Fonctions inverses
On parle de fonction inverse lorsque la fonction prend l'opération opposée à la fonction d'origine. Cela se présente comme suit
. C'est une fonction qui annule l'effet d'une autre fonction. Cela signifie que si tu appliques une fonction puis son inverse à un élément, tu reviens à l'élément d'origine. Si tu appliques d'abord la fonction originale à un nombre, puis sa fonction inverse, le nombre initial sera rétabli. Les fonctions inverses peuvent être utilisées pour résoudre des équations fonctionnelles en annulant les effets d'une fonction et en ramenant la variable à sa forme originale.
Si nous traçons une fonction et son inverse sur un graphique, les courbes représentatives
et se reflèteront l'une l'autre.
Considérons \(f(x) = 2x + 4\)
Soit \(f(x) = 2x + 4 = y\)
\(y = 2x + 4\)
![]()
C'est l'inverse de \(f(x)\).
Images et antécédents d'une fonction
Applications
Une application est une relation qui assigne à chaque élément d'un ensemble un unique élément d'un autre ensemble. En mathématiques, on étudie souvent des applications qui sont définies par des fonctions. Une fonction est une relation entre deux ensembles, appelés domaine et co-domaine, qui associe à chaque élément du domaine un unique élément du co-domaine.
Le principe d'antécédents et d'images est une des applications fondamentales des fonctions. Considérons une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\). Pour chaque élément \(x\) de \(E\), nous pouvons associer une image \(f(x)\), appelée image de \(x\) par \(f\). L'ensemble des images des éléments de \(E\) est appelé image de \(E\) par \(f\) et est noté \(f(E)\). De manière analogue, si \(B\) est un sous-ensemble de \(E\), l'image de \(B\) par \(f\), notée \(f(B)\), est l'ensemble des images des éléments de \(B\).
L'application de la fonction aux antécédents se traduit donc par l'obtention de l'image correspondante à un élément particulier ou d'un ensemble d'éléments. Cette application est particulièrement utile en mathématiques, car cela permet de représenter et étudier les relations entre les éléments d'un ensemble.
Une application, c'est-à-dire la relation entre deux ensembles peut prendre un antécédent d'un ensemble de nombres et le transformer en une image. Une application peut être considérée comme une fonction si une entrée crée une sortie distincte. Voici les quatre façons dont nous pouvons mettre en correspondance des entrées et des sorties :
Fig. 1 - Applications d'images et d'antécédents
Seuls deux de ces exemples créent des fonctions, à savoir un à un et plusieurs à un. Par ailleurs, le terme ensemble de définition est important à connaître pour parler des antécédents :
L'ensemble de définition est connu comme étant les antécédents possibles pour la fonction.
Comment les graphiques sont-ils utilisés pour les fonctions ?
Un graphique est capable de te donner une représentation visuelle d'une fonction, chaque fonction te donnera un type de graphique différent. De nombreux facteurs différents peuvent modifier la forme du graphique, par exemple :
- Si la fonction est négative ou positive.
- L'équation de la fonction.
Courbes représentatives de polynômes
Les polynômes peuvent être décrits comme des expressions contenant des variables élevées à une puissance positive, qui peuvent également être multipliées par un coefficient. Les polynômes peuvent sembler compliqués, mais ils peuvent aussi être très simples, par exemple, \(4x^3 + 3x^2 + 2x + x\) est un polynôme, mais aussi \(2x+3\). Ces expressions sont également représentées graphiquement pour te donner une représentation visuelle et, tout comme les courbes des fonctions, elles peuvent avoir un aspect très différent selon le polynôme représenté sur le graphique.
Qu'est-ce qu'une inégalité ?
Les inégalités sont des expressions algébriques qui montrent comment un terme ou nombre est inférieur, supérieur ou égal à un autre terme ou nombre. Les symboles utilisés pour représenter cela sont les suivants :
\(2x\) > \(4\) Ceci te montre que \(2x\) est supérieur à \(4\)
\(x\) < \(10\) Ceci te montre que \(x\) est inférieur à \(10\)
\(2x^3 + 5\) ≥ \(20\) Ceci te montre que \(2x^3+5\) est supérieur ou égal à \(20\)
Types de fonctions mathématiques
Les fonctions mathématiques sont des outils indispensables pour étudier et modéliser le monde qui nous entoure. Elles permettent de décrire une relation entre une variable et une autre, et de quantifier les changements qui se produisent lorsque la variable est modifiée. Les fonctions les plus courantes sont les fonctions affines, carrées et cubiques.
La fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une droite. La fonction carrée est une fonction polynomiale de degré \(2\), c'est-à-dire qu'elle peut être représentée par une équation du type \(y = ax^2 + bx + c\). Enfin, la fonction cubique est une fonction polynomiale de degré \(3\), c'est-à-dire qu'elle peut être représentée par une équation du type \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\).
Les fonctions racine carrée et valeur absolue sont également fréquemment utilisées en mathématiques.
La fonction racine carrée permet de calculer la racine carrée d'un nombre, c'est-à-dire le nombre qui doit être multiplié par lui-même pour donner le nombre original. Par convention, nous prenons la racine positive du nombre.
La racine carrée de \(9\) est \(3\), car \(3 \times 3 = 9\)
Fig. 2 - Représentation graphique de la fonction racine carrée
La fonction valeur absolue permet de calculer la valeur absolue d'un nombre, c'est-à-dire sa magnitude sans tenir compte de son signe.
La valeur absolue de \(-5\) est \(5\), car \(5\) est la magnitude du nombre \(-5\).
Fig. 3 - Représentation graphique de la fonction valeur absolue
Les fonctions mathématiques sont des outils extrêmement puissants qui permettent de modéliser et comprendre le monde qui nous entoure.
Fonctions mathématiques - Points clés
Les fonctions ont une entrée (antécédent) qui affecte la sortie (image).
Le principe des images et antécédents est utilisé pour trouver l'ensemble de définition et les sorties possibles d'une fonction.
Les fonctions nous permettent de décrire une relation entre une variable et une autre, et de quantifier les changements qui se produisent lorsque la variable est modifiée.
Les fonctions les plus courantes sont les fonctions inverses, composées, affines, cubiques, carrées, racine carrée et valeur absolue.
Cours 
Magazine 
