Lignes parallèles

Tout autour de nous, nous voyons de nombreuses formes de lignes différentes, comme le bord de la table, les coins des planchers et des plafonds, les côtés des portes et des fenêtres, etc. Mais il existe des formes de lignes droites qui vont côte à côte dans la même direction sans intersection. Comme les deux côtés opposés de la porte sur la même face. Ce type de ligne est un exemple de lignes parallèles.

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    Dans cette explication, nous allons comprendre le concept de lignes parallèles et leurs différentes propriétés.

    Définition des lignes parallèles

    Les lignes parallèles sont les types de lignes qui consistent en deux ou plusieurs lignes dans le même plan.

    Deux ou plusieurs lignes droites dans le même plan qui sont équidistantes (ayant la même distance entre elles en tout point) et qui ne se coupent jamais en aucun point sont appelées lignes parallèles.

    Les droites parallèles restent à la même distance les unes des autres, quelle que soit la distance à laquelle elles sont prolongées. Elles peuvent être construites dans n'importe quelle direction, qu'elle soit horizontale, verticale ou diagonale. Mathématiquement, elles sont représentées par le symbole que l'on appelle "est parallèle à".

    Lignes parallèles, exemples de lignes parallèles, StudySmarterLignes parallèles, StudySmarter Originals

    Dans la figure ci-dessus, p et q sont des lignes parallèles et m et n sont des lignes parallèles. On dit donc quepqetmn.Mais la ligne a et la ligne b ne sont pas parallèles l'une à l'autre car en prolongeant les deux lignes, elles se croiseront à un certain point. Donc a n'est pas parallèle à b (c'est-à-direab).

    Angles des lignes parallèles

    Comme les lignes parallèles ne se croisent pas, aucun angle ne peut être formé entre elles. Mais lorsqu'une autre ligne que les lignes parallèles données coupe les deux lignes parallèles, des angles se forment entre elles.

    Lorsqu'une ligne coupe les deux lignes parallèles en un point donné du même plan, cette ligne est appelée transversale.

    Lignes parallèles, transversales, StudySmarterTransversale coupant des lignes parallèles, StudySmarter Originals

    Dans la figure ci-dessus, nous pouvons voir que la ligne l coupe les deux lignes parallèles a et b. La ligne l est donc la ligne transversale. Comme la transversale coupe des lignes parallèles, on peut voir qu'elle forme des paires d'angles avec les deux lignes. Il existe différents types d'angles créés par les transversales.

    Angles correspondants

    Les angles qui se forment du même côté de la transversale et sur les angles correspondants des lignes parallèles sont appelés angles correspondants.

    Les angles correspondants sont facilement identifiables par la forme d'un "F". Ils peuvent être formés de toute façon à l'envers ou à l'endroit et à l'envers. Les angles correspondants sont toujours égaux entre eux sur les lignes parallèles.

    Lignes parallèles, angles correspondants, StudySmarterAngles correspondants de droites parallèles, StudySmarter Originals

    Angles alternés

    Les angles formés sur le côté opposé d'une transversale sur des droites parallèles sont appelés angles alternatifs.

    Les angles alternatifs se présentent sous la forme d'un "Z". Il peut s'agir d'angles intérieurs ou extérieurs. De même, comme les angles correspondants, les angles alternatifs peuvent être formés dans n'importe quelle direction. Les paires d'angles alternatifs sont toujours égales entre elles.

    Lignes parallèles, angles alternés, StudySmarterAngles intérieurs alternés de lignes parallèles, StudySmarter Originals

    Dans la figure ci-dessus, les deux angles sont des angles intérieurs alternés.

    Angles intérieurs

    Les angles formés sur le même côté de la transversale se faisant face sur des lignes parallèles sont appelés angles intérieurs.

    Les angles intérieurs ont la forme d'un "U". Ils peuvent se trouver de chaque côté de la transversale contenant les deux droites parallèles. La somme des angles intérieurs sera toujours 180°.

    Lignes parallèles, angles intérieurs, StudySmarterAngles intérieurs de droites parallèles, StudySmarter Originals

    Angles extérieurs

    Les angles qui se trouvent à l'extérieur des côtés des lignes parallèles mais sur la même ligne transversale sont appelés angles extérieurs.

    Les angles extérieurs ont la forme d'un "U" mais sont situés à l'extérieur de celui-ci. La somme des paires d'angles extérieurs est toujours égale à180°.

    Lignes parallèles, angles extérieurs, StudySmarterAngles extérieurs, StudySmarter Originals

    Angles opposés verticalement

    Les angles formés sur l'une des droites parallèles et des transversales qui sont opposés l'un à l'autre sont appelés angles verticalement opposés.

    Les angles verticalement opposés se présentent sous la forme de deux "V" qui se touchent. Ils ne contenaient qu'une seule des droites parallèles pour chaque paire. Les angles verticalement opposés sont égaux entre eux.

    Lignes parallèles, angles opposés verticalement, StudySmarterAngles opposés verticalement, StudySmarter Originals

    Nous pouvons donc représenter toutes les paires d'angles pour tous les types d'angles comme ci-dessous.

    Lignes parallèles, angles des lignes parallèles, StudySmarterToutes les paires d'angles dans les lignes parallèles, StudySmarter Originals.

    • Paires d'angles correspondants :A&E ; B&F ; C&G ; D&H
    • Paires d'angles alternatifs : C&E ; D&F
    • Paires d'angles intérieurs :C&F ; D&E
    • Paires d'angles extérieurs : A&H ; B&G
    • Paires d'angles verticalement opposés : A&C ; B&D ; E&G ; F&H

    Équations de droites parallèles

    Les lignes parallèles sont un type de ligne. Nous pouvons donc représenter les lignes parallèles sous la forme d'une équation de la ligne. Nous savons qu'en géométrie des coordonnées, l'équation de la droite peut être écrite sous la forme de y=mx+b. Nous pouvons donc également représenter les lignes parallèles sous la forme de l'équation suivante y=mx+b.

    Ici, b est l'ordonnée à l'origine, et peut donc avoir n'importe quelle valeur. Il est important de se rappeler que lorsque deux ou plusieurs lignes sont parallèles, la valeur de b pour chaque ligne doit être différente de l'une à l'autre. Si elles sont égales, les équations de toutes les lignes seront les mêmes et elles pourront être considérées comme une seule ligne.

    Et m est le gradient ou la pente de cette ligne. Ici, contrairement à b, la valeur de m pour toutes les droites parallèles doit être égale. Comme m représente la pente de la ligne, si m est différent pour toutes les lignes parallèles, elles se croiseront et ne seront plus considérées comme parallèles.

    Nous comprendrons le concept de gradient et comment il peut être trouvé bientôt dans le sujet suivant.

    Lignes parallèles, équation des lignes parallèles, StudySmarterEquation des droites parallèles dans un graphique, StudySmarter Originals

    Gradient des droites parallèles

    Le gradient ou la pente des lignes parallèles est l'inclinaison de cette ligne sur le graphique. Le gradient des lignes parallèles est calculé par rapport à l'axe x positif du graphique et les lignes parallèles sont inclinées par rapport à l'axe x positif.

    Nous savons d'après ce qui précède que l'équation des droites parallèles est la suivante y=mx+b. Supposons maintenant que l'équation d'une ligne y=m1x+b1et que l'équation de l'autre ligne est y=m2x+b2. Ici, l'ordonnée à l'origine et l'ordonnée à l'origine sontb1,b2 sont l'ordonnée à l'origine et m est la pente des droites parallèles. Pour que les deux droites deviennent parallèles, leur pente doit être égale. C'est-à-dire id="5310567" role="math" m1=m2. Cette égalité peut être obtenue en considérant l'angle entre les deux lignes.

    Si l'on nous donne déjà deux points sur chaque ligne du graphique, alors nous pouvons calculer et vérifier la pente à l'aide de la formule :

    m=y2-y1x2-x1,x1,x2,y1,y2sont les points de l'axe des x et de l'axe des y pour la ligne simple.

    Exemples de droites parallèles

    Voyons quelques exemples de droites parallèles et comprenons comment trouver les angles et la pente des droites parallèles.

    Dans la figure donnée, m et n sont des droites parallèles et l est la transversale qui coupe les deux droites parallèles. Trouve la valeur de x si C=x+22, F=2x-13est donnée.

    Théorème des lignes parallèles, exemples de lignes parallèles, StudySmarterDroites parallèles avec transversale, StudySmarter Originals

    Solution :

    Nous savons déjà que les lignes m et n sont parallèles entre elles et que la ligne l est transversale à m et n.

    La figure montre donc clairement queC etF sont des angles intérieurs puisqu'ils forment un "U".

    Comme les deux angles sont des angles intérieurs, nous savons que leur somme est égale à180°.

    C+F=180° (x+22)°+(2x-13)°=180° x°+2x°+22°-13°=180° 3x°+9°=180° 3x°=180°-9° 3x°=171° x=171°3° x=57°

    Trouve la valeur deQ, Rà partir de la figure donnée siP=64°est donnée. De plus, les droites a, b et c sont des droites parallèles coupées par la transversale t.

    Lignes parallèles, exemples de lignes parallèles, StudySmarterLignes parallèles avec angles manquants, StudySmarter Originals

    Solution :

    On sait que les lignes a,b et c sont parallèles entre elles, et que la ligne t agit comme une transversale à ces trois lignes.

    Tout d'abord, nous trouvons la valeur deQ. Nous pouvons voir sur la figure que les anglesPetT forment un "U". Les anglesP et T sont donc des angles intérieurs. La somme de ces deux angles sera donc180°.

    P+T=180° T=180°-P T=180°-64° T=116°

    MaintenantQetTsont des angles verticalement opposés. Les deux angles seront donc égaux entre eux.

    T=QAs T=116°, Q=116°

    D'après la figure, nous pouvons voir queQ etR forment un "F", ce sont donc des angles correspondants. Ils sont donc égaux l'un à l'autre.

    Q=R R=116°

    La valeur des deux angles est donc Q=R=116°.

    Vérifie si les lignes données sont des lignes parallèles ou non.

    a) y=3x+7 b) y=2x-5 y=3x+4 y=5x-5

    Solution :

    a) On nous donne ici deux équations de droites y=3x+7, y=3x+4.. En les comparant à l'équation générale des droites parallèlesy=mx+b,, nous obtenons que m1=3, m2=3, b1=7, b2=4. etm1, m2sont les gradients des droites parallèles etb1, b2sont les ordonnées à l'origine.

    Comme nous le savons, pour que des droites soient parallèles, les gradients doivent être égaux. Et nous pouvons clairement voir dans les équations ci-dessus que m1=m2. Note également que les valeursb1, b2sont différentes. Les deux droites sont donc parallèles.

    b) Ici, les équations des droites sont données comme suit y=2x-5, y=5x-5.En les comparant à l'équation générale des droites parallèles y=mx+b, nous obtenons que m1=2, m2=5, b1=-5, b2=-5.

    Comme nous obtenons ici quem1m2nous pouvons dire immédiatement que les deux droites données ne sont pas parallèles entre elles.

    Lignes parallèles - Points clés

    • Deux ou plusieurs droites situées dans le même plan qui sont équidistantes (ayant la même distance entre elles en tout point) et qui ne se coupent jamais en aucun point sont appelées droites parallèles.
    • Les angles qui se forment du même côté de la transversale et sur les angles correspondants des droites parallèles sont appelés angles correspondants.
    • Les angles formés du côté opposé à la transversale sur les lignes parallèles sont appelés angles alternatifs.
    • Les angles formés sur le même côté de la transversale se faisant face sur des lignes parallèles sont appelés angles intérieurs.
    • Les angles qui sont en dehors des côtés des lignes parallèles mais sur le même côté de la transversale sont appelés angles extérieurs.
    • Les angles formés sur l'une quelconque des droites parallèles et des transversales qui sont opposés l'un à l'autre sont appelés angles verticalement opposés.
    • L'équation de la ligne parallèle esty=mx+b,où la pente m des deux droites doit être égale.
    Questions fréquemment posées en Lignes parallèles
    Qu'est-ce que les lignes parallèles?
    Les lignes parallèles sont des lignes dans un plan qui ne se rencontrent jamais, peu importe leur longueur.
    Comment identifier des lignes parallèles?
    Pour identifier des lignes parallèles, vérifiez si elles ont la même pente ou si elles maintiennent une distance constante entre elles.
    Quelle est la différence entre lignes parallèles et perpendiculaires?
    Les lignes parallèles ne se croisent jamais. Les lignes perpendiculaires se croisent à un angle de 90 degrés.
    Quelle est la formule pour vérifier si deux lignes sont parallèles?
    Pour vérifier si deux lignes sont parallèles, comparez leurs pentes. Si les pentes sont égales, les lignes sont parallèles.

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    Les lignes parallèles peuvent-elles contenir plus de deux lignes ?

    Les lignes perpendiculaires et les lignes parallèles sont égales.

    Lequel/lesquels des éléments suivants est/sont la/les condition(s) pour les lignes parallèles ?

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