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Fonctions mathématiques

Une fonction est une relation mathématique. Elle prend une entrée et produit une sortie. Les fonctions disposent d'une représentation algébrique et peuvent être écrites comme f et l'antécédent comme x, ce qui donne l'image f(x). Les fonctions peuvent être variées et utiliser différentes expressions, par exemple, \(f(x) = x^2\) ou \(f(x) = 2x - 1\). Nous verrons principalement deux types de fonctions importantes : les fonctions composées et les fonctions inverses. Puis, nous introduirons d'autres types de fonctions mathématiques qui nous seront utiles plus tard.

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Une fonction est une relation mathématique. Elle prend une entrée et produit une sortie. Les fonctions disposent d'une représentation algébrique et peuvent être écrites comme f et l'antécédent comme x, ce qui donne l'image f(x). Les fonctions peuvent être variées et utiliser différentes expressions, par exemple, \(f(x) = x^2\) ou \(f(x) = 2x - 1\). Nous verrons principalement deux types de fonctions importantes : les fonctions composées et les fonctions inverses. Puis, nous introduirons d'autres types de fonctions mathématiques qui nous seront utiles plus tard.

Fonctions composées

Une fonction composée consiste à combiner deux fonctions ou plus pour créer une nouvelle fonction. Cette fonction est également connue sous le nom de fonction d'une fonction. Par exemple, prenons \(f(g(x))\). Cela signifie que tu trouves d'abord \(g(x)\), puis que tu utilises le résultat de ce calcul pour trouver \(f(x)\).

Étant donné que \(f(x) = x + 2\) et \(g(x) = 3x - 1\), trouve \(f(g(4))\).

Tout d'abord, tu dois trouver \(g(4)\)

\(g(4) = 3(4) - 1\)

\(g(4) = 11\)

Maintenant, tu peux mettre le résultat de \(g(4)\), qui est \(11\), dans ta fonction \(f\) pour trouver \(f(g(4))\)

\(f(11) = 11 + 2\)

\(f(11) = 13\)

Donc \(f(g(4))\) = 13

Il est important de résoudre les fonctions dans un ordre spécifique car \(f(g(x))\) n'est pas la même chose que (\g(f(x))\). Voyons comment calculer \(g(f(4))\) pour voir si la réponse est différente :

Étant donné que \(f(x) = x + 2\) et \(g(x) = 3x - 1\), trouve \(g(f(4))\).

Cette fois-ci, tu dois d'abord trouver \(f(4)\)

\(f(4) = 4 + 2\)

\(f(4) = 6\)

Maintenant, tu peux utiliser ce résultat pour trouver g(x) en utilisant 6

\(g(6) = 3(6) -1\)

\(g(6) = 17\)

Donc \(g(f(4))\) \(= 17\). N'oublie pas de calculer d'abord la fonction qui est la plus proche des parenthèses.

Fonctions inverses

On parle de fonction inverse lorsque la fonction prend l'opération opposée à la fonction d'origine. Cela se présente comme suitFonctions mathématiques Fonction inverse StudySmarter. C'est une fonction qui annule l'effet d'une autre fonction. Cela signifie que si tu appliques une fonction puis son inverse à un élément, tu reviens à l'élément d'origine. Si tu appliques d'abord la fonction originale à un nombre, puis sa fonction inverse, le nombre initial sera rétabli. Les fonctions inverses peuvent être utilisées pour résoudre des équations fonctionnelles en annulant les effets d'une fonction et en ramenant la variable à sa forme originale.

Si nous traçons une fonction et son inverse sur un graphique, les courbes représentativesFonctions mathématiques Fonction de x StudySmarteret Fonctions mathématiques Fonction inverse StudySmarterse reflèteront l'une l'autre.

Considérons \(f(x) = 2x + 4\)

Soit \(f(x) = 2x + 4 = y\)

\(y = 2x + 4\)

C'est l'inverse de \(f(x)\).

Images et antécédents d'une fonction

Applications

Une application est une relation qui assigne à chaque élément d'un ensemble un unique élément d'un autre ensemble. En mathématiques, on étudie souvent des applications qui sont définies par des fonctions. Une fonction est une relation entre deux ensembles, appelés domaine et co-domaine, qui associe à chaque élément du domaine un unique élément du co-domaine.

Le principe d'antécédents et d'images est une des applications fondamentales des fonctions. Considérons une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\). Pour chaque élément \(x\) de \(E\), nous pouvons associer une image \(f(x)\), appelée image de \(x\) par \(f\). L'ensemble des images des éléments de \(E\) est appelé image de \(E\) par \(f\) et est noté \(f(E)\). De manière analogue, si \(B\) est un sous-ensemble de \(E\), l'image de \(B\) par \(f\), notée \(f(B)\), est l'ensemble des images des éléments de \(B\).

L'application de la fonction aux antécédents se traduit donc par l'obtention de l'image correspondante à un élément particulier ou d'un ensemble d'éléments. Cette application est particulièrement utile en mathématiques, car cela permet de représenter et étudier les relations entre les éléments d'un ensemble.

Une application, c'est-à-dire la relation entre deux ensembles peut prendre un antécédent d'un ensemble de nombres et le transformer en une image. Une application peut être considérée comme une fonction si une entrée crée une sortie distincte. Voici les quatre façons dont nous pouvons mettre en correspondance des entrées et des sorties :

Fonctions mathématiques Applications d'images et d'antécédents Study SmarterFig. 1 - Applications d'images et d'antécédents

Seuls deux de ces exemples créent des fonctions, à savoir un à un et plusieurs à un. Par ailleurs, le terme ensemble de définition est important à connaître pour parler des antécédents :

L'ensemble de définition est connu comme étant les antécédents possibles pour la fonction.

Comment les graphiques sont-ils utilisés pour les fonctions ?

Un graphique est capable de te donner une représentation visuelle d'une fonction, chaque fonction te donnera un type de graphique différent. De nombreux facteurs différents peuvent modifier la forme du graphique, par exemple :

  • Si la fonction est négative ou positive.
  • L'équation de la fonction.

Courbes représentatives de polynômes

Les polynômes peuvent être décrits comme des expressions contenant des variables élevées à une puissance positive, qui peuvent également être multipliées par un coefficient. Les polynômes peuvent sembler compliqués, mais ils peuvent aussi être très simples, par exemple, \(4x^3 + 3x^2 + 2x + x\) est un polynôme, mais aussi \(2x+3\). Ces expressions sont également représentées graphiquement pour te donner une représentation visuelle et, tout comme les courbes des fonctions, elles peuvent avoir un aspect très différent selon le polynôme représenté sur le graphique.

Qu'est-ce qu'une inégalité ?

Les inégalités sont des expressions algébriques qui montrent comment un terme ou nombre est inférieur, supérieur ou égal à un autre terme ou nombre. Les symboles utilisés pour représenter cela sont les suivants :

  • > Supérieur à

  • < Inférieur à

  • Supérieur ou égal à

  • Inférieur ou égal à

\(2x\) > \(4\) Ceci te montre que \(2x\) est supérieur à \(4\)

\(x\) < \(10\) Ceci te montre que \(x\) est inférieur à \(10\)

\(2x^3 + 5\) \(20\) Ceci te montre que \(2x^3+5\) est supérieur ou égal à \(20\)

Types de fonctions mathématiques

Les fonctions mathématiques sont des outils indispensables pour étudier et modéliser le monde qui nous entoure. Elles permettent de décrire une relation entre une variable et une autre, et de quantifier les changements qui se produisent lorsque la variable est modifiée. Les fonctions les plus courantes sont les fonctions affines, carrées et cubiques.

La fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une droite. La fonction carrée est une fonction polynomiale de degré \(2\), c'est-à-dire qu'elle peut être représentée par une équation du type \(y = ax^2 + bx + c\). Enfin, la fonction cubique est une fonction polynomiale de degré \(3\), c'est-à-dire qu'elle peut être représentée par une équation du type \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\).

Les fonctions racine carrée et valeur absolue sont également fréquemment utilisées en mathématiques.

La fonction racine carrée permet de calculer la racine carrée d'un nombre, c'est-à-dire le nombre qui doit être multiplié par lui-même pour donner le nombre original. Par convention, nous prenons la racine positive du nombre.

La racine carrée de \(9\) est \(3\), car \(3 \times 3 = 9\)

Fonctions mathématiques Fonction racine carrée StudySmarterFig. 2 - Représentation graphique de la fonction racine carrée

La fonction valeur absolue permet de calculer la valeur absolue d'un nombre, c'est-à-dire sa magnitude sans tenir compte de son signe.

La valeur absolue de \(-5\) est \(5\), car \(5\) est la magnitude du nombre \(-5\).

Fonctions mathématiques Fonction valeur absolue StudySmarterFig. 3 - Représentation graphique de la fonction valeur absolue

Les fonctions mathématiques sont des outils extrêmement puissants qui permettent de modéliser et comprendre le monde qui nous entoure.

Fonctions mathématiques - Points clés

  • Les fonctions ont une entrée (antécédent) qui affecte la sortie (image).

  • Le principe des images et antécédents est utilisé pour trouver l'ensemble de définition et les sorties possibles d'une fonction.

  • Les fonctions nous permettent de décrire une relation entre une variable et une autre, et de quantifier les changements qui se produisent lorsque la variable est modifiée.

  • Les fonctions les plus courantes sont les fonctions inverses, composées, affines, cubiques, carrées, racine carrée et valeur absolue.


Références

  1. Fig. 2 : Fig. 2 - Représentation graphique de la fonction racine carrée, Wikimedia Commons (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_root_function.png), par LilaMadden (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:LilaMadden), sous license Attribution-Share Alike 4.0 International
  2. Fig. 3 : Représentation graphique de la fonction valeur absolue, Wikimedia Commons (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Absolute_value_function.png), par LilaMadden (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:LilaMadden), sous license Attribution-Share Alike 4.0 International

Questions fréquemment posées en Fonctions mathématiques

Une fonction mathématique est une relation entre des quantités qui peut être représentée par une courbe ou une formule. En général, on considère une fonction comme étant une machine qui transforme des input en output. Les input sont généralement appelés les domaines de la fonction, et les output sont appelés les images de la fonction. La fonction mathématique est déterminée par la relation entre le input et l'output. Par exemple, si on considère la fonction f(x) = x2, alors le input est x et l'output est x2. La fonction f(x) = x2 est une fonction quadratique, car elle produit des output qui sont des nombres au carré.

Lorsque l'on étudie une fonction mathématique, on s'intéresse à sa relation avec son antécédent. En d'autres termes, on cherche à savoir comment la fonction transforme les valeurs de son antécédent en valeurs de son image. Cette relation peut être représentée graphiquement, ce qui permet de mieux visualiser et comprendre le fonctionnement de la fonction. Pour étudier une fonction, il est donc important de connaître ses éléments principaux, à savoir son antécédent et son image.

Les fonctions sont omniprésentes en mathématiques et ont de nombreuses applications dans la vie quotidienne. Il est donc important d'étudier les fonctions et de comprendre comment elles fonctionnent. Les fonctions peuvent être utilisées pour modéliser des phénomènes physiques, comme la croissance d'une population ou le mouvement d'un objet. Elles peuvent également être utilisées pour décrire des relations entre différentes variables, ce qui est très utile dans les sciences et l'ingénierie. Enfin, les fonctions sont également très importantes en informatique, car elles peuvent être utilisées pour créer des algorithmes (des séquences d'instructions qui résolvent un problème). Bref, les fonctions sont une partie essentielle des mathématiques et il est très important de les étudier.

Les mathématiciens utilisent les fonctions pour modéliser les relations entre différentes variables. Par exemple, une fonction peut décrire comment une quantité change en fonction du temps. Il existe différents types de fonctions, et il est important de connaître leur nature. Une fonction affine est une fonction qui a une relation linéaire entre les variables. Cela signifie que si on trace la courbe représentant la fonction, elle sera un segment de droite. Les fonctions polynomiales sont également des fonctions linéaires, mais avec plusieurs variables. Ces types de fonctions peuvent être représentés par des graphes en trois dimensions. Les fonctions non-linéaires ont des relations plus complexes entre les variables. Pour déterminer le type de fonction, il est donc important de considérer la relation entre les variables.

Le rôle d'une fonction est de modéliser les phénomènes du monde réel. En effet, une fonction permet de décrire une relation entre les différentes variables d'un problème et ainsi de mieux le comprendre et le résoudre.

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