA avec ligne construite , StudySmarter Originals

Maintenant, comme deux angles $\angle A$ et $\angle B$ sont déjà donnés dans $△ABC,$ nous pouvons facilement trouver $\angle C$ en prenant $180°-(\angle A+\angle B).$Et il en sera de même pour le triangle$△XYZ.$

Nous allons construire une ligne PQ dans le triangle $△XYZ$ telle que $XP=AB$ et $XQ=AC.$ On sait également que $\angle A=\angle X.$ En utilisant le théorème de congruence de SAS, on obtient que $△ABC~△XPQ.$

Puisque $△ABC~△XPQ$ alors les parties correspondantes des triangles congruents sont congruentes.

$\Rightarrow \angle B=\angle P\left(1\right)$

De plus, il est donné que

$\angle B=\angle Y\left(2\right)$

D'après l'équation (1) et l'équation (2) $\angle P=\angle Y.$

Puisque $\angle P$ et $\angle Y$ forment les angles correspondants et XY fonctionne comme une transversale $PQ\parallel YZ.$

Utilisation du théorème de proportionnalité de base en $△XYZ,$

$\frac{XP}{XY}=\frac{XQ}{XZ}$

À partir de la construction de PQ, nous remplaçons $XP=AB$et $XQ=AC$ dans l'équation ci-dessus.

$\Rightarrow \frac{AB}{XY}=\frac{AC}{XZ}$

De même, $\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}$

$\Rightarrow \frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}$

D'où $△ABC~△XYZ.$

Preuve du théorème de congruence d'ASA

L'énoncé du théorème de congruence d'ASA nous indique que $\angle B=\angle M,\angle C=\angle N,$ et $BC=MN.$

Triangles congruents ASA, StudySmarter Originals

À prouver : $△ABC\cong △LMN$

Pour prouver l'énoncé ci-dessus, nous allons considérer différents cas.

Cas 1: Suppose que $AB=LM.$

ASA triangles congruents avec AB et LM égaux, StudySmarter Originals

En $△ABC$ et $△LMN,AB=LM$ à partir de notre hypothèse. Et il est donné que $\angle B=\angle M$ et $BC=MN.$ Donc par le théorème de congruence de SAS $△ABC\cong △LMN.$

Cas 2: Supposons que $AB>LM.$

Nous construisons alors un point X sur AB tel que id="5311389" role="math" $XB=LM.$

Triangle congru ASA avec le point X construit, StudySmarter Originals

Nous avons $XB=LM,\angle B=\angle M$ et $BC=MN.$ En utilisant le théorème de congruence de SAS $△XBC\cong △LMN.$

On sait maintenant que $\angle ACB=\angle LNM\left(1\right)$

Et à partir de la congruence ci-dessus,id="5311390" role="math" $△XBC\cong LMN,$ nous obtenons que id="5311397" role="math" $\angle XCB=\angle LNM\left(2\right)$

Donc, à partir des équations (1) et (2), nous obtenons

$$\begin{gathered} \angle ACB=\angle LNM=\angle XCB \\ \Rightarrow \angle ACB=\angle XCB \end{gathered}$$

Mais d'après notre hypothèse de $AB>LM,$ et aussi en regardant la figure, ce n'est pas possible. Donc $\angle ACB=\angle XCB$ ne peut se produire que lorsque les points A et X coïncident et que $AC=XC.$

Nous nous retrouvons donc à nouveau avec le fait que $△ABC$ et $△XCB$ sont égaux. Par conséquent, nous ne pouvons considérer qu'un seul triangle $△ABC$tel que $AB=LM.$ C'est donc la même chose que dans le cas 1, et nous en déduisons que $△ABC\cong △LMN.$

Cas 3: Supposons que $AB<LM.$

Construis alors un point Y sur LM tel que $AB=YM$ et nous répétons le même argument que dans le cas 2.

Triangles congruents ASA avec le point Y construit, StudySmarter Originals

Nous obtenons donc que $△ABC\cong △LMN.$

Exemple de théorème ASA

Voyons quelques exemples liés aux théorèmes ASA.